2025年现代远程教育经济数学核心考点与应用题库实战宝典

五、应用题(本题20分)(元)。

1.设生产某种产品〃个单位时的成本函数为：

3.投产某产品的固定成本为36(万元)，同边际成本

C(q)=100+0.25c/2+6q(万元)，

为C'(q)=2^+40(万元/百台).试求产量由4百

求：(1)当q=10时的总成本、平均成本和边际成

本；(2)当产量q为多少时，平均成本最小？

台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，

解：(1)总成本C(q)=100+0.25/+6q,可使平均成本到达最低.

—1(¥)

平均成本C(q)=---+0.25^7+6,解：成本函数为：C(q)=，(2x+40)dx+36

q

边际成本C\q)=O.5q+6.当产量由4百台噌至6百台时.总成本的塔量

因此，为

C(10)=100+0.25X102+6X10=185(万

AC=£(2x+40)tZr=x2|5+40x|：二

元)，

100(万元)

C(10)=—+0.25x10+6=18.5(万元)

10,/C(q)=1(2x4-40)公+36=q?+406/+36

JO

Cf(10)=0.5x10+6=11.(万

元)

令C(夕)=——-+0.25=0,得-3D

(2)/.C(夕)=1+40+--

q~q

<7=20(</=—20舍去).

由于夕=20是其在定义域内唯一驻点，旦该

cq)=i-浮令。(4)=1-m=0

问题确实存在最小值，因此当q=20时，平均成本q~q‘

最小.

得，q=6、q=-6(负值舍去)。q=6是惟一

2..某厂生产某种产品q件时的总成本函数为

驻点，平均成本有最小值，因此当犬=6(百台)

C(9)=20+49+0.01q2(元)，单位销售价格时可使平均成本到达最低.

3、投产某产品的固定成本为如(万元)，且边

为〃=14-().()0(元/件)，问产量为多少时可使

际成本为C'(q)=2q+60(万元/百台)。试求产

利润到达最大？最大利润是多少.

量由4百台噌至6百台时总成本的增量，及产量为

解：成本为：。①)=20+4(7+001/多少时，可使平均成本到达最低。

解：成本函数为：

收益为：R(q)=qp=14^7-0.01^2

CG/)=，(2x+60)公+36

利涧为：

当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量

L(q)=R(q)-C⑷=]()g-().()2g2-2()为

AC=£(2x+60)dx=x2I4+60x=

U⑷=10—0.0%,令

140(万元)

〃(q)=10—0.04t/=0得，g=250是惟一驻

,/C(q)=，(2x+60)4/+36=/+60q+36

点，利涧存在最大值，因此当产量为250个单位时

可使利润到达最大，且最大利润为

_36

2

£(250)=10x250-0.02x250-20=1230C(q)=q+60H-----

q

_，3636

C(^7)=1--令C(g)=l-与=0

6、己知生产某产品的边际成本为C'(乡)=4+q

q-q-

(万元/百台)，收入函数为R(q)=10^一,/(万

得，q=6,q=-6(负值舍去)。9=6是惟一

元)，求使利润到达最大时的产量，假如在最大利润

驻点，平均成本有最小值，因此当上=6(百台)

时可使平均成本到达最低。的产量的基拙上再增长生产200台，利润将会发生

怎样的变化？

4.已知某产品的边际成本C'(q)=2(元/件)，固定解：边际利润为：

Lr(q)=R(q)-C'(q)=1()-^-4-^=6-2^

成本为0,边际收益R'(夕)=12—0.0%,求:

①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润令L'(g)=O得，g=3q=3是惟一驻点，

将会发生什么变化？

而最大利润存在，因此当产量为百台时，利润最

解：边际利润为：3

大。当产量由3百台增长到5百台时，利润变叱量

L'(q)=R(q)-C\q)=10-0.0%为

AL=J：(6-1x)dx-6xI；I；

令Z/(g)=0得，夕=500。q=5()0是惟

一驻点，最大利润存在，因此=6X(5-3)-(52-32)

①当产量为500件时，利润最大。

②=12-16=^(万元)即利润将减少4

万元。

\L=j^(10-0.02X)4/X=10x-0.01x2|

-25(元)

7..设生产某产品的总成本函数为

即利润将减少25元。

C(x)=5+x(万元)，其中人为产量，单位：百

5.已知某产品的边际成本为C'(q)=4^-3(万元

/百台)，夕为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求吨.销售/百吨时的边际收入为R'(x)=U-2x

最低平均成本.

(万元/百吨)，求：⑴利润最大时的产量：⑵在利润

解：由于总成本函数为

最大时的产量的基础上再生产I百吨，利润会发生什

C(q)=J(4q-3)dg=2/-+c么变化？

当4=0时，C(0)=18,得c=18,即.解：⑴由于边际成本为C\x)=1,边际利润

C(q)=2q2-3夕+18

又平均成本函数为L\x)=R\x)-C\x)=10-2^

4加也=2b3+竺

qq

|Q

令Z/(x)=O,得x=5可以验证x=5为利润函

令A\q)=2---r=0，解得9=3(百台)

q~

该问题确实存在使平均成本最低的产量.因此当1=数L(x)的最大值点.因此，当产量为5百吨时利润

3时，平均成本最低.最底平均成本为

1Q最大.

A(3)=2x3-3+y=9

⑵当产量由5百吨增长至6百吨时，利润变化

(万元/百台)量为

AL=J；(l0-2x)dx=(10x-x2)|^-113

1、设矩阵4=1-15求

=-1(万元)

1-2-1

即利润将减少1万元.

(/+犷。

8..设生产某种产品X个单位时的成本函数为：

解:由于

C(x)=100+x2+6x(万元：，

~\00---113一013一

求，(D当工=10时的总成木和平均成木।⑵当产量

I+A=010+1-15=105

X为多少时，平均成本最小？

0011-2-11-20

.解：⑴由于总成本、平均成本和边际成本分别为:

2

C(x)=100+x4-6x013100I050

—1007]=105010T0131

C(x)=---+x+6,

x1-20001_0-2-0

因此，

2

C(I0)=100+Ixl0+6x10=26010501O--100-1()6-5

013100T010-53-3

C(l())=—+1x10+6=26,

100012-110012-11

x

-106-5

令C(x)=0,得柒=10(x=-10舍因此，[/+A)T-53-3

2-11

去)，可以验证/=10是〒(X)的最小值点，因此

当x=10时，平均成本最小.

o-1-3

尸片元?单私渴布看’

—3—4—8

_...《2)最大利润其多少？

15.解N1)由已知得小=好=q(8—2G=解侬物求("iQL

利润函数

113

L=R-C=8g-2/—Q+2g+/)=6g—1-濯由干/_4二237

从而有

349

L'=6_6q

.(I-A.)

令L=0,解出唯一驻点q=l,可以验证g=l=是利润函数的最大值点，所以当产量为

1千件时可使利润达到最大.

113100113100

(2)最大利润为

237010->()11-210

L⑴=6—1-3=2(万元)349001010-301

线性代数计算题

处从略。

I0230I001-32

2

01001004T1

4

00-1-1-1100111-13

1

-2

2

2一1

因此(/-A)T0I

A~lB=4-2

I1-13

I

-2

101212

3.设矩阵AB5..设矩静A=,B=,求解矩

-203523

63阵方程XA=3。

解

12，计算(A8)L

41210121010-521

—>—>

3501010-310

.解:由于AB

63

10-2

12-52

1-204-1*

43-1

(AB/)

I220

X=历产x

-2110-210233]=[-\1

4-1010121

11

一o--

―>-O2r

22.设矩阵

2->216.

ljo-'1-1o--2

1-

-1

此

因求一切

2-A=-121,B=-1，4

22

12231

•解:运用初等行变换得

1-101001-10100

012-121010—>011110

4.、设矩阵A=114，B=0223001043-201

2-10-1

求A"

解：求逆矩阵的过程见复习指导P77的4,此

一

1-101001000.c,+x4=0

T0111100102.♦松戈性赤程细J-芭+工2-3尤3+2犬4=0的

00-1-6-4100164-lx}-x2+5X3-3X4=0

一般解.

100-4-31解.：由于系数矩阵

010-5-31即

00I64-102-1102-1

A=-11-32—>01-1

-4-31

2-15-30-11-1

A"-5-31

64-1102-1

由矩阵乘法得01-11

0000

-4-3

-,

AB=-5-3因此一般解为（其中

64

x,乙是自由未知量）

2x1-5X2-3X3=-33

.求线性方程组《的一

1x}+2X2-6X3=33、当久取何值时，齐次线性方程组

-2x,+14々-6与=12

X-3X2+X3=0

般解.玉一有非解?并求

25X2+3X3=00

.解：由于增广矩阵

3x}-8X2+AX3=O

一股解“

2-5-3-312-6解由于系数矩阵

A=12-630-99-9111-31

-214-612018-1823011

32012-3

10-41

T01-1104

0000011因此当九=4时，该线性方程

004—4

x.=-4.q3

X1=4戈3+1组有无穷多解，且一般解为:（其中

因此一般解为（其中

X%=一

=工

x23+1

是自由未知量）天是自由未知量）。

4.、问当4取何值时，线性方程组

因此，方程组的一般解为：

X1+x2-2X3-x4=-2

164

2X1+x2+lx3+3X4=6有

?（其中工3，工4是自由未

9xt+lx2+4.+x4=4+137

I"产一片"

解,在有解的状况下求方程组的一般解。5

解：才'程组的增广矩阵女口量）

11-2-1~2~11-2-1-2-

A=21736->0-111510

97412+10-222102+19

6.求线性方程组

11-2-1-2-~\1-22匕一31

―01-11-5-10T01-113毛—*贝/)-4X3-x4=0

00002-1000-0X1疝21-4X34-2X4=1

一$-2x«>一6当+x4=2

10948解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

―01-11-5-10因此当■1-3-2-1r1-3-2-11

0000A-13-8-4-100122-3

―4

-21-4210-5-803

4=1时,方程组有解;

-1-2-612_0-5-803

X1=8-一4%

一般解为:（其

x2=-10+1lx3+5X4

-_-

中X一工4是自由未知量）1-3-2-11100-1516

0122-3010-89

->->

00210-120015-6

2x-x+x+x=1

}2340000000000

5.4一当+

X]+2X24X4=2

X]+lx-4X+1\x=5

234此时齐次方程组化为

解

-15X4=16

2-111112-1

-8X4=9

^4=12-142fo-53->x+5X=-6

115j|_°34

17-45-3石方程如勺•般解为

X)=16+15X4

&r=9+8X

1024其中凡是自由未知量•

2-1425

r=-6-5X

334

05-3730

-55

00000009..当2为何值时，线性方程组

2x,-x2+3X3-x4=1

工-

3।2X2-2X3+3X4=3

7xt-5X2-9X3+1Ox4=2

有解，并求一股解。

解

1-1-542-1-1-542

v瞥计鸣

_2-13-110113

A=

3-2-2330113)品'

17%,+cos5x,求dy.

7-5-9102_0226-182-14

解：由于

f，4

-1-1-54205)三(sinx\+5cosx(cosx)'

0113-9-30113-9-3

->=es,n'cosx-5cos4xsinx

00002-80000/L-8

00000J[00000日比

因此，当4=8时有解。一般为：dy=(es,nrcosx-5cos4xsinx)dx

X1=-8X+5X-1

34（其中.，乙是自由未2.计算枳分jxInxdx.

x2=-13X3+9X4-3

e

知量）9

.解：j^xlnxdx=^-lnA--j\2d(liu:)

3.设y=ecosv+x4x,求dy.

.解：

I

332-

/=eCOSA(cosx)/+(x2Y=ecos2x(-sinx)+1

Q1

dy=(^x2-sinxecos2j)ch-

5..设y=es,n'+tanx,求dy.

.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得

dy=d(esin^+tanx)

=d(esinA)+d(tanx)

1

=es,n'd(sinx)+----山

COSX

=esin'cosxdx+一1dr

COS-X

=(esin'cosx+—)dr

COS-X

....10分

解：山不定积分的凑微分法得作业

=2je、％(&)=2e4+c(1)八五一求二求了

解：

7..已知=2'sin/,求)/.=_(xe.vy=1_(xye-t_X(exy=1_(1+x)et

.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得2‘x

Vl2

/=(2sin/Y=⑵ysin/+2(sinx)'

(2)y=eavsinbx,求dy

解：

=2rIn2sinx2+2rcosx2(x2)',/yr=sin法•(e")+eav-(sinbx)'=sinbxe(,x'(ax)f+eat-co

=2'In2sinx2+2x2'cosx2

=ctLXasinbx-\-e"bcosbx

/.dy=y'dx=eav(f/sinbxdx+bcosbx)dx

8.计算j：2XCOSMLI.

(3)y=er+x4x,求dy

.解：由定积分的分部积分法得

解：dy=y'dx=(—3\[x——1-e—v)cb;

JEEf-2x

j：2XCOSA<LV=2xsin^2-jjsinAC!2X

I?11313]1

,/yr=(e')'+(x2Y=ex(—)/+—x2=—4x--ex

x22x~

(9)jln(x+1)dr

(4)y=cosVx-er,求dy

解：措施1

解原式=Jln(x+l)d(x+1)=(x+l)ln(x+1)-J(x+l)dln(x+：

(-)，=2…邛

•/y'=(cos4)'_(e«)'=-sin&•(6)'-「

2&

=(x+1)ln(x+1)-J公=(x+1)ln(x+l)-x+C

,,,八_2sinVx.,

/.dy=ydx=(2xte------=-)dr

2G

(10)

(5)y=ln(x+Jl+x?),求V

解解：原式=_/*4（，）=_>|；=©―五

1[+.j”

,*+Jl+，yl+(Jl+Fy

y---------—=-------—r-/dx

x+yl}+X2X+\)]+X2x+Vl+x21xVl+lnx

解

x+Jl+X?

1原式=fC,1fZ(lnx+l)=2jl+lnx|f=2^\+\ne3-

(X+Vl+X2)V1+X2Jl+x2JiJl+lnx

(6)JxV2+x2d.t

(I2)2xcos2Adx

解o

1,।i।3.

原式=-j7T^d(x)2=[J(2+r户42+/)=2_(2+x2)5+c

223[尸4x[开[厅

原式=51；"cos2"(2")=5Px"(sin2x)=-xsin2J|(；--j^s

rsinVx.

(7)—

Jylx1-|

=­cos2x|广——

解：402

原式二2jsinVxt/(Vx)=-2cosVx+C

(13)]a-InJttlx

(8)、fxsi•n-xd』r解：

J2

原式二，/Inxd(x2)=—x2Inx|；~—^xdx=-e2-—x

解：

原式=2/xsin]d(^)=-2j*xJ(cos^)=-2xcos—+2cos—dr

222

(14)Jl+xe-x)cLv

=-2xcos—+4[cos—d(—)=-2xcos—+4sirii)f+C

2J2222

原式=I：公+j：xe~xdx=4-£xe~Ad(-x)=4-嘀：|[限(si泡及y+/

=3sin2Msinxy+(-2x2)r(?"2v

=4-4e-4-e'x|«=4-4^-4-^4+1=5(1-e-4)

=3sin2xcosx-4xe~2"

dy=(3sin2xcosx-Axe2x)dx

夏习指导6、设y=sin6—6一，，求dy。

1、设y=x>[x-sin34十cos2v,求。

解：/=(sin4xy-(e~x)'

解：/=(x2/-(sin3xS+(cos2')'

=cos五(五)’一(一x?)'ex

=-|x2-3sin2x(sinx)‘一sin2'(2')’