初升高数学衔接 专题02 集合间的基本关系（精讲）

预备预备新高一数学专题02集合间的基本关系1．通过实例理解集合之间包含与相等的含义.2．掌握子集、真子集、集合相等的定义与符号.3．能准确判断集合间的基本关系.4．掌握空集的性质以及各类集合关系的常用结论.5．会求有限集合的子集、真子集个数，并利用集合关系求解参数.一、子集1．定义：对于两个集合与，如果集合中的任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集.2．符号表示：（或），读作“包含于”（或“包含”）.3．通俗理解：集合里有的元素，集合全部都有，的范围整体在范围内.二、集合相等1．定义：如果集合是集合的子集，且集合也是集合的子集，即且，那么集合与集合相等.2．符号表示：.3．通俗理解：两个集合包含的元素完全一致，范围大小完全相同.三、真子集1．定义：如果集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集.2．符号表示：（或）.3．通俗理解：的元素全部在中，且比至少多一个元素，范围严格小于范围.四、空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作.2．空集的核心性质（1）空集是任何集合的子集.（2）空集是任何非空集合的真子集.五、集合包含关系的常用性质1．自反性：任何一个集合是它本身的子集，即.2．传递性：若，，则；若，，则.3．子集与真子集区别：子集允许两集合相等，真子集要求两集合一定不相等.六、有限集合子集个数结论若一个集合中有个元素：1．子集个数：个2．真子集个数：个3．非空子集个数：个4．非空真子集个数：个题型01判断集合间的关系1．三种集合关系的判定标准（1）子集关系（如：集合，集合，中所有元素都在中，满足）子集负责判定一个集合的所有元素是否全部包含在另一个集合中，允许两集合相等.（2）真子集关系（如：集合，集合，包含于且有元素不在中，满足）真子集负责判定集合间的严格包含关系，两个集合绝对不能相等.（3）集合相等（如：集合，集合，元素完全相同，满足）集合相等负责判定两个集合范围、元素完全一致，与元素顺序无关.2．集合关系判定步骤（1）化简两个集合，统一写成列举法或最简范围形式.（2）判断元素是否全部包含，确定包含关系.（3）判断两个集合是否完全一致，区分子集、真子集、相等关系.学以致用学以致用【例1】下列关系正确的是（）A． B．，， C．， D．【答案】【分析】根据元素与集合的关系，以及集合间的包含关系判断．【解答】解：对于，因为不是的元素，故错误；对于，因为任何集合是它本身的子集，所以，，，故正确；对于，集合，中的元素是数，集合中的元素是点，所以两个集合之间没有包含关系，故错误；对于，因为是无理数，所以，故错误．故选：．【例2】若集合，则，，之间的关系是（）A． B． C． D．【答案】【分析】分别将集合表示为，和即可得结果．【解答】解：，，因为，表示被6除余1的整数，，和，表示被3除余1的整数，所以．故选：．【例3】若，，，则以下正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可．【解答】解：对于选项，为元素，为集合，所以，故选项错误；对于选项，为集合，为集合，且，所以，故选项正确；对于选项，为集合，是有序数对，两者没有属于关系，故选项错误；对于选项，为集合，为集合，且，故，故选项错误．故选：．题型02空集相关关系判断1．空集的两大核心关系（如：没有任何元素，所以空集包含于任意集合；空集不等于任意非空集合）（1）空集是任意集合的子集，包含关系恒成立.（2）空集是任意非空集合的真子集，严格包含关系恒成立.2．易混符号区分（1）是元素与集合的关系，空集没有元素，不存在元素属于空集.（2）是集合与集合的关系，空集可与所有集合产生包含关系.3．解题作用：空集是所有包含关系判断题的特殊前提，做题优先考虑空集情况，避免漏解.学以致用学以致用【例4】下列关系式错误的是（）A．，， B． C． D．，【答案】【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系进行判断．【解答】解：对于，任何集合是其本身的子集，则，，，故正确；对于，与两者都是集合，符号使用错误，故错误；对于，0是集合的元素，，故正确；对于，是，的子集，，，故正确．故选：．【例5】下列各选项正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据空集的性质可判断，利用元素与集合的关系可判断．【解答】解：对于，中没有任何元素，故错误；对于，因为中没有任何元素，而集合中有一个元素0，所以，故错误；对于，因为是任何集合的子集，所以，故正确；对于，因为0是集合的元素，所以，故错误．故选：．【例6】已知集合，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】可求出，，然后根据元素与集合的关系判断错误；根据集合与集合的关系判断的正误即可．【解答】解：，，所以，，，．故选：．题型03求集合的子集、真子集个数1．核心公式依据（如：一个集合含有3个元素，则子集个数，真子集个数）元素个数决定各类子集的数量，公式统一固定，无需逐个列举.2．四类结论区分（1）子集：包含自身与空集，数量最多，公式.（2）真子集：不包含集合本身，公式.（3）非空子集：不包含空集，公式.（4）非空真子集：不包含空集和集合本身，公式.3．解题步骤：先数清集合有效元素个数，再直接代入对应公式计算，无需重复列举.学以致用学以致用【例7】集合的子集个数为（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】【分析】求出集合，得出的元素个数，根据子集个数的计算公式即可得解．【解答】解：，3，，其元素个数为3，子集个数为．故选：．【例8】若集合，则的子集个数为（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】【分析】可求出集合，得出集合的元素个数，根据子集个数的计算公式即可得解．【解答】解：，1，，所以的子集个数为．故选：．【例9】若，0，，，，则的真子集个数为（）A．3 B．8 C．7 D．6【答案】【分析】先求出集合，再结合真子集的个数公式，即可求解．【解答】解：若，0，，，，则，，，集合中元素个数为3，故的真子集个数为．故选：．题型04列举写出所有子集、真子集1．书写规律（如：两元素集合，子集依次为空集、单元素子集、双元素全集）子集书写按照元素个数由少到多依次列举，保证不重不漏.2．书写顺序（1）先写空集，空集是所有集合的子集.（2）再依次写出所有单元素子集、双元素子集，逐级增加元素.（3）最后写出集合本身.3．子集与真子集书写区别（1）子集需要写出空集+所有部分子集+集合本身.（2）真子集只写空集+所有部分子集，不写集合本身.学以致用学以致用【例10】已知集合，．（1）若，写出集合的所有子集；（2）若集合中仅含有一个元素，求实数的值．【答案】（1）；（2）0或．【分析】（1）求出集合，进而求出其子集即得．（2）按的值是否为0，分类求解即得．【解答】解：（1）若，则，所以集合的所有子集是：；（2）当时，方程，解得，符合题意；当时，则△，解得；所以实数的值为0或．【例11】已知集合，，，且．（1）求实数的取值的集合；（2）写出（1）中集合的所有子集．【答案】（1），；（2），，，，．【分析】（1）根据题意，，则或，解得，或，或，根据元素互异性，逐一验证即可；（2）结合（1），写出子集即可．【解答】解：（1），则或，，或，或，当时，，集合不满足互异性，（舍去），当时，，，；当时，，，，故的取值集合，，（2）由（1）知，，的子集为，，，，．【例12】已知集合．（1）若，写出的所有子集；（2）若集合中只含有一个元素，求的值．【答案】（1），，，，；（2）0或．【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集；（2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素；当时，方程为一元二次方程，利用判别式△时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数．【解答】解：（1）当时，集合，，其子集有，，，，；（2）当时，集合，满足要求；当时，要满足题意只需方程有两个相同的解，即△，解得，代入方程，解得，此时集合，满足要求，综上，的值为0或．题型05根据集合相等求参数1．集合相等核心依据（如：两个有限集合相等，则两个集合所含元素完全相同，与排列顺序无关）集合相等等价于互相包含，即且.2．解题逻辑（1）根据集合元素对应相同，列出方程求解参数.（2）求出参数后代回原集合，检验集合元素互异性.（3）舍去造成元素重复、集合不成立的参数解.3．核心作用：利用集合相等实现元素对应相等，是求解集合参数的常用方法.学以致用学以致用【例13】已知集合，，，，若，则实数（）A．0 B．1 C．0或1 D．2【答案】【分析】根据集合相等的关系求解．【解答】解：由题意可知，集合，，，，且，所以，解得．故选：．【例14】已知，为实数，集合，，，，，，且，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【分析】利用集合相等的定义，结合元素的互异性求解．【解答】解：由题意可知，集合，，，，，，且，所以或，解得或或或，其中不符合集合元素的互异性，舍去，所以或，所以．故选：．【例15】已知集合，，，若，则（）A．2 B．1 C．0 D．【答案】【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，，进而可得所求值．【解答】解：根据题意得：，，即方程的两根为，0，所以根据韦达定理得：，解得，，所以．故选：．题型06根据子集关系求参数范围1．子集关系核心含义（如：，表示集合的所有元素全部在集合范围内，范围小于等于范围）子集关系本质是范围包含关系，可用于建立不等式求解参数.2．解题必须考虑的两种情况（1）为空集：空集是任何集合的子集，恒满足，可直接解出使集合为空集的参数范围.（2）为非空集合：根据元素范围大小，列写不等式组，保证整体落在内部.3．解题关键子集题型最容易漏解空集情况，解题必须优先讨论空集，再讨论非空情况，最后合并参数范围.学以致用学以致用【例16】设集合，．（1）当时，求的所有子集中的元素之和；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）1536；（2），，．【分析】（1）利用子集的定义求解；（2）分为空集和不为空集两种情况，列不等式解出的范围．【解答】解：（1）当时，，，0，1，2，3，4，，中所有子集中的元素之和为；（2）当，即时，，符合题意；当，即时，若，则，，解得；综上，的取值范围是，，．【例17】已知集合，．（1）若，求的取值范围．（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解；（2）分和两种情况讨论即可得解．【解答】解：（1）若，如图所示，则，解得，所以的取值范围为；（2）若，有和两种情况，当时，，解得，当时，如图所示，则，解得，综上，的取值范围为．【例18】已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）不存在．【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解．【解答】解：（1）由题意，，，若，则当时，有，解得，此时满足；当时，要使得，则需满足，解得，综上，实数的取值范围是；（2）由题意，要使得，则需满足，此时不等式组无解，所以不存在实数使得．题型07集合间基本关系综合判断1．解题整体逻辑（如：先化简不等式集合、数集，再对比范围判断包含、相等、真包含关系）所有集合关系判断，第一步统一化简集合，将复杂集合化为最简范围或最简元素形式.2．判断优先级先判断是否相等，再判断是否为真子集，最后判断普通子集关系.3．结论原则能判定真子集的不写普通子集，能判定相等的不写包含，保证结论最准确.学以致用学以致用【例19】已知集合，，若为的真子集，则的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解．【解答】解：集合，，若为的真子集，当时，满足为的真子集，此时，解得．当时，则或解得．综上，，即的取值范围是，．故选：．【例20】设集合，，，若，则由实数组成的集合为（）A