2026年部编版高一数学第四章不等式习题集

2026年部编版高一数学第四章不等式习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x>2}，则集合A∩B等于（）A.{x|x<1}B.{x|x>2}C.∅D.R（实数集）解析：集合A表示所有小于等于1的实数，集合B表示所有大于2的实数，两个集合没有交集，因此A∩B=∅。选项C正确。2.不等式3x-7>2x+1的解集为（）A.{x|x>8}B.{x|x<-8}C.{x|x>6}D.{x|x<-6}解析：移项得3x-2x>1+7，即x>8，因此解集为{x|x>8}。选项A正确。3.若a>b，则下列不等式一定成立的是（）A.a^2>b^2B.1/a<1/bC.a-c>b-cD.a/2>b/2解析：不等式两边同时减去c，不等号方向不变，因此a-c>b-c成立。选项C正确。4.不等式|2x-1|<3的解集为（）A.{x|-1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|-1<x<3}D.{x|1<x<4}解析：由绝对值不等式性质，|2x-1|<3等价于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。选项A正确。5.不等式x^2-4x+3>0的解集为（）A.{x|x>1}B.{x|x<3}C.{x|x>1或x<3}D.{x|x=1或x=3}解析：因式分解得(x-1)(x-3)>0，解得x>3或x<1。选项C正确。6.若a<0，b>0且a<b，则下列不等式成立的是（）A.a^2>b^2B.a+b>0C.ab>0D.b/a>1解析：不等式两边同时除以负数b，不等号方向改变，得b/a>1。选项D正确。7.不等式1/(x-1)<0的解集为（）A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|x≠1}D.∅解析：分母x-1必须小于0，即x<1。选项B正确。8.若x>0，y<0且x+y>0，则下列不等式成立的是（）A.x|y|>y|x|B.x^2<y^2C.1/x<1/yD.x-y>0解析：由x+y>0且y<0，得x>|y|，因此x|y|>y|x|成立。选项A正确。9.不等式x^2-6x+9≤0的解集为（）A.{x|x=3}B.{x|x≥3}C.{x|x≤3}D.R解析：因式分解得(x-3)^2≤0，解得x=3。选项A正确。10.若a>b，c<0，则下列不等式成立的是（）A.ac>bcB.a/c>b/cC.ac^2>bc^2D.c-a>c-b解析：不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，得ac<bc。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤2}，则A∪B=________。参考答案：{x|1<x<3}解析：集合A表示所有大于1小于3的实数，集合B表示所有小于等于2的实数，并集为{x|1<x<3}。2.不等式2x+5>9的解集用区间表示为________。参考答案：(2,+∞)解析：移项得2x>4，即x>2，区间表示为(2,+∞)。3.若a<0，b>0且a+b>0，则ab________0。参考答案：<解析：a为负数，b为正数，负数加正数大于0，说明负数的绝对值大于正数，因此ab<0。4.不等式|3x+2|≥5的解集为________。参考答案：{x|x≥1或x≤-3}解析：由绝对值不等式性质，|3x+2|≥5等价于3x+2≥5或3x+2≤-5，解得x≥1或x≤-3。5.不等式x^2+4x+4<0的解集为________。参考答案：∅解析：因式分解得(x+2)^2<0，平方数不可能小于0，因此解集为空集。6.若a>b，c>0，则ac________bc。参考答案：>解析：不等式两边同时乘以正数c，不等号方向不变，得ac>bc。7.不等式1/x+1/x^2>2的解集为________。参考答案：{x|x<-1或0<x<1}解析：令t=1/x，则不等式变为t+t^2>2，解得t<-1或0<t<1，即x<-1或0<x<1。8.若集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|x<1}，则A∩B=________。参考答案：{x|x<1}解析：集合A表示所有不满足(x-1)(x-2)>0的实数，即x<1或x>2，与B的交集为{x|x<1}。9.不等式|2x-3|+1<0的解集为________。参考答案：∅解析：绝对值非负，|2x-3|+1≥1，不可能小于0，因此解集为空集。10.若a>b，c<0，则a-c________b-c。参考答案：>解析：不等式两边同时减去c，不等号方向不变，得a-c>b-c。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2。参考答案：×解析：举反例，如a=1，b=-2，则a>b但a^2=1<b^2=4。2.不等式|3x-1|>2的解集为{x|x>1或x<-1/3}。参考答案：√解析：由绝对值不等式性质，|3x-1|>2等价于3x-1>2或3x-1<-2，解得x>1或x<-1/3。3.若a>b，c>0，则ac>bc。参考答案：√解析：不等式两边同时乘以正数c，不等号方向不变，得ac>bc。4.不等式x^2-5x+6≤0的解集为{x|x≤2或x≥3}。参考答案：×解析：因式分解得(x-2)(x-3)≤0，解得2≤x≤3。5.若a>b，则1/a<1/b。参考答案：×解析：举反例，如a=2，b=1，则a>b但1/a=1/2<1/b=1。6.不等式|2x+1|<0的解集为空集。参考答案：√解析：绝对值非负，不可能小于0，因此解集为空集。7.若a>b，c<0，则a/c>b/c。参考答案：√解析：不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，得a/c>b/c。8.不等式x^2+1>0的解集为全体实数。参考答案：√解析：平方数非负，x^2+1恒大于0，因此解集为R。9.若a>b，则a-c>b-c。参考答案：√解析：不等式两边同时减去c，不等号方向不变，得a-c>b-c。10.不等式|3x-2|=5的解集为{x|x=7/3或x=-1}。参考答案：√解析：由绝对值方程性质，|3x-2|=5等价于3x-2=5或3x-2=-5，解得x=7/3或x=-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知集合A={x|x^2-4x+3>0}，B={x|x<1}，求A∪B。参考答案：R解析：集合A表示所有不满足(x-1)(x-3)>0的实数，即x<1或x>3，与B的并集为R。2.解不等式2x-3>5x+1。参考答案：x<-2解析：移项得-3x>4，即x<-2。3.若a>b，c<0，比较a+c与b+c的大小关系。参考答案：a+c>b+c解析：不等式两边同时加上c，不等号方向不变，得a+c>b+c。4.解不等式|4x-1|≤3。参考答案：-1/2≤x≤1解析：由绝对值不等式性质，|4x-1|≤3等价于-3≤4x-1≤3，解得-1/2≤x≤1。5.若a>b，比较a^2与b^2的大小关系。参考答案：不确定解析：举反例，如a=1，b=-2，则a>b但a^2=1<b^2=4。6.解不等式1/(x+1)>0。参考答案：x>-1解析：分母x+1必须大于0，即x>-1。7.若a>b，c>0，比较ac与bc的大小关系。参考答案：ac>bc解析：不等式两边同时乘以正数c，不等号方向不变，得ac>bc。8.解不等式x^2-6x+9<0。参考答案：无解解析：因式分解得(x-3)^2<0，平方数不可能小于0，因此无解。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件x元，要使利润大于20元，x应满足什么条件？参考答案：x>30解析：利润=售价-成本，要使利润大于20元，即x-10>20，解得x>30。2.某班级组织春游，租用客车若干辆，每辆客车限载45人，如果每辆客车坐40人，则有10人无车坐；如果每辆客车坐35人，则有一辆客车不满载，求该班级有多少人？参考答案：190人解析：设客车数量为y辆，则40y+10=35(y-1)，解得y=10，该班级人数为40×10+10=410人。3.某商品原价为a元，先提价10%，再降价10%，最终价格为b元，求a与b的关系。参考答案：b=0.99a解析：提价后价格为1.1a，再降价10%后价格为1.1a×0.9=0.99a，即b=0.99a。参考答案：答对题数≥14解析：设答对题数为x，答错题数为y，则5x-3y≥60，且x+y为考试总题数，假设总题数为20，则5x-3(20-x)≥60，解得x≥14。4.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元，某乘客乘车费用为28元，求该乘客行驶的路程。参考答案：13公里解析：起步价10元含3公里，剩余费用为28-10=18元，即行驶了18/2=9公里，总路程为3+9=12公里。5.某农场种植两种作物，第一种作物每亩产值为a元，第二种作物每亩产值为b元，要使总产值不低于10000元，至少需要种植多少亩第一种作物？参考答案：至少种植2000亩解析：设种植第一种作物x亩，第二种作物y亩，则ax+by≥10000，且x+y为总亩数，假设总亩数为5000，则a×2000+b×3000≥10000，解得x≥2000。6.某公司投资一个项目，初始投资为a万元，预计年收益率为b%，要使3年后投资翻倍，b应满足什么条件？参考答案：b>23.1%解析：3年后投资为a(1+b/100)^3，要使投资翻倍，即a(1+b/100)^3=2a，解得b>23.1%。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某商场促销活动，商品A打八折，商品B打七折，小明购买商品A花费了80元，购买商品B花费了70元，比较商品A和商品B的原价。参考答案：商品A原价100元，商品B原价100元解析：设商品A原价为x元，商品B原价为y元，则0.8x=80，0.7y=70，解得x=100，y=100。参考答案：答对题数≥14解析：设答对题数为x，答错题数为y，则5x-3y≥60，且x+y为考试总题数，假设总题数为20，则5x-3(20-x)≥60，解得x≥14。2.某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件x元，要使利润大于20元，x应满足什么条件？参考答案：x>30解析：利润=售价-成本，要使利润大于20元，即x-10>20，解得x>30。3.某班级组织春游，租用客车若干辆，每辆客车限载45人，如果每辆客车坐40人，则有10人无车坐；如果每辆客车坐35人，则有一辆客车不满载，求该班级有多少人？参考答案：190人解析：设客车数量为y辆，则40y+10=35(y-1)，解得y=10，该班级人数为40×10+10=410人。4.某公司投资一个项目，初始投资为a万元，预计年收益率为b%，要使3年后投资翻倍，b应满足什么条件？参考答案：b>23.1%解析：3年后投资为a(1+b/100)^3，要使投资翻倍，即a(1+b/100)^3=2a，解得b>23.1%。5.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元，某乘客乘车费用为28元，求该乘客行驶的路程。参考答案：13公里解析：起步价10元含3公里，剩余费用为28-10=18元，即行驶了18/2=9公里，总路程为3+9=12公里。6.某农场种植两种作物，第一种作物每亩产值为a元，第二种作物每亩产值为b元，要使总产值不低于10000元，至少需要种植多少亩第一种作物？参考答案：至少种植2000亩解析：设种植第一种作物x亩，第二种作物y亩，则ax+by≥10000，且x+y为总亩数，假设总亩数为5000，则a×2000+b×3000≥10000，解得x≥2000。7.某商场促销活动，商品A打八折，商品B打七折，小明购买商品A花费了80元，购买商品B花费了70元，比较商品A和商品B的原价。参考答案：商品A原价100元，商品B原价100元解析：设商品A原价为x元，商品B原价为y元，则0.8x=80，0.7y=70，解得x=100，y=100。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述不等式的基本性质及其应用。参考答案：不等式的基本性质包括：①若a>b，则a+c>b+c；②若a>b，c>0，则ac>bc；③若a>b，c<0，则ac<bc；④若a>b，则-a<-b；⑤若a>b，c>d，则a+c>b+d。这些性质在不等式证明和解不等式中广泛应用。例如，利用性质①可以解一元一次不等式，利用性质②可以解一元二次不等式，利用性质④可以证明不等式。2.论述绝对值不等式的解法及其几何意义。参考答案：绝对值不等式|ax+b|<c的解法是：-c<x-b<c，即b-c<x<b+c；绝对值不等式|ax+b|>c的解法是：x-b<-c或x-b>c，即x<b-c或x>b+c。几何意义是：|ax+b|<c表示数轴上距离点-b的距离小于c的点的集合，|ax+b|>c表示数轴上距离点-b的距离大于c的点的集合。3.论述一元二次不等式的解法及其图像意义。参考答案：一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解法是：先求根x1,x2，若a>0，则解集为{x|x<x1或x>x2}；若a<0，则解集为{x|x1<x<x2}。图像意义是：抛物线y=ax^2+bx+c在x轴上方的部分对应的x值的集合。4.论述分式不等式的解法及其注意事项。参考答案：分式不等式1/(x-a)>0的解法是：分母x-a必须大于0，即x>a。分式不等式1/(x-a)<0的解法是：分母x-a必须小于0，即x<a。注意事项包括：①去分母时要考虑分母不为0；②要讨论分母的符号变化。5.论述不等式的应用实例。参考答案：不等式在生活中的应用广泛，例如：①经济领域中的成本控制、利润计算；②交通领域中的行程问题；③科学领域中的实验数据分析；④教育领域中的考试评分标准等。6.论述不等式与集合的关系。参考答案：不等式可以用来表示集合，例如：集合A={x|x<5}表示所有小于5的实数的集合；集合B={x|x^2-4x+3>0}表示所有不满足(x-1)(x-3)>0的实数的集合。不等式与集合的关系是：不等式的解集可以表示为一个集合。7.论述不等式的证明方法。参考答案：不等式的证明方法包括：①比较法；②分析法；③综合法；④放缩法；⑤构造法等。例如，比较法是通过比较两边的差来判断不等式是否成立；分析法是从结论出发逐步推导出已知条件；综合法是从已知条件出发逐步推导出结论。8.论述不等式的几何意义。参考答案：不等式的几何意义是：①一元一次不等式在数轴上表示为一段区间；②一元二次不等式在坐标系中表示为抛物线在x轴上方的部分；③分式不等式在坐标系中表示为分母不为0的部分。不等式的几何意义可以帮助我们直观理解不等式的解集。9.论述不等式的应用价值。参考答案：不等式的应用价值体现在：①可以帮助我们解决实际问题中的约束条件；②可以用来优化资源配置；③可以用来建立数学模型；④可以用来进行数据分析。不等式是数学中重要的工具，在各个领域都有广泛的应用。10.论述不等式的发展历史。参考答案：不等式的发展历史可以追溯到古代，例如：欧几里得在《几何原本》中使用了不等式的思想；丢番图在《算术》中研究了不等式的解法；笛卡尔在《几何学》中引入了坐标系，为不等式的几何研究奠定了基础。现代数学中，不等式的研究更加深入，出现了许多新的不等式理论和应用。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.A10.B解析：1.集合交集运算；2.一元一次不等式解法；3.不等式性质；4.绝对值不等式解法；5.一元二次不等式解法；6.不等式性质；7.分式不等式解法；8.不等式性质；9.一元二次不等式解法；10.不等式性质。二、填空题1.{x|1<x<3}12.(2,+∞)13.<14.{x|x≥1或x≤-3}15.∅2.>17.{x|x<-1或0<x<1}18.{x|x<1}19.∅20.>解析：11.集合并集运算；12.一元一次不等式解法；13.不等式性质；14.绝对值不等式解法；15.一元二次不等式解法；16.不等式性质；17.分式不等式解法；18.集合交集运算；19.绝对值不等式性质；20.不等式性质。三、判断题1.×22.√23.√24.×25.×2.√27.√28.√29.√30.√解析：21.举反例，如a=1，b=-2，则a>b但a^2=1<b^2=4；22.绝对值不等式解法；23.不等式性质；24.一元二次不等式解法；25.不等式性质；26.绝对值非负性质；27.不等式性质；28.一元二次不等式性质；29.不等式性质；30.绝对值方程解法。四、简答题1.{x|1<x<3}∪{x|x<1}={x|x<3}解析：集合A表示所有大于1小于3的实数，集合B表示所有小于1的实数，并集为{x|x<3}。2.x<-2解析：移项得-3x>4，即x<-2。3.a+c>b+c解析：不等式两边同时加上c，不等号方向不变。4.-1/2≤x≤1解析：由绝对值不等式性质，|4x-1|≤3等价于-3≤4x-1≤3，解得-1/2≤x≤1。5.不确定解析：举反例，如a=1，b=-2，则a>b但a^2=1<b^2=4。6.x>-1解析：分母x+1必须大于0，即x>-1。7.ac>bc解析：不等式两边同时乘以正数c，不等号方向不变。8.无解解析：因式分解得(x-3)^2<0，平方数不可能小于0。五、应用题1.x>30解析：利润=售价-成本，要使利润大于20元，即x-10>20，解得x>30。2.410人解析：设客车数量为y辆，则40y+10=35(y-1)，解得y=10，该班级人数为40×10+10=410人。3.b=0.99a解析：提价后价格为1.1a，再降价10%后价格为1.1a×0.9=0.99a，即b=0.99a。4.答对题数≥14解析：设答对题数为x，答错题数为y，则5x-3y≥60，且x+y为考试总题数，假设总题数为20，则5x-3(20-x)≥60，解得x≥14。5.12公里解析：起步价10元含3公里，剩余费用为28-10=18元，即行驶了18/2=9公里，总路程为3+9=12公里。6.至少种植2000亩解析：设种植第一种作物x亩，第二种作物y亩，则ax+by≥10000，且x+y为总亩数，假设总亩数为5000，则a×2000+b×3000≥10000，解得x≥2000。7.b>23.1%解析：3年后投资为a(1+b/100)^3，要使投资翻倍，即a(1+b/100)^3=2a，解得b>23.1%。六、案例分析题1.商品A原价100元，商品B原价100元解析：设商品A原价为x元，商品B原价为y元，则0.8x=80，0.7y=70，解得x=100，y=100。2.答对题数≥14解析：设答对题数为x，答错题数为y，则5x-3y≥60，且x+y为考试总题数，假设总题数为20，则5x-3(20-x)≥60，解得x≥14。3.x>30解析：利润=售价-成本，要使利润大于20元，即x-10>20，解得x>30。4.190人解析：设客车数量为y辆，则40y+10=35(y-1)，解得y=10，该班级人数为40×10+10=410人。5.b>23.1%解析：3年后投资为a(1+b/100)^3，要使投资翻倍，即a(1+b/100)^3=2a，解得b>23.1%。6.12公里解析：起步价10元含3公里，剩余费用为28-10=18元，即行驶了18/2=9公里，总路程为3+9=12公里。7.至少种植2000亩解析：设种植第一种作物x亩，第二种作物y亩，则ax+by≥10000，且x+y为总亩数，假设总亩数为5000，则a×2000+b×3000≥10000，解得x≥2000。8.商品A原价100元，商品B原价100元解析：设商品A原价为x元，商品B原价为y元，则0.8x=80，0.7y=70，解得x=100，y=100。七、论述题1.不等式的基本性质包括：①若a>b，则a+c>b+c；②若a>b，c>0，则ac>bc；③若a>b，c<0，则ac<bc；④若a>b，则-a<-b；⑤若a>b，c>d，则a+c>b+d。这些性质在不等式证明和解不等式中广泛应用。例如，利用性质①可以解一元一次不等式，利用性质②可