2024年高考数学一轮复习第10章：概率与统计（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第10章：概率与统计学生版

1.已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在

卜.面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.

问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若,从

这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的人数为X,求随机变量X的分布列和

均值.

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2.（2023•毕节模拟）某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎

叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示.

（1）求频率分布直方图中。的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数的

中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小数）,

⑵用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分

的人数为X,求X的分布列及均值.

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3.根据统计发现，疑似病例核酸检测%阳性的概率为piOvpvl).现有4例疑似病例，分别

对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要

有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若

混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：

方案一：4个样本逐个化验；

方案二：4个样本混合在一起化验；

方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.

由于检测能力不足，化验次数的均值越小，则方案越“优”.

⑴若〃=/按方案求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率：

⑵若〃=上，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并

说明理由.

4.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件

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全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所

示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数).体育组为进一步了解情况，组织了两个研究

小组.

(1)第一小组决定从单次完成1-15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方

法抽取22人进行全面的体能测试.

①在单次完成6〜10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1〜5个”的人

数为随机变量X,求X的分布列和均值；

⑵第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩

与体育成绩之间的2X2列联表.

学业成绩

体育成绩合计

优秀不优秀

不优秀200400600

优秀10010G200

合计300500800

根据小概率值a=0.005的独汇性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？

参考公式：独立性检脸统计量/=,空:心力小,其中〃=〃+〃+c+".

临界值表：

a0.10.050.010.005().001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

6.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织(WHO)常用身体质量

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指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是薪：舄成人的

BMI数值标准为：BMIWI8.4为偏瘦：18.5WBMIW23.9为正常；24WBMIW27.9为偏胖；

BMI228为肥胖.

某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取

了8名员工(编号1〜8)的身高x(单位：cm)和体重单位：kg)的数据，并计算得到他们的

BMI(精确到0.1)如表所示.

编号12345678

身高(cm)163164165168170172176182

体重(kg)5460777268•7255

BMI(近似值)20.322.328.325.523.523.723.216.6

(1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X,求X

的分布列及均值；

(2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重.v(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为

6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归

方程为；=0.51+；且根据经验回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg,计算

-8

得到的其它数据如下：A-=170,Z&M=89920.

I=I

①求:的值及表格中8名员工体重的平均值丁；

②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg,身高数据无误，

请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工

的体重.

AAA

附：对于一组数据(幻，y\),(X2,>f2),,,,,(x„,其经脸回归直线了=法+4的斜率和我距

n__

2孙一〃xy

=

Aj1AA

的最小二乘估计分别为占=-------------,a=y—bx.

氏一〃；2

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2024年高考数学一轮复习第10章：概率与统计教师版

1.已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在

下面问题中横线.上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.

问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若,从

这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的人数为X,求随机变量X的分布列和

均值.

解若选①，由题意得,随机变量X的所有可能取值为0,123,

Cl4

P(X=0)=干药

C心18

P(X=1)=

C：-35'

ClC\_\2

P(X=2)=

C：-35'

F(X=3)=C?=35-

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

181219

X--+2X--+3X-

E(X)=OX^+3535-7

35

若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0J2.3,且X〜B(3,分,

所以F(X=0)=C?X(l-1j3=1^,

p(x=i)=cjx|x(i-1)=g1,

尸(x=2)=Gx(分x(l一号=翳

27

343,

所以X的分布列为

X0123

6414410827

r343343343343

39

E(X)=3X^=y.

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2.(2023•毕节模拟)某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎

叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示.

(1)求频率分布直方图中。的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数的

中位数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小数),

⑵用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分

的人数为X,求X的分布列及均值.

解⑴•.•测试分数位于［50,60)的频数为4,频率为0.01X10=0.1,

4

，抽取学生数为不7=40,

，测试分数位于［80,90)的人数为40-(4+10+14+4)=8.

，a=奈+10=0.02.

由题意知，测试分数位于［60,70)的频率为而=0.25,位于［70,80)的频率为历=0.35,

设由频率分布直方图估计分数的中位数为/,

则有"一70)X0.035=0.5-0.1—0.25,解得个74.3,

估计平均数为55X0.1+65X0.25+75X0.35+85X0.2+95X0.1=74.5.

⑵由题意知，测试分数不低于90分的频率为0.1,人数为4,

•••X的所有可能取值为0,12,3,4,X〜6(4,0.1),

即尸(X=k)=C”0.及(0.9严伏=0』,2,3,4),

・・・X的分布列为

X01234

P0.65610.29160.04860.00360.0001

E(X)=4X0.1=0.4.

3.根据统il发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为"现有4例疑似病例，分别

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对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要

有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验：若

混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：

方案一：4个样本逐个化验；

方案二：4个样本混合在一起化验：

方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.

由于检测能力不足，化验次数的均值越小，则方案越“优”.

⑴若〃=；，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；

(2)若〃=专，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并

说明理由.

解(l)p=|,按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率尸=CWXG>X(3)2=5

(2)方案一：逐个检测，检验次数为4X1=4；

方案二：设检测次数为X,X的所有可能取值为1,5,

P(X=I)=(T)4=畿5，

65613439

ro（/AV—-----C5X）__—__1

10000-一10000'

则X的分布列为

X15

65613439

P

1000010000

方案二的均值E(X)=1X磊斋+5湍=2.3756；

方案三：每组2个样本检测时,

若呈阴性，则检测次数为1,概率为品J，

若呈阳性，则检测次数为3,概率为I一黯=器，

设方案三的检测次数记为Y,V的所有可能取值为2,4,6,

p(r=2)=^56L

2Ly100001

P（y=4）=2X孺X啬=3078

10000'

361

p（y=6）=

10000'

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则y的分布列为

Y246

65613078361

P

100001000010000

方案二的均值E(Y)=2X10000+4X100001-6X10000=2.76,

•••E(X)<E(r)v4,・••方案一、二、三中，方案二最“优”.

4.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件

作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表：

直径/mm5859616263646566676869707173合计

个数1135619331844212110()

经计算，样本直径的平均值“=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.

(1)为评判一台设备的性能.从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X，并根据以

下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):①Pa-oWXW4+(7)e0.6827；②P("-2oWXW"

+2㈤20.9545；③尸(〃一3)WXW4+3G20.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，

则设备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙；若仅满足其中一个不等式，

则设备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备M的性能等级；

(2)将直径小于〃一2。或直径大于4+2。的零件认为是次品.

①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数丫的均值E(y)；

②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分化列和均值E(Z).

解(1)由题意可得，尸(〃一cWXW"+Q=P(62.8WXW67.2)=0.8>0.6827,

P(/t~2。WX+2。)=尸(60.6WXW69.4)=0.94<0.9545,

P(/i-3WXSN+3a)=P(58.4WXW71.6)=0.98<0.9973,

因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.

⑵样本中次品共有6个，可估计设备M生产零件的次品率约为0.06.

①由题意可得，丫〜碓，焉)，所以仇n=2义焉=/

②由题意可知，Z的分布列为

Z0I2

或4

Pci

CTOOCTOOCTOO

所以风Z)=0X黑+1X需+2'悬=5

5.(2U22•唐山模拟)两会期司，国家对学生学业与木来发展以及身体素质重要性的阐述引起了

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全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所

示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）.体育组为进一步了解情况，组织了两个研究

小组.

（1）第一小组决定从单次完成1-15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方

法抽取22人进行全面的体能测试.

①在单次完成6〜10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1〜5个”的人

数为随机变量X,求X的分布列和均值；

⑵第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩

与体育成绩之间的2X2列联表.

学业成绩

体育成绩合计

优秀不优秀

不优秀200400600

优秀10010G200

合计300500800

根据小概率值a=0.005的独汇性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？

参考公式：独立性检脸统计量/=,空:心力小,其中〃=〃+〃+c+".

临界值表：

a0.10.050.010.005().001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解（1）①单次完成1〜5个引体向上的有0.020X5X800=80（人），

单次完成6〜10个引体向上的有0.030X5X800=120（人］,

单次完成11〜15个引体向上的有0.060X5X800=240（/.）,

则单次完成1〜15个引体向上的男生共440人，

采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人,则有扁=告=苏=磊,

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所以。=4,b=6,c=12,

即从单次完成1〜5个的人中选4人，6〜10个的人中选6人，11〜15个的人中选12人,

又因为单次完成6〜10个引体向上的共有120人,

记”单次完成6〜10个引体向上的学生中，男生甲被抽为事件4,

则尸(从尸洪=丞?

②X的所有可能取值为0,123,

户3=0)=屈=砺,

?(XT)_一385,

P(X-2)-©2—385,

P(X=3)=^=3_85L»

所以X的分布列为

X0123

204153271

P

385385385385

所以E(X)=0X荻+1X病+2X南+3义砺=热=打，

(2)零假设为儿：体育锹炼与学业成绩无关，

士上儿旧，口800X(200X100-400X100)2

由列联表中数据得，/=~ann乂=17.778>7.879=xo.oo5,

JUUAJUUAOUUAZUU

所以根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断从不成立，即认为体育锻炼与学业成

绩有关.

6.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织(WHO)常用身体质量

指数(BMI)来衡晟人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI=与需患翳.成人的

BMI数值标准为：BMIW18.4为偏瘦；18.5WBMIW23.9为正常；24WBMIW27.9为偏胖；

BMI228为肥胖.

某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取

了8名员工(编号1〜8)的身高x(单位：cm)和体重单位：kg)的数据，并计算得到他们的

BMI(精确到0.1)如表所示.

编号12345678

身高(cm)163164165168170172176182

第12页共15页

体重(kg)5460777268•7255

BMI(近似值)20.322.328.325.523.523.723.216.6

(I)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X,求X

的分布列及均值；

(2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重)，(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为

6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，井计算得出该组数据的经验回归

方程为；=05、+；且根据经验回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg,计算

_8

得到的其它数据如下：X=170,Zx,»=89920.

1=1

①求:的值及表格中8名员工体重的平均值亍；

②在数据处理时，调杳员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg,身高数据无误，

请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验同归方程，并据此预估一名身高为180cm的员T

的体重.

AAA

附：对于一组数据但，yi),(X2,力)，…，(x„,为)，其经脸回归直线,，=云+。的斜率和截距

Z@一〃xy

AA__A__

的最小二乘估计分别为〃=--------------,a=y~bx.

£/一〃x2

<=i

解(1)8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为X,

则X的所有可能取值为0,