山西省大同市北京师范大学大同附属中学校2025-2026学年高一（下）第六次学情巩固数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省北京师范大学大同附属中学校高一（下）第六次学情巩固数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数z=i+2i2+3i3在复平面内对应点的坐标为（）A.（-2，0） B.（0，-2） C.（-2，-2） D.（2，-2）2.我市某所高中共有学生6000人，其中一、二、三年级的人数比为3：4：5，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（）A.50 B.60 C.70 D.803.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A.若m∥n,n⊂α，则m∥α B.若m∥α，m∥β，则α∥β

C.若m⊥n,n⊂α，则m⊥α D.若m⊂α，n⊥α，则m⊥n4.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A.众数=平均数=中位数

B.众数＜中位数＜平均数

C.众数＜平均数＜中位数

D.中位数＜平均数＜众数5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是（）A.0

B.

C.

D.

6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA∥平面EBF时，=（）A.

B.

C.

D.7.如图，在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则AB=（）A.

B.

C.

D.8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为AB，AD的中点，P在线段C1D1上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）A.存在点P，使得PM与BC1异面

B.三棱锥C-MNP的体积与P点位置无关

C.若P为C1D1中点，三棱锥C-MNP的体积为

D.若P与D1重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知一组数据3，8，7，4，3，7，2，3，4，则（）A.该组数据的众数为3 B.该组数据的60%分位数是3

C.该组数据中大于3的数的占比大于50% D.去掉7和8后，该组数据的方差变大10.已知向量的夹角为，且，，则（）A. B.

C. D.在的方向上的投影向量为11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,点P在△ABC内，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，称点P为△ABC的布洛卡点，角α为△ABC的布洛卡角，则下列说法正确的是（）A.sin∠APB=sin∠ABC

B.若△ABC为等边三角形，则其布洛卡角

C.若PA=λPB，则b2=λac

D.若a+c=2，PA=3PB，则cos∠ABC的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足（2+i）z=5，则|z|=

.13.如图，直角梯形A′B′C′D′是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知A′D′∥B′C′，∠D′A′B′=90°，A′D′=3，A′B′=2，B′C′=1，则原图形的面积是

.

14.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在表面积为20π的球的表面上，AB=AC=AA1，，则此直棱柱的体积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，.

（1）求向量与的夹角的余弦值；

（2）当k为何值时，与垂直？16.(本小题15分)

如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积．

17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2bcosB+ccosA=acos（A+B）.

（1）求B；

（2）若a=4，c=6，，，求BD.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中，BC∥平面PAD，且AD=2BC，点E为棱PD的中点.

（1）求证：AD∥BC；

（2）求证：CE∥平面PAB；

（3）若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成[75，85），[85，95），[95，105），[105，115），[115，125]这五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

（2）某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩[75，85）的答卷有2份，成绩[115，125]的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有[75，85）的答卷也有[115，125]的答卷的概率.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】AB

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】8

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为量，，

所以=（3，3），

所以cos＜，＞===；

（2）因为，，

所以，

因为与垂直，

所以，即3×3+（1+k）×3=0，

解得k=-4．

16.【答案】解：连接A1C1，B1D1交于点O，取B1C1的中点E，连接PO，OE，PE，

（1）V长方体=8×8×3=192，

，

∴V总=192+64=256；

（2）∵PO=3，OE=4，

∴，

，

S长方体=4×8×3+8×8=160，

S总=80+160=240．

17.【答案】解：（1）因为2bcosB+ccosA=acos（A+B）=-acosC，

由正弦定理得2sinBcosB+sinCcosA=-sinAcosC，

则2sinBcosB=-（sinCcosA+sinAcosC）=-sin（A+C）=sinB，

所以2sinBcosB=-sinB，

又sinB≠0，所以2cosB=-1，即，

因为0＜B＜π，所以．

（2）

因为，所以点D在直线AC上．

因为，所以BD⊥AC，即BD为AC边上的高．

由余弦定理可得，

所以b=2，

由，

即，解得．

18.【答案】因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

根据线面平行的性质定理，可得：AD∥BC

取PA的中点F，连接EF，BF．如图：

因为E是PD中点，所以EF是△PAD的中位线，得EF∥AD，且．

由题设AD=2BC，结合（1）中AD∥BC，可得BC∥EF且BC=EF，

因此四边形BCEF是平行四边形，得CE∥BF．

又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

根据线面平行的判定定理，可得：CE∥平面PAB

线段AD上存在点N，当N是AD中点时，MN∥平面PAB．理由如下：

由BC∥AD，AD=2BC，可得BC∥AN且BC=AN，

因此四边形BCNA是平行四边形，得CN∥AB．

又CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CN∥平面P