第七章§7.5空间直线、平面的垂直

§7.5空间直线、平面的垂直考试要求1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直m⊂αn⊂性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：0，π3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直a⊂αa⊥性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα⋂1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(×)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)2.(2025·重庆模拟)已知α，β为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是()A.若m∥n，n⊂α，则m∥αB.若m∥α，n⊥α，则m⊥nC.若m∥β，α⊥β，则m⊥αD.若α⊥β，n⊂α，则n⊥β答案B解析A选项，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以A选项错误；B选项，若m∥α，则在α内存在直线l，使得m∥l，又n⊥α，l⊂α，故n⊥l，则m⊥n，所以B选项正确；C选项，若m∥β，α⊥β，则可能m⊂α或m∥α或m与α相交，所以C选项错误；D选项，若α⊥β，n⊂α，则可能n⊂β或n∥β或n与β相交，所以D选项错误.3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是()A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形答案ABD解析因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA=90°，而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾，所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误.4.(2026·北京模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为π4，则棱AA1的长为；二面角B-DD1-C的大小为答案2π解析由题意，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且D1B与平面ABCD所成的角为π4所以D1D⊥平面ABCD，因为DB⊂平面ABCD，所以D1D⊥DB，故D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD=π4所以△D1DB为等腰直角三角形，D1D=DB=2，所以AA1=2.又因为DC⊥DD1，且平面BDD1∩平面DD1C=DD1，所以二面角B-DD1-C的平面角为∠CDB=π41.灵活应用两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.掌握三种垂直关系的转化线线垂直线面垂直面面垂直题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T15)已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.证明作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，如图，PE⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF.PO⊥α，AB⊂α⇒AB⊥同理AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE=AF，OA=OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF，从而∠EAO=∠FAO.故点P在平面α内的射影O在∠BAC的平分线上.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.跟踪训练1如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.(1)证明因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC，因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O.因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC与Rt△A1BC中，因为A1B=AB，BC=BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C=AC.设A1C=AC=x，则A1C1=x，所以O为CC1的中点，OC1=12AA1=1又因为A1C⊥AC，所以A1C2+AC2=AA1即x2+x2=22，解得x=2，所以A1O=A1C12所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.跟踪训练2如图①所示，△ABC和△ACD都是直角三角形，AB=BC=6，∠CAD=30°.如图②所示，把△ABC沿AC边折起，使△ABC所在平面与△ACD所在平面垂直，连接BD.(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；(2)求点C到平面ABD的距离.(1)证明∵在图②中，平面ABC⊥平面ACD，且交线为AC，DC⊂平面ACD，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，BC，DC⊂平面BCD，∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.(2)解∵平面ABD⊥平面BCD，且交线为BD.如图，过点C作CH⊥BD于点H，则CH⊥平面ABD，即CH的长为点C到平面ABD的距离.在Rt△ABC中，AC=AB2+在Rt△ACD中，DC=AC·tan∠CAD=2，由(1)可知DC⊥BC，在Rt△BCD中，BD=BC2+DC∴CH=BC·DCBD=2∴点C到平面ABD的距离为215题型三线面角与二面角例3(多选)(2026·石家庄模拟)在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，BA⊥BC，PA=PB=PC=2，O为AC的中点，点M是棱BC上的中点，则()A.平面PAC⊥平面ABCB.异面直线AB与PM所成角的正弦值为6C.PC与平面ABC所成的角为πD.二面角P-AB-C的余弦值为7答案ACD解析在三棱锥P-ABC中，由AB=BC=2，BA⊥BC，O为AC的中点，得AC=2OA=2，由PA=PB=PC=2，得点P在平面ABC上的射影到△ABC三个顶点的距离相等，即点P在平面ABC上的射影为点O，因此PO⊥平面ABC，因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，A正确；对于B，由点M是BC的中点，得OM∥AB，则∠PMO是异面直线AB与PM所成的角，而PM=22−222=142，PO=3，PO⊥OM，则sin∠PMO=对于C，∠PCA是PC与平面ABC所成的角，而△PAC为正三角形，则∠PCA=π3，C对于D，如图，取AB的中点N，连接ON，PN，则ON∥BC，ON⊥AB，PN⊥AB，则∠PNO是二面角P-AB-C的平面角，cos∠PNO=ONPN=12BCPM=7三余弦定理cosθ=cosθ1·cosθ2的应用已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cosθ=cosθ1·cosθ2.典例已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC=90°，又∠PAB=∠PAC=60°，则PA与平面α所成的角为.

答案45°解析如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α所成的角，所以cos∠PAC=cos∠PAO·cos∠OAC，所以cos60°=cos∠PAO·cos45°，所以cos∠PAO=22，故∠PAO=45°所以PA与平面α所成的角为45°.思维升华三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.跟踪训练3(多选)(2025·中山模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是()A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为πB.B1C⊥AC1C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为πD.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为-3答案AB解析如图，设B1C与BC1的交点为H，则CH⊥BC1，而AB⊥平面BCC1B1，CH⊂平面BCC1B1，得CH⊥AB，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，则CH⊥平面ABC1D1，所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为π4，故A由A项知B1C⊥平面ABC1D1，又AC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥AC1，故B正确；连接AC，易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角，易求得DH=62，又CD=1，CH=2由余弦定理可得cos∠CHD=DH2+CH2课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(人教A版必修第二册P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是()A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β答案D2.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直，反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n，所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.3.(2026·鞍山模拟)若圆锥的侧面积与过轴的轴截面的面积的比值为2π，则圆锥母线与底面所成角的大小为()A.π6 B.π4 C.π3答案A解析设圆锥底面的半径为r，母线长为l，高为h，则由题意得12×2πr×l设圆锥母线与底面所成的角为θ0<θ则sinθ=hl=12⇒θ=所以圆锥母线与底面所成角的大小为π64.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部答案A解析连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.又平面ABC1∩平面ABC=AB，所以C1在平面ABC内的射影H必在两平面的交线AB上.5.(2026·南昌模拟)如图，已知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2DC，F，G分别是EB和AB的中点，则下列结论错误的是()A.FD∥平面ABC B.FG⊥平面ABCC.FC⊥AB D.平面EBC⊥平面EAB答案D解析连接AF，CG，如图，因为F，G分别是EB和AB的中点，所以FG∥EA，且FG=12EA又因为EA⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC，B正确；又因为AB⊂平面ABC，所以FG⊥AB，因为△ABC是正三角形，所以CG⊥AB，因为FG∩CG=G，FG，CG⊂平面CFG，所以AB⊥平面CFG，又因为FC⊂平面CFG，所以FC⊥AB，C正确；因为EA=AB=2DC，DC⊥平面ABC，所以FG∥DC，且FG=DC，所以四边形FGCD是平行四边形，所以FD∥GC，又因为GC⊂平面ABC，FD⊄平面ABC，所以FD∥平面ABC，A正确；由EA=AB和F为EB的中点可知AF⊥EB，假设平面EBC⊥平面EAB，又AF⊂平面EAB，平面EBC∩平面EAB=EB，则AF⊥平面EBC，因为BC⊂平面EBC，所以AF⊥BC，又因为EA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EA⊥BC，因为AF∩EA=A，AF，EA⊂平面EAB，所以BC⊥平面EAB，因为AB⊂平面EAB，所以AB⊥BC，与△ABC是正三角形矛盾，所以平面EBC与平面EAB不垂直，D错误.6.(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A.15 B.25 C.35答案C解析取AB的中点E，连接CE，DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB，又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB，从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED=150°，显然CE∩DE=E，CE，DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC=CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2，则CE=1，DE=3，在△CDE中，由余弦定理得CD=C=1+3−2×1×由正弦定理得DEsin∠DCE=即sin∠DCE=3sin150°7=显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=1−sin2∠DCE=1−3272所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为35二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2026·德州模拟)在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法错误的是()A.若l∥α，l⊥m，则m⊥αB.若l⊥m，l⊥α，则m∥αC.若l⊥α，m⊥β，l∥m，则α∥βD.若l∥α，α∥β，l⊥m，则m⊥β答案ABD解析作正方体ABCD-A'B'C'D'，对于A，不妨设m=D'A'，l=A'B'，α为底面ABCD，显然符合条件l∥α，l⊥m，但m⊥α不成立，故A错误；对于B，不妨设l=AA'，m=AC，α为底面ABCD，显然符合条件l⊥m，l⊥α，但m⊂α，故B错误；对于C，因为l⊥α，l∥m，所以m⊥α，又m⊥β，α，β不重合，所以α∥β，故C正确；对于D，不妨设l=D'A'，m=A'B'，α，β分别为下底面ABCD与上底面A'B'C'D'，显然符合条件l∥α，α∥β，l⊥m，但m⊂β，故D错误.8.(2026·长沙模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，侧棱BB1垂直于底面ABCD，下列结论正确的是()A.若AB=AD，则AC⊥BD1B.若AC=BD，则AC⊥BD1C.若A1D=A1B，则BD⊥平面ACC1A1D.若AD=AA1，则AD1⊥平面DA1B1C答案AC解析对于A，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB1⊥AC，又AB=AD，四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，因为BD∩BB1=B，BD，BB1⊂平面DBB1D1，则AC⊥平面DBB1D1，因为BD1⊂平面DBB1D1，所以AC⊥BD1，A正确；对于B，AC=BD，底面四边形ABCD为矩形，不一定得到AC⊥平面DBB1D1，B错误；对于C，设AC与BD交于点O，由A1D=A1B，O为BD的中点，得A1O⊥BD，因为AA1∥BB1，BB1⊥平面ABCD，所以AA1⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为AA1∩A1O=A1，AA1，A1O⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，C正确；对于D，因为AD=AA1，AA1⊥AD，所以四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，而AD1与A1B1不一定垂直，D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知直线l与平面α所成的角为30°，若直线m⊂α，则l与m所成角的最小值为.答案30°解析根据直线与平面所成角的定义，直线与平面所成的角等于直线和它在平面内的射影所成的角，该角是直线与平面内所有直线所成的角中最小的角，题中直线l与平面α所成的角为30°，且m⊂α，所以直线l与直线m所成角的最小值为30°.10.(人教A版必修第二册P152练习T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA=PB=PC，则点O是△ABC的心；(2)若PA=PB=PC，∠ACB=90°，则点O是AB边的点；(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的心.答案(1)外(2)中(3)垂解析(1)连接OA，OB，OC，图略，∵PA=PB=PC，且PO为公共边，∴Rt△AOP≌Rt△BOP≌Rt△COP，∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心.(2)当∠ACB=90°时，O为AB边的中点.(3)连接AO，CO并延长，图略，∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB.∵PO⊥α，AB⊂α，∴PO⊥AB，又PO∩PC=P，PO，PC⊂平面PCO，∴AB⊥平面PCO，又CO⊂平面PCO，∴AB⊥CO，同理，BC⊥AO，∴点O为△ABC三条高的交点，即点O为△ABC的垂心.四、解答题(共27分)11.(13分)如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，DE⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，且F为PB的中点.求证：(1)AF⊥PC；(6分)(2)平面PAB∥平面CDE.(7分)证明(1)∵△PAB为等边三角形，且F为PB的中点，∴AF⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，∴CB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴CB⊥AF，又AF⊥PB，CB∩PB=B，CB，PB⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AF⊥PC.(2)取AB的中点M，连接PM(图略)，则PM⊥AB，又CB⊥平面PAB，∴PM⊥BC，且AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，又DE⊥平面ABCD，∴DE∥PM，又DE⊂平面CDE，PM⊄平面CDE，∴PM∥平面CDE，又AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又PM∩AB=M，PM，AB⊂平面PAB，∴平面PAB∥平面CDE.12.(14分)(2025·常德模拟)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，二面角E-AB-D的大小为π4(1)证明：平面ADE⊥平面ABCD；(5分)(2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值.(9分)(1)证明在四棱锥E-ABCD中，由AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，得AE⊥CD，由四边形ABCD是正方形，得AD⊥CD，而AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，因此CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD.(2)解由(1)知，CD⊥平面ADE，而AB∥CD，则AB⊥平面ADE，又AD，AE⊂平面ADE，于是AB⊥AD，AB⊥AE，∠DAE为二面角E-AB-D的平面角，则∠DAE=π4令正方形ABCD的边长为4，而AE⊥DE，则AE=DE=22，取AD的中点O，连接EO，BO，则EO⊥AD，由(1)知平面ADE⊥平面ABCD，又平面ADE∩平面ABCD=AD，EO⊂平面ADE，则EO⊥平面ABCD，∠EBO是直线BE与平面ABCD所成的角，而EO=2，易得在Rt△ABE中，BE=42+(22则sin∠EBO=EOBE=6所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为66[13题5分，1