2027版53B版新高考版数学总复习重难突破专题一　集合、常用逻辑用语与不等式

专题一集合、常用逻辑用语与不等式体系透视目录题型透析题型1集合中的容斥原理题型2集合中的创新题题型3解基本不等式问题的常用方法体系透视

题型1集合中的容斥原理容斥原理实质上是一种计数方法,在计数时我们先不考虑重叠的情况,把包含于某

内容中的所有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的数目去掉,最终使得计

算结果既无遗漏又无重复.在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫

做有限集,用card(A)表示有限集合A中元素的个数,例如,A={a,b,c},则card(A)=3.题型透析1.两个集合的容斥原理一般地,对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).如图所

示.2.三个集合的容斥原理一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card

(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).如图所示.例1

(2026陕西部分学校联考)有15人参加篮球、乒乓球、羽毛球训练,参加篮球训练

的有6人,参加乒乓球训练的有9人,参加羽毛球训练的有10人,其中只参加2种球类训练

的有6人,则3种球类训练都参加的人数为

()A.2

B.4

C.1

D.3

A

解析题中的信息较烦琐,不妨画出Venn图,并根据题意把各部分人数标注出来.用集合A,B,C分别表示参加篮球,乒乓球,羽毛球训练的学生,则card(A)=6,card(B)=9,card(C)=10,card(A∪B∪C)=15,设3种球类训练都参加的人数为x,把同时参加两种球类训练的人数用x表示,再由共15人参加列方程求x.则card(A∩B)+card(A∩C)+card(B∩C)=6+3x,所以根据三个集合的容斥原理可得15=6+9+10-(6+3x)+x,解得x=2.故选A.例2某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂,课堂分为球类项目A、径赛项

目B、其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目B,18名

同学选择其他健身项目C,其中有6名同学同时选择A和B,4名同学同时选择A和C,3名同

学同时选择B和C.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,

则这个班的学生人数是

()A.51

B.50

C.49

D.48

B

解析发现所给条件与例1类似,所以也画出Venn图,并根据题意把各部分人数标注出

来.把选择项目A,B,C的同学分别看作3个不同的集合A,B,C.由题意,知card(A)=25,card(B)=20,card(C)=18,card(A∩B)=6,card(A∩C)=4,card(B∩C)=3,

因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目,所以card(A∩B∩

C)=0,由上面分析知,根据三个集合的容斥原理求这个班的学生人数.所以card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)=25+20+18-6-4-3=50.故选B.题型2集合中的创新题例1已知非空数集I,P满足:(i)∀x∈I,有x∈P;(ii)∀x,y∈I,有x+y∈I;(iii)∀x∈I且∀y∈P,有xy∈I,则称I是P的“理想子集”.给出下列四个结论:①若I={2k|k∈Z},则I是Z的“理想子集”;②若I是R的“理想子集”,且存在非零实数a∈I,则I=R;③若I1,I2是P的“理想子集”,则I1∪I2也是P的“理想子集”;④若I1,I2是P的“理想子集”,则I1∩I2也是P的“理想子集”.其中正确结论的序号是__________.①②④

解析先理解给出的3个条件的具体含义:(i)表示I⊆P,即I是P的子集;(ii)表示I中任意两

个元素的和仍是I中的元素;(iii)表示I中任意元素与P中任意元素的乘积仍是I中的元素,

然后对四个结论逐一判断.①集合I={2k|k∈Z}表示所有偶数构成的集合,所有的偶数都是整数,满足(i);任意两个偶数的和仍是偶数,满足(ii);任意偶数与任意整数的积仍是偶数,满足(iii).故I是Z的“理想子集”,因此①中结论正确.②若I是R的“理想子集”,则需满足条件(i)(ii)(iii),任何数集都是实数集R的子集,所以满足条件(i),由条件(iii):取x=a(a≠0),对任意y∈R,有xy∈I.令y=

,则x·

=1∈I.对任意y∈R,取x=1,由条件(iii)得1·y=y∈I,即R中所有数都属于I,故I=R.因此②中结论正

确.③若I1,I2是P的“理想子集”,则由(ii)∀x,y∈I1,有x+y∈I1,∀x,y∈I2,有x+y∈I2,但对于x∈I1,y∈I2,不一定有x+y∈I1∪I2,不满足(ii),举例:I1={2k|k∈Z},I2={3k|k∈Z},P=Z,

此时2∈I1,3∈I2,但2+3∉I1∪I2,因此③中结论错误.④若I1,I2是P的“理想子集”,对于I1∩I2,显然∀x∈(I1∩I2),有x∈P,满足(i),令a,b∈I1∩I2,c∈P,则a,b∈I1,又I1是P的“理想子集”,所以a+b∈I1,ac∈I1,同理,由I2是P的“理想子集”可得a+b∈I2,ac∈I2,所以a+b∈(I1∩I2),ac∈(I1∩I2),满足(ii)

(iii),因此④中结论正确.故答案为①②④.例2

(2026江苏盐城七校联盟学情检测)设A是实数集的非空子集,称集合B={uv|u,v∈A

且u≠v}为集合A的生成集.当A={1,3,5}时,写出集合A的生成集B为_______________.记

集合M中元素个数为card(M).若A是由5个正实数构成的集合,则card(B)的最小值为___________.7

{3,5,15}

解析第一空:求生成集B,需从题干信息弄明白生成集的定义.当A={1,3,5}时,列举出u,v∈A且u≠v时uv的结果,1×3=3,1×5=5,3×1=3,3×5=15,5×1=5,5×3=15,则B={3,5,15}.(注意集合中元素的互异性)第二空:需要分析如何让不同元素的乘积重复次数最多,从而使B中元素个数最少.令A={a1,a2,a3,a4,a5},设出A中元素的大小来分析集合B中可能的元素的大小关系,设0<a1<a2<a3<a4<a5,任取2数相乘后共有10个结果,即a1a2,a1a3,a1a4,a1a5,a2a3,a2a4,a2a5,a3a4,a3

a5,a4a5,这10个数中哪几个数有明确的大小关系?a1a2<a1a3<a1a4<a1a5<a2a5<a3a5<a4a5,a1a2<a1a3<a2a3<a2a4<a3a4<a3a5<a4a5,观察上面两组不等关系,发现可能相等的数有a2a3=a1a4,a1a5=a2a4,a2a5=a3a4,即10个数中最

多有3组相等的数,所以card(B)的最小值为7.故答案为{3,5,15};7.方法总结解决集合新定义问题的策略1.逐字逐句分析新定义的内涵,明确其中涉及的元素、条件、规则等,对集合的元素、

关系等逐一验证,确保每一步都符合新定义,避免因对定义理解不透彻而出现逻辑漏洞.2.将新定义与已学的集合知识(如元素的确定性、互异性、无序性,集合的包含、交

集、并集等)结合,把新定义问题转化为熟悉的集合问题.合理利用集合性质是破解问

题的关键.3.特值法:对于涉及具体元素的新定义问题,可选取符合条件的特殊值(如具体数字、简

单集合)代入,简化分析过程.若要说明某个结论不成立,只需找到一个满足定义但不满足结论的例子即可.题型3解基本不等式问题的常用方法角度1配凑法例1已知0<x<2,则x(5-2x)的最大值为___________.解析因为0<x<2,所以1<5-2x<5,故x,5-2x均为正值,但是x与5-2x的和不是定值,故将x配系数,即x=

·2x,这样凑成和为定值.x(5-2x)=

·2x(5-2x)≤

=

,当且仅当2x=5-2x,即x=

时等号成立,故x(5-2x)的最大值为

.例2

(2025山东聊城阶段练习)已知x>y>0,则3x+

+

的最小值为___________.

4

解析由x>y>0,得2x-y>0,x+y>0,为求和的最小值,应想办法凑积为定值.

,

的分母分别是2x-y,x+y,观察到3x=(2x-y)+(x+y).则3x+

+

=2x-y+

+x+y+

≥2

+2

=4,当且仅当

即

亦即

时取等号,则3x+

+

的最小值为4.方法总结

配凑法主要通过添项、拆项等方法将相关代数式进行适当变形,凑成和为定值或

积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.配凑法的实质是对代数式的灵活变形,配

系数、凑常数.如:x+

=(x-a)+

+a;x+

=

+

+

;

+

=

+

-1;x+

+

=

+

+

+

.角度2消元法例3

(2025江苏苏州期中调研)设a,b,c为正实数,且满足a-3b+2c=0,则

的最小值是__________.解析目标式的变量多,观察发现由所给等式可解出b,代入目标式消元.因为a-3b+2c=0,所以b=

.则

=

=

≥

=

=

,当且仅当a=2c,b=

时取等号,所以

的最小值是

.例4已知a>0,b>0,

+

=1,则

+

的最小值为___________.

4

解析求最小值的关键是凑积定,目标式较复杂,不易看出怎么凑,可利用已知等式反解

出b,消元再看.由

+

=1可得b=

,因为a>0,b>0,所以a>1,

+

=

+

=

+

=

+a=

+a=1+

+a=2+

+(a-1)≥2+2

=4,当且仅当

=a-1时取等号,结合a>1可得此时a=2,所以

+

的最小值为4.方法总结

对于多元最值问题,可以采用整体换元将复杂问题简单化,或是直观上看问题的条

件与所求式关系并不清晰时,可以采用代入消元法减少变量,使所求式结构明朗.例5

(2025江苏镇江开学考试)已知x>0,y>0,且2x+y=2xy,则x+y的最小值为___________.

+ 

角度3常值“1”的代换法解析因为x>0,y>0,且2x+y=2xy,所以

+

=2,要求和的最小值,应凑积为定值,把x+y看作(x+y)·1,其中1=2×

,2可代换成

+

,展开后有积为定值.所以x+y=

(x+y)=

≥

=

+

,当且仅当

=

,即

时,等号成立,所以x+y的最小值为

+

.例6

(2025江苏泰州多校联考)在1和11之间插入m个数,使得这(m+2)个数成等差数列.

若这m个数中第1个为a,第m个为b,则

+

的最小值是()A.

B.2

C.3

D.

C

解析根据等差数列的性质知a+b=1+11=12,1<a<b<11,则

+

=1,出现了两数相加等于1的等式,结合目标式,想到“1”的代换,所以

+

=

=

+

+

+

≥

+2

=3,当且仅当

=

,a+b=12,即b=10,a=2时等号成立,此时a,b满足1<a<b<11,m=9,所以

+

的最小值是3.故选C.技巧总结“1”的代换的解题步骤已知正数x,y满足ax+by=1,求

+

的最小值

满足

+

=1,求ax+by的最小值,也是一样的操作

,其中a,b,c,d都为正数.第一步:将“1”用ax+by代替,

+

=

(ax+by)=ac+bd+ad·

+bc·

,第二步:使用基本不等式,ad·

+bc·

≥2

,当且仅当ad·

=bc·

时取等号,第三步:得出

+

的最小值为ac+bd+2

.基本不等式链:∀a>0,b>0,有

≤

≤

≤

,当且仅当a=b时取等号,其中

和

分别叫做a和b的调和平均数、平方平均数.上述不等式链中比较常用的是后三项的大

小关系,且常以平方形式ab≤

≤

出现,此时a,b可以为任意实数.证明:首先,要证

≤

,只要证

≤

,即要证

≥

,即要证a+b≥2

.因为a-2

+b=

≥0,所以a+b≥2

,当且仅当a=b时等号成立,所以原式得证.角度4基本不等式链的应用要证

≤

,即证

≤

.因为

-

=

≥0,所以

≤

,当且仅当a=b时等号成立.综上,

≤

≤

≤

,其中a,b都是正数,当且仅当a=b时等号成立.例7已知正实数a,b满足a+b=4,则下列说法正确的是

()A.a2+b2有最小值1

B.ab有最大值2C.

+

有最大值1

D.

有最小值

D

解析观察各选项中的代数式,发现可用基本不等式链解决.A.由2=

≤

,得a2+b2≥8,当且仅当a=b时取等,故a2+b2的最小值为8,A中说法不正确;B.由

≤

=2,得ab≤4,当且仅当a=b时取等,故ab的最大值为4,B中说法不正确;C