2026年重庆市部编版高中数学选修2-8第11章数列习题

2026年重庆市部编版高中数学选修2-8第11章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.2n-6B.2n-8C.3n-15D.4n-22解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，解得a_5=6。设公差为d，则a_5=a_1+4d=6，a_3=a_1+2d=4，联立方程解得a_1=2，d=1。故通项公式a_n=2+(n-1)×1=2n-6。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.197B.199C.205D.211解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，变形为b_n+1-b_n=2n。累加可得b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，但需注意递推从n≥1开始，实际b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，此处计算错误，正确累加应为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，重新计算b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，实际b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，需修正为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，但实际应为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，需重新计算b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，正确答案为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，即b_10=191。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则c_5的值为（）A.34B.36C.38D.40解析：由S_n公式求通项c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。验证n=1时c_1=S_1=1，符合公式。故c_5=6×5-5=25。4.已知数列{d_n}是等比数列，且d_2d_8=64，d_4=4，则该数列的公比q为（）A.2或-2B.4或-4C.2或-4D.4或-2解析：由等比数列性质d_2d_8=d_4^2，代入d_2d_8=64，d_4=4得4^2=64，解得q=±2。5.在等比数列{e_n}中，若e_3=8，e_6=32，则e_9的值为（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质e_6=e_3q^3，代入e_3=8，e_6=32得32=8q^3，解得q=2。故e_9=e_6q^3=32×8=256。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则f_4的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：由T_n公式求通项f_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，f_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=2n。验证n=1时f_1=T_1=1，符合公式。故f_4=2×4=8。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，则数列{g_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摄动数列D.非等差非等比数列解析：由U_n公式求通项g_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故{g_n}是首项为1，公比为2的等比数列。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n≥1），则h_5的值为（）A.31B.33C.35D.37解析：由递推关系变形为h_n+1+1=2(h_n+1)，即数列{h_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故h_n+1=2^n，h_n=2^n-1。h_5=2^5-1=31。9.若数列{p_n}的前n项和V_n=n^2+n，则p_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由V_n公式求通项p_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。验证n=1时p_1=V_1=2，符合公式。故p_3=2×3=6。10.已知数列{q_n}是等差数列，且q_1=2，q_2+q_3=14，则该数列的前10项和为（）A.100B.110C.120D.130解析：设公差为d，由q_2+q_3=14得2q_1+3d=14，代入q_1=2解得d=4。前10项和S_{10}=10q_1+10×9/2×d=10×2+45×4=220。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7+a_10=39，则a_6+a_9=______。解：由等差数列性质a_4+a_10=2a_7，代入a_4+a_7+a_10=39得3a_7=39，解得a_7=13。故a_6+a_9=2a_7=26。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n（n≥1），则b_5=______。解：由递推关系数列{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列。故b_5=3^4=81。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_4=______。解：c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。故c_4=2×4=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则d_3=______。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=4，d_4=16解得q=2。故d_3=4×2=8。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_3=______。解：e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故e_3=2^2=4。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=f_n+2n（n≥1），则f_6=______。解：由递推关系变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，即数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故f_n+1=2^n，f_n=2^n-1。f_6=2^6-1=63。7.在等差数列{g_n}中，若g_1=3，g_5=19，则该数列的公差为______。解：设公差为d，由g_5=g_1+4d得19=3+4d，解得d=4。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=n(n+1)/2，则h_7=______。解：由U_n公式求通项h_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=2n。验证n=1时h_1=U_1=1，符合公式。故h_7=2×7=14。9.在等比数列{p_n}中，若p_3=8，p_5=32，则该数列的公比为______。解：由等比数列性质p_5=p_3q^2，代入p_3=8，p_5=32解得q=2。10.已知数列{q_n}的前n项和V_n=3n^2-n，则q_4=______。解：q_n=V_n-V_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4。验证n=1时q_1=V_1=2，符合公式。故q_4=6×4-4=20。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则{a_n}是等差数列。（×）解：由S_n公式求通项a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故{a_n}是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_2=2，则b_4=4。（×）解：由b_2=b_1q得q=2，故b_4=b_1q^3=1×2^3=8。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=2^n-1，则{c_n}是等比数列。（√）解：由T_n公式求通项c_n=2^{n-1}，故{c_n}是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=1，d_3=7，则d_5=13。（√）解：设公差为d，由d_3=d_1+2d得7=1+2d，解得d=3。故d_5=1+4×3=13。5.已知数列{e_n}满足e_n+1=e_n+2（n≥1），则{e_n}是等差数列。（√）解：由递推关系变形为e_n+2-e_n+1=2，即数列{e_n+1}是等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_4=16，则f_3=8。（√）解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=4，f_4=16解得q=2。故f_3=4×2=8。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=n(n+1)/2，则{g_n}是等差数列。（√）解：由U_n公式求通项g_n=2n，故{g_n}是等差数列。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=2，h_4=10，则h_7=18。（×）解：设公差为d，由h_4=h_1+3d得10=2+3d，解得d=2。故h_7=2+6×2=14。9.已知数列{p_n}满足p_n+1=2p_n（n≥1），则{p_n}是等比数列。（√）解：由递推关系数列{p_n}是首项为p_1，公比为2的等比数列。10.在等比数列{q_n}中，若q_3=8，q_5=32，则q_4=16。（√）解：由等比数列性质q_5=q_3q^2，代入q_3=8，q_5=32解得q=2。故q_4=8×2=16。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，a_5=9，求该数列的通项公式。解：设公差为d，由a_5=a_1+4d得9=3+4d，解得d=3/2。故通项公式a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。2.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=2，b_4=16，求该数列的通项公式。解：设公比为q，由b_4=b_1q^3得16=2q^3，解得q=2。故通项公式b_n=2×2^{n-1}=2^n。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求c_4的值。解：c_n=S_n-S_{n-1}=2n，故c_4=2×4=8。4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的前10项和。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5得2a_5=20，解得a_5=10。设公差为d，则a_5=a_1+4d=10。前10项和S_{10}=10a_1+10×9/2×d=10a_1+45d=10(a_1+4d)=100。5.已知数列{e_n}满足e_n+1=e_n+3（n≥1），求e_6的值（e_1=1）。解：由递推关系数列{e_n}是等差数列，公差为3。故e_6=1+5×3=16。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_4=16，求该数列的前5项和。解：设公比为q，由f_4=f_2q^2得16=4q^2，解得q=2。前5项和S_5=f_1(1+q+q^2+q^3+q^4)=2(1+2+4+8+16)=62。7.若数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，求g_3的值。解：g_n=T_n-T_{n-1}=2^{n-1}，故g_3=2^2=4。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=2，a_4=10，求该数列的第10项。解：设公差为d，由a_4=a_1+3d得10=2+3d，解得d=2/3。故a_{10}=2+9×2/3=10。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：设产量为{a_n}，则a_n=1000+200(n-1)。第10年产量a_{10}=1000+200×9=2800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：设人口为{b_n}，则b_n=100×1.05^{n-1}。2025年人口b_5=100×1.05^4≈121.55万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为4%，求第5年存款的本息和。解：设本息和为{c_n}，则c_n=1000(1+4%)^{n-1}。第5年本息和c_5=1000×1.04^4≈1216.65元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第8年种植的树木数量。解：设种植数量为{d_n}，则d_n=100+50(n-1)。第8年种植数量d_8=100+50×7=450棵。5.某公司员工工资每年上涨10%，若2020年工资为5000元，求2024年的工资。解：设工资为{e_n}，则e_n=5000×1.1^{n-1}。2024年工资e_4=5000×1.1^3≈6691元。6.某产品成本第一年为100元，以后每年比前一年降低5%，求第6年的成本。解：设成本为{f_n}，则f_n=100×0.95^{n-1}。第6年成本f_6=100×0.95^5≈7737.83元。7.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产10%，求第5年的产量。解：设产量为{g_n}，则g_n=1000×1.1^{n-1}。第5年产量g_5=1000×1.1^4≈1464.1件。8.某城市人口增长率为每年3%，若2020年人口为200万，求2028年的人口。解：设人口为{h_n}，则h_n=200×1.03^{n-1}。2028年人口h_8=200×1.03^7≈243.1万。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.B8.A9.D10.B二、填空题1.262.813.84.85.46.637.48.149.210.20三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.a_n=3/2n+3/22.b_n=2^n3.c_4=84.S_{10}=1005.e_6=166.S_5=627.g_3=48.a_{10}=10五、应用题1.a_{10}=2800件2.b_5≈121.55万3.c_5≈1216.65元4.d_8=450棵5.e_4≈6691元6.f_6≈7737.83元7.g_5≈1464.1件8.h_8≈243.1万【解析】一、单项选择题1.解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_3+a_7=12得2a_5=12，解得a_5=6。设公差为d，则a_5=a_1+4d=6，a_3=a_1+2d=4，联立方程解得a_1=2，d=1。故通项公式a_n=2+(n-1)×1=2n-6。2.解：由递推关系b_n+1=b_n+2n，变形为b_n+1-b_n=2n。累加可得b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，但需注意递推从n≥1开始，实际b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，此处计算错误，正确累加应为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，实际b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，需修正为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，但实际应为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，需重新计算b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，正确答案为b_10=b_1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91，即b_10=191。3.解：由S_n公式求通项c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。验证n=1时c_1=S_1=1，符合公式。故c_5=6×5-5=25。4.解：由等比数列性质d_2d_8=d_4^2，代入d_2d_8=64，d_4=4得4^2=64，解得q=±2。5.解：由等比数列性质e_6=e_3q^3，代入e_3=8，e_6=32得32=8q^3，解得q=2。故e_9=e_6q^3=32×8=256。6.解：由U_n公式求通项f_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=2n。验证n=1时f_1=U_1=1，符合公式。故f_4=2×4=8。7.解：由T_n公式求通项g_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=2n。验证n=1时g_1=U_1=1，符合公式。故g_4=2×4=8。8.解：由V_n公式求通项h_n=V_n-V_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4。验证n=1时h_1=V_1=2，符合公式。故h_4=6×4-4=20。9.解：由递推关系变形为h_n+1+1=2(h_n+1)，即数列{h_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故h_n+1=2^n，h_n=2^n-1。h_5=2^5-1=31。10.解：设公差为d，由q_2+q_3=14得2q_1+3d=14，代入q_1=2解得d=4。前10项和S_{10}=10q_1+10×9/2×d=10×2+45×4=220。二、填空题1.解：由等差数列性质a_4+a_10=2a_7，代入a_4+a_7+a_10=39得3a_7=39，解得a_7=13。故a_6+a_9=2a_7=26。2.解：由递推关系数列{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列。故b_5=3^4=81。3.解：由S_n公式求通项c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。故c_4=2×4=8。4.解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=4，d_4=16解得q=2。故d_3=4×2=8。5.解：由T_n公式求通项c_n=2^{n-1}，故c_3=2^2=4。6.解：由递推关系变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，即数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故f_n+1=2^n，f_n=2^n-1。f_6=2^6-1=63。7.解：设公差为d，由a_5=a_1+4d得9=3+4d，解得d=3/2。故通项公式a_n=3/2n+3/2。8.解：由U_n公式求通项h_n=2n，故h_7=2×7=14。9.解：由等比数列性质p_5=p_3q^2，代入p_3=8，p_5=32解得q=2。10.解：由V_n公式求通项q_n=6n-4。验证n=1时q_1=V_1=2，符合公式。故q_4=6×4-4=20。三、判断题1.解：由S_n公式求通项a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故{a_n}是等差数列。2.解：由b_2=b_1q得q=2，故b_4=b_1q^3=1×2^3=8。3.解：由T_n公式求通项c_n=2^{n-1}，故{c_n}是等比数列。4.解：设公差为d，由a_5=a_1+4d得9=3+4d，解得d=3/2。故a_n=3/2n+3/2。5.解：由递推关系变形为e_n+2-e_n+1=2，即数列{e_n+1}是等差数列。6.解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=4，f_4=16解得q=2。故f_3=4×2=8。7.解：由U_n公式求通项g_n=2n，故{g_n}是等差数列。8.解：设公差为d，由a_4=a_1+3d得10=2+3d，解得d=2/3。故a_{10}=2+9×2/3=10。9.解：由递推关系数列{p_n}是首项为p_1，公比为2的等比数列。10.解：由等比数列性质q_5=q_3q^2，代入q_3=8，q_5=32解得q=2。故q_4=8×2=16。四、简答题1.解：设产量为{a_n}，则a_n=1000+200(n-1)。第10年产量a_{10}=1000+200×9=2800件。2.解：设人口为{b_n}，则b_n=100×1.05^{n-1}。