考研数学二冲刺试卷全套-2022（按章节分类版）

考研数学二冲刺试卷全套_2022（按章节分类版）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，在$(a,b)$内除点$c(a<c<b)$外可导，且$f(c)$为$f(x)$在$(a,b)$内的极大值。若极限$\lim_{x\toc}f'(x)$存在，则该极限值为______。A.0B.1C.-1D.不确定2.已知函数$y=ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，则$y^{(n)}(0)$在$n\geq2$时的通项公式为______。A.$(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{n}x^{n-2}$B.$(-1)^{n}\frac{(n-1)!}{n}x^{n-2}$C.$(-1)^{n-1}\frac{n!}{(n-1)!}x^{n-2}$D.$(-1)^{n}\frac{n!}{(n-1)!}x^{n-2}$3.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$。若存在$c\in(a,b)$使得$f'(c)>0$，则______。A.必存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$B.必存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)<0$C.不一定存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$D.必存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=1$4.已知幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径为2，则级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$的收敛域为______。A.$(-2,2)$B.$[-2,2]$C.$(-2,2]$D.$[-2,2)$5.若函数$y=y(x)$由方程$2y-x-\lny=1$确定，则$\frac{dy}{dx}$在$x=1$处的值为______。A.1B.2C.0D.-16.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且满足$\int_0^1f(t)x^{2t}dx=1$，则$f(0)$的值为______。A.1B.2C.3D.47.已知函数$y=2^x$，则其三阶麦克劳林公式中的$x^3$项系数为______。A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{6}$C.1D.28.若曲线$y=lnx$与$y=kx$在点$(e,k)$处相切，则$k$的值为______。A.$\frac{1}{e}$B.$\frac{1}{e^2}$C.$e$D.$e^2$9.已知函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，且满足$f(x+1)=f(x)+1$，则$f(x)$的表达式为______。A.$x$B.$x+1$C.$2x$D.$2x+1$10.设函数$y=xe^{-x}$，则其在$[0,2]$上的最大值为______。A.$1-e^{-1}$B.$2e^{-2}$C.$e^{-1}$D.$1$二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.设函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=2$，则$f'(1)$的值为______。2.已知函数$y=arctan(x^2)$，则$y''(0)$的值为______。3.若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则根据罗尔定理，必存在$\xi\in(a,b)$使得______。4.设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在$x=-2$处收敛，在$x=2$处发散，则该幂级数的收敛半径为______。5.已知函数$y=x^3-3x^2+2$，则其在$[0,3]$上的最大值为______，最小值为______。6.若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且满足$\int_a^bf(x)dx=0$，则根据积分中值定理，必存在$\xi\in(a,b)$使得______。三、解答题（共6小题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：存在$\xi\in(0,1)$使得$f'(\xi)=2$。2.（10分）求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收敛域及和函数。3.（10分）已知函数$y=ln(x^2+1)$，求$y^{(100)}(0)$的值。4.（10分）计算定积分$\int_0^1xe^{-x^2}dx$的值。5.（10分）设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上连续，且满足$f(x)\geq0$，$f(0)=1$，且对任意$x_1,x_2\geq0$，有$f(x_1+x_2)\leqf(x_1)+f(x_2)$，证明：$f(x)\leqe^x$。6.（10分）已知曲线$y=lnx$与$y=kx$在点$(e,k)$处相切，求曲线$y=lnx$在$[1,e]$上的弧长。【标准答案】一、单项选择题1.A2.A3.C4.D5.B6.A7.B8.A9.A10.A二、填空题1.22.23.$f'(\xi)=0$4.25.最大值2，最小值-26.$f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=0$三、解答题1.证明：根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,1)$使得$f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=2$。2.收敛域：$(-\infty,+\infty)$。和函数：$e^x-1$。3.$y^{(100)}(0)=\frac{100!}{2^{50}}$。4.$\int_0^1xe^{-x^2}dx=\frac{1}{2}(1-e^{-1})$。5.证明：令$F(x)=f(x)-e^x$，则$F(0)=0$，且$F'(x)=f'(x)-e^x$。由于$f(x)\geq0$，$f(0)=1$，且$f(x_1+x_2)\leqf(x_1)+f(x_2)$，可得$f'(x)\leqe^x$，故$F'(x)\leq0$，$F(x)\leq0$，即$f(x)\leqe^x$。6.求解：$y'|_{x=e}=\frac{1}{e}=k$，故$k=\frac{1}{e}$。曲线$y=lnx$在$[1,e]$上的弧长为$\int_1^e\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}dx=e-\sqrt{2}$。【详细解析】一、单项选择题1.解：由于$\lim_{x\toc}f'(x)$存在，设为$L$，则$f'(c)=L$。根据极值点的必要条件，$f'(c)=0$，故$L=0$，选A。2.解：$y=ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1}{2}ln(1+x)-\frac{1}{2}ln(1-x)$，则$y^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{(1+x)^k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{(1-x)^k}$，在$x=0$处，$y^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{n}$，选A。3.解：根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，与$f'(c)>0$矛盾，故不一定存在$\xi$使得$f'(\xi)=0$，选C。4.解：根据幂级数收敛半径的定义，收敛半径为$\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=2$，故$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2}$。对于$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{a_n}{n+1}|}=\frac{1}{2}$，故收敛半径为2，收敛域为$(-2,2)$，选A。5.解：对方程$2y-x-\lny=1$两边求导，得$2y'-1-\frac{1}{y}y'=0$，解得$y'=\frac{y}{2y-1}$，在$x=1$处，$y=1$，故$y'(1)=1$，选B。6.解：令$I=\int_0^1f(t)x^{2t}dx$，则$I'=\int_0^1f(t)(2tx^{2t-1})dx=x^2\int_0^1f(t)x^{2t-2}dt$，令$x=0$，得$I'=0$，故$I=0$，即$\int_0^1f(t)x^{2t}dx=0$，故$f(0)=0$，选A。7.解：$y=2^x$的三阶麦克劳林公式为$1+xln2+\frac{x^2ln^22}{2}+\frac{x^3ln^32}{6}$，$x^3$项系数为$\frac{ln^32}{6}$，选B。8.解：$y=lnx$在点$(e,k)$处的切线斜率为$\frac{1}{e}$，故$k=\frac{1}{e}$，选A。9.解：令$f(x-1)=g(x)$，则$g(x+1)=g(x)+1$，故$g(x)=x+C$，即$f(x)=x+1$，选A。10.解：$y'=e^{-x}-xe^{-x}$，令$y'=0$，得$x=1$，$y(1)=\frac{1}{e}$，$y(0)=0$，$y(2)=\frac{1}{e^2}$，故最大值为$\frac{1}{e}$，选A。二、填空题1.解：$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=2$，故$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0$，$f'(1)=0$，但$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=2$，故$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^3}=0$，$f''(1)=2$，选2。2.解：$y'=2x\frac{1}{1+x^2}$，$y''=2\frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$，$y''(0)=2$，选2。3.解：根据罗尔定理，必存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$，选$f'(\xi)=0$。4.解：根据幂级数收敛半径的性质，$R=2$，选2。5.解：$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$，得$x=0,2$，$y(0)=2$，$y(2)=2$，$y(3)=11$，故最大值为11，最小值为-2，选11，-2。6.解：根据积分中值定理，必存在$\xi\in(a,b)$使得$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)=0$，故$f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=0$，选$f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=0$。三、解答题1.证明：根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,1)$使得$f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=2$。2.解：收敛域：由比值判别法，$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{1}{n+1}\to0$，故收敛半径为$+\infty$，即$(-\infty,+\infty)$。和函数：$S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x-1$。3.解：$y=ln(x^2+1)$，$y'=\frac{2x}{x^2+1}$，$y''=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$，$y'''=\frac{-4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$，$y^{(100)}(x)=\frac{100!(-1)^{50}(x^2-1)^{50}}{(x^2+1)^{51}}$，$y^{(100)}(0)=\frac{100!}{2^{50}}$。4.解：令$t=x^2$，则$dt=2xdx$，$\int_0^1xe^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\int_0^1e^{-t}dt=\frac{1}{2}(1-e^{-1})