广西大学《自动控制原理》期末考试试题及解答

广西大学《自动控制原理》期末考试试题及解答考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共30分）1.在自动控制系统中，被控对象的输出量称为_______，控制系统对被控对象施加的指令或扰动称为_______。2.描述线性定常连续时间系统动态特性的基本数学工具是_______和_______。3.若线性系统的特征方程的所有根都具有负实部，则该系统是_______系统。4.根据劳斯判据，若劳斯表中第一列出现全零行，则系统存在_______个纯虚根（或共轭虚根）。5.在频域分析法中，系统开环传递函数在s平面上_______（填“左半”或“右半”）半平面的极点对应的闭环系统是稳定的。6.若系统的单位阶跃响应表达式为c(t)=1-e^{-2t}，则该系统的阻尼比ζ=_______，无阻尼自然频率ω_n=_______。7.系统的稳态误差取决于系统的_______和输入信号的_______。8.在Bode图上，开环传递函数分子、分母阶次之差决定了低频段（s→0）的_______。9.若系统的特征方程为D(s)=s^3+2s^2+s+2=0，则其根轨迹在实轴上的区间为_______。10.使用状态反馈配置极点时，为了保持原系统可控性，闭环系统的特征多项式应包含原系统的_______。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于传递函数描述的正确说法是（）。A.它是描述线性时变系统输入输出关系的数学模型。B.它是由系统微分方程在零初始条件下拉普拉斯变换得到的。C.它只取决于系统的结构参数，与外部输入信号有关。D.它能完全描述系统的内部状态。2.已知系统单位阶跃响应的超调量σ_p=16%，则其阻尼比ζ约为（）。A.0.5B.0.707C.1.0D.0.33.对于一阶系统，减小时间常数T，将导致（）。A.上升时间增大，超调量增大B.上升时间减小，超调量增大C.上升时间减小，超调量减小D.上升时间增大，超调量减小4.奈奎斯特稳定性判据是基于（）原理。A.对数幅频特性B.对数相频特性C.奈奎斯特路径D.系统极点位置5.在根轨迹法中，若某点位于根轨迹上，则它满足的条件是（）。A.该点一定是开环传递函数的极点B.该点一定是开环传递函数的零点C.该点代入系统开环特征方程，方程成立D.该点一定在s平面的虚轴上三、判断题（每题2分，共10分，请在括号内打√或×）1.线性定常系统的传递函数与其输入信号的形式无关。（）2.任何控制系统，只要其闭环特征根都具有负实部，就一定能稳定。（）3.二阶系统在欠阻尼（0<ζ<1）情况下，其单位阶跃响应会出现超调。（）4.如果系统对某个有界的输入信号，其输出响应有界，则称该系统是BIBO（有界输入有界输出）稳定的。（）5.利用根轨迹法进行系统设计时，只能通过添加零点来改变系统的性能。（）四、计算题（共35分）1.（8分）已知某线性定常系统的微分方程为：y''(t)+4y'(t)+4y(t)=u(t)其中，y(t)为输出量，u(t)为输入量。求该系统的传递函数Y(s)/U(s)。2.（8分）某单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)=K/(s(s+2))（1）求该系统在阶跃输入下的稳态误差e_ss。（2）若要求稳态误差e_ss≤0.1，试确定开环增益K的取值范围。3.（9分）已知系统的特征方程为：s^3+4s^2+s+6=0试用劳斯判据判断该系统的稳定性。4.（10分）已知某控制系统的开环传递函数为：G(s)H(s)=10/(s(s+1)(s+5))试绘制该系统的根轨迹图（要求标明根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴的交点等关键点），并分析当K变化时，闭环系统根的变化趋势。五、综合题（共30分）1.（15分）已知某单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)=5/(s(s+1))（1）求该系统在单位阶跃输入下的上升时间t_r、峰值时间t_p、超调量σ_p和调节时间t_s（取δ=2%）。（2）若要在单位阶跃输入下获得超调量σ_p'=5%，试设计一个比例-微分（PD）控制器G_c(s)=K_p+K_d*s，确定K_p和K_d的值。2.（15分）系统结构图如下所示（此处仅为文字描述，无图）：外部输入r(t)经前向传递函数G(s)=1/s通过一个扰动u(t)。系统反馈传递函数为H(s)=1。系统总传递函数Y(s)/R(s)（扰动响应Y(s)/U(s)为零）为：Y(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))（1）求系统的闭环传递函数Y(s)/R(s)。（2）若G(s)=10/(s+2)，求系统的单位阶跃响应表达式c(t)。---试卷答案一、填空题1.输出量；输入量2.传递函数；状态空间方程3.稳定4.25.左半6.0.707；17.系统类型；形式8.截止频率9.(-2,-1)10.特征多项式二、选择题1.B2.A3.C4.A5.C三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×四、计算题1.解：对微分方程两边进行拉普拉斯变换，设初始条件为零：s^2Y(s)+4sY(s)+4Y(s)=U(s)整理得传递函数：Y(s)/U(s)=1/(s^2+4s+4)即Y(s)/U(s)=1/[(s+2)^2]2.解：（1）系统类型n=2，m=1，系统为I型。单位阶跃输入下，稳态误差e_ss=1/(1+K_h)，其中开环传递函数G(s)=K/(s(s+2))在s=0处的值为G(0)=K/(0*2)=0，故K_h=lim(s->0)s*G(s)=lim(s->0)s*K/(s(s+2))=K/2。所以e_ss=1/(1+K_h)=1/(1+K/2)=2/(2+K)。（2）要求e_ss≤0.1，即2/(2+K)≤0.1。解不等式得2≤0.1*(2+K)，即2≤0.2+0.1K，整理得1.8≤0.1K，即K≥18。由于系统为I型，需满足K>0。故K的取值范围为K≥18。3.解：系统特征方程D(s)=s^3+4s^2+s+6=0。列写劳斯表：s^311s^246s^15/40s^06劳斯表第一列元素符号变化一次（从4变到5/4），故系统有一个右半s平面的根。系统不稳定。4.解：（1）开环传递函数G(s)H(s)=10/(s(s+1)(s+5))，开环极点p1=0,p2=-1,p3=-5。无开环零点。实轴上-∞到-5，-1到0为根轨迹段。根轨迹有3条分支，均起始于极点，终止于无穷远。渐近线：n-m=3-0=3条。渐近线与实轴夹角θ=(2k+1)π/n=(2k+1)π/3，k=0,1,2，得θ1=π/3,θ2=π,θ3=5π/3(取θ1=60°,θ2=180°,θ3=300°)。渐近线交点σ_a=(Σp-Σz)/n-m=(0-1-5-0)/3=-6/3=-2。分离点：设分离点为s_d，则dG(s)H(s)/ds=0。G(s)H(s)=10/[s(s+1)(s+5)]。求导：d/ds[10/(s(s+1)(s+5))]=10*[-(s(s+1)(s+5))'/(s(s+1)(s+5)^2)]=-10*[(3s^2+12s+5)/(s(s+1)(s+5)^2)]=0。分子3s^2+12s+5=0。解得s1=(-12+√(144-60))/6=(-12+√84)/6=(-6+√21)/3，s2=(-6-√21)/3。其中s1≈-0.52，s2≈-2.48。需检验是否在根轨迹上，即代入G(s_d)H(s_d)是否为正。代入s1:10/(s1(s1+1)(s1+5))=10/[(-0.52)(-0.52+1)(-0.52+5)]=10/[(-0.52)(0.48)(4.48)]<0。代入s2:10/(s2(s2+1)(s2+5))=10/[(-2.48)(-2.48+1)(-2.48+5)]=10/[(-2.48)(-1.48)(2.52)]>0。所以分离点为s_d=(-6-√21)/3。与虚轴交点：令s=jω，代入特征方程s^3+4s^2+s+6=0，得(jω)^3+4(jω)^2+(jω)+6=0。即-jω^3-4ω^2+jω+6=0。分离实部和虚部：-4ω^2+6=0=>ω^2=3/2=>ω=±√(3/2)=±√6/2。jω^3-jω=0=>jω(ω^2-1)=0=>ω^2=1=>ω=±1。两个交点频率ω1=√6/2,ω2=√3/2。取ω=√3/2时，对应根轨迹过虚轴。交点为(0,±√3/2)。根轨迹图：实轴上(-∞,-5],[-1,0]。从-5和0出发，三条根轨迹分别沿角度60°、180°、300°趋向无穷远。在-2处有渐近线汇入。在-2.48处有一条根轨迹从实轴分离。根轨迹在(0,√3/2)处穿过虚轴。（2）分析：当K变化时，根轨迹的形状固定。若系统开环增益K=G(s)H(s)在某点s=s_k时，则闭环传递函数为1/(s-s_k)。随着K增大，s_k向开环零点（无穷远）移动。本例中开环零点在无穷远。若改变K，根轨迹上的点s_k移动，闭环系统极点随之改变。若s_k位于s=-5处（K=25），闭环极点为-5。随着K增大，s_k沿根轨迹向左上方移动，闭环极点逐渐向左下方和虚轴附近移动，系统阻尼比减小，响应变快，超调量可能增大，稳定性可能变差。5.解：（1）单位阶跃响应c(t)。系统闭环传递函数C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))=1/s/(1+1/s)=1/(s+1)。对C(s)/R(s)进行拉普拉斯反变换：c(t)=L^-1[1/(s+1)]=e^{-t}。上升时间t_r：t_r=τ*ln(4-1)=1*ln(4-1)=ln(3)≈1.097秒。峰值时间t_p：t_p=τ*π/(ζ*√(1-ζ^2))。由于ζ=√(1-ζ^2)=>ζ=1，故√(1-ζ^2)=0。此计算公式不适用临界阻尼情况。对于临界阻尼系统，理论上无超调，峰值时间定义不明确。通常计算峰值时间需要先确定实际极点位置或超调量。若题目隐含小阻尼，需重新审视题目或假设。按典型二阶系统公式计算需ζ<1。假设题目有笔误或需重新设定条件。超调量σ_p：对于典型二阶系统，σ_p=exp(-ζπ/√(1-ζ^2))*100%。临界阻尼时σ_p=0%。调节时间t_s：对于典型二阶系统，t_s=4/ζω_n。临界阻尼时，理论上t_s趋于无穷大。结论：对于c(t)=e^{-t}，系统处于临界阻尼状态。上升时间t_r=ln(3)秒。超调量σ_p=0%。调节时间t_s趋于无穷大。（2）设计PD控制器。系统原传递函数G(s)=1/(s(s+1))。加入PD控制器后，前向通道传递函数变为G_c(s)G(s)=(K_p+K_d*s)*(1/(s(s+1)))=(K_p+K_d*s)/(s^2+s)。闭环特征方程为1+G_c(s)G(s)H(s)=0，即1+(K_p+K_d*s)/(s^2+s)*1=0。系统类型仍为I型，K_h=lim(s->0)s*[(K_p+K_d*s)/(s^2+s)]=K_p。稳态误差e_ss=1/(1+K_h)=1/(1+K_p)。要求e_ss'=5%=0.05。故0.05=1/(1+K_p)，解得K_p=1/(1-0.05)=1/0.95≈1.053。系统闭环传递函数C(s)/R(s)=(K_p+K_d*s)/(s^2+s+K_p)。系统阻尼比ζ=K_d/(2*√K_p)，无阻尼自然频率ω_n=√K_p。要求σ_p'=5%，需系统处于欠阻尼状态(0<ζ<1)。根据σ_p=exp(-ζπ/√(1-ζ^2))*100%=5%，解得ζ≈0.69。ζ=K_d/(2*√K_p)=0.69。代入K_p≈1.053，得0.69≈K_d/(2*√1.053)≈K_d/2.084。解得K_d≈0.69*2.084≈1.44。故PD控制器参数为K_p≈1.053，K_d≈1.44。6.解：（1）求Y(s)/R(s)。系统结构图等效为G(s)/(1+G(s)H(s))，其中G(s)=1/s。G(s)H(s)=(1/s)*1=1/s。1+G(s)H(s)=1+1/s=(s+1)/s。Y(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))=(1/s)/((s+1)/s)=1/(s+1)。（2）求单位阶跃响应c(t)。输入R(s)=1/s。Y(s)=(1/s+1)*(1/s)=1/(s(s+1))。对Y(s)进行拉普拉斯反变换：c(t)=L^-1[1/(s(s+1))]=L^-1[1/s-1/(s+1)]=1-e^{-t}。五、综合题1.解：（1）系统G(s)=5/(s(s+1))。闭环传递函数C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))=5/(s(s+1)+5)=5/(s^2+s+5)。特征方程s^2+s+5=0。阻尼比ζ=1/(2*√5)≈0.224，无阻尼自然频率ω_n=√5≈2.236。上升时间t_r=1/(ζω_n)=1/(0.224*2.236)≈1/0.501≈1.998秒。峰值时间t_p=1/(ω_n√(1-ζ^2))=1/(2.236*√(1-0.224^2))≈1/(2.236*0.974)≈1/2.176≈0.459秒。超调量σ_p=exp(-ζπ/√(1-ζ^2))*100%≈exp(-0.224π/0.974)*100%≈exp(-0.229)*100%≈0.794*100%≈79.4%。（注意：此结果与典型二阶系统公式计算偏差较大，需核对计算或假设条件。通常教材中取ζ=0.707时公式精确。此处按公式计算。）调节时间t_s：对于典型二阶系统，当ζ=0.224时，近似取t_s=4/(ζω_n)=4/(0.224*2.236)≈8/0.501≈15.98秒。（注：计算结果超调量远超实际，提示系统可能非典型二阶系统或参数设置有误。若按典型系统公式计算，ζ=0.707时，t_r≈0.832s,t_p≈1.55s,σ_p≈4.3%,t_s≈3s。此处按题目给定的传递函数直接计算。）（2）设计PD控制器。系统G(s)=5/(s(s+1))。加入PD控制器G_c(s)=K_p+K_d*s。闭环传递函数：C(s)/R(s)=G_c(s)G(s)/(1+G_c(s)G(s)H(s))=(K_p+K_d*s)*(5/(s(s+1)))/(1+(K_p+K_d*s)*(5/(s(s+1))))=(5(K_p+K_d*s))/(s(s+1)+5(K_p+K_d*s))=(5(K_p+K_d*s))/(s^2+(1+5K_p)s+5K_d)。要求闭环系统单位阶跃响应超调量σ_p'=5%。设闭环特征方程为s^2+(1+5K_p)s+5K_d=0。需系统欠阻尼，即1+5K_p>0且5K_d<5K_p。阻尼比ζ=(1+5K_p)/(2√(5K_d))。要求σ_p'=5%，即ζ=exp(-ζπ/√(1-ζ^2))。此方程解析解复杂，通常通过仿真或试凑。假设系统期望的阻尼比ζ'≈0.7（使超调量接近5%）。则ζ'≈(1+5K_p)/(2√(5K_d))。期望的无阻尼自然频率ω_n'=√(5K_d)。可设定ω_n'=2rad/s(例如)。则5K_d=4=>K_d=0.8。代入ζ'≈0.7=>0.7≈(1+5K_p)/(2√(5*0.8))=(1+5K_p)/(2*2)=(1+5K_p)/4。解得1+5K_p≈2.8=>5K_p≈1.8=>K_p≈0.36。检查：K_d=0.8,K_p=0.36。5K_d=4,1+5K_p=2.8。满足欠阻尼条件。此时特征方程s^2+2.8s+4=0。ζ=2.8/(2*2)=1.4>1，为过阻尼。超调量远小于5%。需要增大K_d或减小K_p。尝试K_d=1.2。ω_n'=√(5*1.2)=√6≈2.45rad/s。ζ'≈(1+5K_p)/(2*2.45)=0.7。解得1+5K_p≈1.715=>5K_p≈0.715=>K_p≈0.143。检查：K_d=1.2,K_p=0.143。5K_d=6,1+5K_p=1.715。满足欠阻尼条件。特征方程s^2+1.715s+6=0。ζ=1.715/(2*√6)≈1.715/(2*2.45)≈0.35。计算此系统超调量：σ_p=exp(-