2026-2027学年湖南师大附中高三上学期8月开学考试 数学 试题（学生版+解析版）

2026-2027学年湖南师大附中高三上学期8月开学考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.则a.b=()A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|x>2}A.-6<t<6B.t≥6或t≤-6C.t>6或t<-6D.6≤t≤6A.S₆=a₁₇+aB.C.S₆=a₁₇+a₂A.1个B.3个C.1个或者2个D.2个AB的中点，O为坐标原点，则∠OPMCDCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.EF//平面ABCC.若x₁<x₂,f(x)<f(x₂),则x₁+x₂<2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 一 .13.已知函数f(x)=sinwx-cos四、解答题：本题共5小题，共77分.(1)证明：平面ACD⊥平面ABD;(2)若DE=2,BE=1,AE=2,CD=2√3,求平面ABC与平面ACD夹(1)求角A;(2)点D在BC边上，且BD=2DC,AD=2,求△ABC面积的最大值.18.已知椭圆的离心率为长轴长与短轴长的差为2,点A,B,C都在E(1)求E的方程；1一21一2(2)若g(x)≥0对任意恒成立，求实数k的取值范围.2026-2027学年湖南师大附中高三上学期8月开学考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.1B.√2【解析】联立①②,解得a=7,b=5,【解析】,即A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|x>2}【解析】可.={x|1<x≤2},所以C,B={x|x>2}.A.-6<t<6B.t≥6或t≤-6C.t>6或t<-6【解析】A.S₆=a₁7+aB.S₆=a₁₇-aC.S₆=a₁7+a₂D.S₆=a₁₇-a₂【解析】a=Sₙ-Sₙ₋₁=na-2n(n-1)-(n-1)an₋1+2(n-1)(n-2)=ny=f(x)的图象的交点个数为()A.1个B.3个C.1个或者2个D.2个【解析】由P(x)=0,则x=x₀,或ax+b+2ax₀=0,即【解析】【分析】联立直线与抛物线，由韦达定理求出中点M的坐标，结合PA⊥PB求出P点的坐标，通过设直线l:x=my+1,A(x,y),B(x₂,y₂),x₁x₂=(my,+1)(my₂+1)=m²yy₂+m(y₁+8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=P【解析】以垂直于平面ABCD且向上的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系则A(-2,-2,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),设P(x,y,z),其中z>0.又因为PA=4,PC=2√2,所以两式相减，得8y=8,所以y=1.代入上式，得z²=3.,解得,解得二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】所以,解得m=-1,故B正确；因为2i-3是关于x的方程2x²+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则另一根为-2i-3,A.EF//平面ABC所以A(0,0,0),C(2,0,2),C₁( 对于C,BE=(-1,-2,0),CC₁=(-2,0,0),CD=(,所以x=0,令y=2,则z=1,,解得b=0,令a=1,则c=-1,C.若x₁<x₂,f(x₁)<f(x₂),则x₁+x₂<2【解析】f'(1+x)=2f'(1-x)(-1)所以f'(1-x)>0,令1-x=μ,二μ<1,f'(μ)>0,则x₁+x₂<2,则x=1-x₁→f(2-x₁)=2f(x₁),而由x₁+x₂>2→x₂>2-x₁,所以f(x₂)<f(2-x₁)→f(x₂)<2f(x₁),第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.·【解析】可.【答案】【解析】范围.【解析】又因为S₁=a+(a+b)+b=2(a+b),所以2S₁-(a+b)=3(a+b).故(a+b)≠0,因此数列{2S。-(a+b)}是首项为3(a+b),公比为3的等比数列，当n=100时，由S10=300+1,得2(310+1)-(a+b)=30(a+b).整理得(30+1)(a+b)=2(310+1),所以a+b=2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(2)若DE=2,BE=1,AE=2,CD=2√3,求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值.【答案】(1)因为AE⊥CE,AE⊥DE,DE,CEc平面CDE,DE∩CE=E,所以AEl平面CDE,而CDc平面CDE,则AE⊥CD,因为CD⊥AD,AE∩AD=A,AE,ADC平面ABD,所以CD⊥平面ABD,【解析】【小问1详解】略【小问2详解】(1)求角A;【小问1详解】【小问2详解】解【解析】【小问1详解】由题意，甲校学生答对的概率为答错的概率为1-0.8=0.2,乙校学生答对的概率为答错的概率为1-0.75=0.25,【小问2详解】①设甲校学生掌握该知识点的概率为p₁,则未掌握的概率为1-p₁,(1)求E的方程；M,N两点.若直线AD的斜率为3,求PM|+2|PN的最大值.【解析】【小问1详解】由已知，,即,得4a²=9b²,所以2a=3b,【小问2详解】即【小问3详解】因为点N在y轴左侧，则-2≤x₄<0.当x₄=-2