高二数学导数与单调区间

高二数学导数与单调区间

考试时间：120分钟总分：100分年级/班级：高一(1)班

高二数学导数与单调区间

一、单选题

1.函数f(x)=xA3・3x+2的导数f(x)等于0

A.3xA2-3

B.3xA2+3

C.xA3-3x

D.xA2+2

2.函数f(x)=(x・1)(x+2)的单调递增区间是0

A.H，-1)

B.(-1,1)

C.(1,+g)

D.(-2,+8)

3.函数f(x)=xA3-3xA2+4在区间［0,3］上的最小值是()

A.0

B.2

C.3

D.4

4.若函数f(x)=axA3+bxA2+ex在x=1处取得极值，则a、b的关系是()

A.a=b

B.a=-b

C.a+b=O

D.a-b=O

5.函数f(x)=xA3-3x在(-2,2)区间内的零点个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

6.函数f(x)=xA3-3x+1的极值点个数为0

A.0

B.1

C.2

D.3

7.函数f(x)=xA3-3xA2+2在(《,+8)上的单调递减区间是()

A.(一叫0)

B.(0,2)

C.(2,+s)

D.(-啊0)u(2,+m)

8.函数f(x)=xA3-6xA2+9x在［0,4］上的最大值是()

A.0

B.2

C.3

D.4

9.若函数f(x)=xA3+axA2+bx在x=1处取得极小值，在x=-1处取得极大

值，则a、b的值分别是()

A.a=0,b=2

B.3—0,b--2

C.a=2,b=0

D.a=-2,b=0

10.函数f(x)=xA3-3x在(-2,2)区间内的拐点坐标是()

A.(0,0)

B.(1,-2)

C.(-1,2)

D.(0,2)

二、多选题

1.下列函数中，在x=0处取得极值的是()

A.f(x)=xA3

B.f(x)=xA4

C.f(x)=xA5

D.f(x)=xA2

2.函数f(x)=xA3・3xA2+2的单调递增区间是0

A.(・叫0)

B.(0.2)

C.(2,+4

D.(-1.1)

3.函数f(x)=xA3-3x+1的极值点可能是0

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

4.函数f(x)=xA3-3xA2+4的拐点坐标是()

A.(0.4)

B.(2,0)

C.(-2,12)

D.(1,2)

5.若函数f(x)=xA3+axA2+bx在x=1处取得极小值，贝U()

A.8--3

B.a=3

C.b=0

D.b=-2

6.函数f(x)=xA3-3x在(-2,2)区间内的零点个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

7.函数f(x)=xA3-3xA2+2在(+,+8)上的单调递减区间是0

A.(y,0)

B.(0,2)

C.(2,+m)

D.(-8,0)u(2,+co)

8.函数f(x)=xA3-6x9+9x在［0,4］上的极值点是()

A.x=0

B.x=1

C.x=3

D.x=4

9.函数f(x)=xA3-3x+1的拐点坐标是()

A.(0,1)

C.(-1,3)

D.(2,3)

10.函数f(x)=xA3-3xA2+2的极大值点是0

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=-1

三、填空题

1.函数f(x)=xA3-3xA2+2的导数f(x)=o

2.函数f(x)=xA3-3xA2+4的极小值点是x=,

3.函数f(x)=xA3-3x+1的极值点是x=o

4.函数f(x)=xA3-3xA2+2的拐点坐标是o

5.函数f(x)=xA3-6xA2+9x的导数f(x)=。

6.函数f(x)=xA3-3x在(・2,2)区间内的零点个数为o

7.函数f(x)=xA3-3xA2+2在(。,+8)上的单调递增区间是o

8.函数f(x)=xA3-6xA2+9x在［0,4］上的最大值是。

9,若函数f(x)=xA3+axA2+bx在x=1处取得极小值，在x=-1处取得极大

值，贝a=,b=o

10.函数f(x)=xA3-3x在(・2,2)区间内的拐点坐标是o

四、解答题

要求：本题共5题，每小题10分，共50分。

1.已知函数f(x)=xA3-3xq+2,求函数的导数f(x),并判断函数在区间［0,3］

上的单调性。

2.已知函数f(x)=xA3・3x^2+4,求函数的极值点，并求出极值。

3,已知函数f(x)=x3・3x+1，求函数的拐点，并判断函数在区间［22］上的

凹凸性。

4,已知函数f(x)=xA3-6xA2+9x,求函数的导数f(x),并判断函数在区间

［0,4］上的单调性和极值。

5.已知函数f(x)=x3・3x,求函数的导数f(x),并判断函数在区间卜2,2］上的

单调性和零点个数。

试卷答案

一、单选题

1.A

AAA

解析：函数f(x)=x3-3x+2的导数f(x)=3x2-3O根据导数定义，对x3

求导得到3xA2,对・3x求导得到・3,常数项2求导得到0,所以f(x)=3xA2-

3O

2.C

解析:函数f(x)=(x・1)(x+2)的导数f(x)=(x-1)'(x+2)+(x-1)(x+2),=1(x+2)+

(x-1)1=x+2+x-1=2x+10令f(x)>0,即2x+1>0,解得x>-1/2O结合选

项，单调递增区间是(1,+8)。

3.B

AAA

解析:函数f(x)=x3-3x2+4的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)=0,得3x(x-

2)=0,解得x=0或x=2o计算f(0)=4,f(2)=0,f(3)=2o所以最小值是2O

4.B

解析:函数f(x)=axA3+bxA2+ex在x=1处取得极值，贝Uf(x)=3axA2+2bx

A

+c在x=1处为0,即3a(1)2+2b⑴+c=0,得3a+2b+c=0o由于极值点的

导数为0,所以f(1)=0,即3a+2b+c=0o又因为极值点的二阶导数不为0,所

以f'(x)=6ax+2b,f'(1)=6a+2b*0o结合选项，只有a=-b时，f'(1)=

6a+2b=6(-b)+2b=-4b*0,满足条件。

5.C

AAA

解析:函数f(x)=x3-3x的导数f(x)=3x2-30令f(x)=0,得3(x2-1)=

0,解得x=±1。计算/2)=・10,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2o所以在和(1,2)

区间内各有一个零点，共2个零点。

6.C

解析:函数f(x)=xA3-3x+1的导数f(x)=3xA2-3o令f(x)=0,得3(xA2-1)

=0,解得x=±1。计算f'(x)=6x,f'(-1)=-6v0,『(1)=6>0。所以x=1是

极大值点，x=1是极小值点。极值点个数为2o

7.D

AAA

解析：函数f(x)=x3-3x2+2的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)v0,彳导3x(x-

2)<0,解得0vxv2。所以单调递减区间是0)u(2,+=o)o

8.C

AAA

解析：函数f(x)=x3-6x2+9x的导数f(x)=3x2-12x+9O令f(x)=0,

得3(xA2-4x+3)=0,解得x=1或x=3o计算f(0)=0,f(1)=4,f(3)=3,f(4)=4o

所以最大值是4。

9.B

解析：函数f(x)=xA3+axA2+bx的导数f(x)=3xA2+2ax+b。在x=1处取

得极小值,则f(1)=O,即3(1)A2+2a(1)+b=0,得3+2a+b=0o在x=-1处取

A

得极大值,则f(-1)=0,即3(-1)2+2a(-1)+b=0,得3-2a+b=0o联立方程组

3+2a+b=0和3-2a+b=0,相减得4a=0,解得a=0o代入3+2(0)+b=0,解得

b=-3。但选项中没有a=0,b=-3,可能题目有误或选项有误。根据极值点性质，

极大值点和极小值点关于对称轴x=-a/3对称，即-1和1关于x=0对称，所以・

a/3=0,得a=0。代入3+2(0)+b=0,解得b=・3。选项中没有，可能题目有误。

10.A

解析:函数f(x)=xA3-3x的导数f(x)=3xA2-3o令f(x)=0,得3(xA2-1)=

0,解得x=±1o计算f(x)=6x,f'(0)=Oo需要计算三阶导数f"(x)=6of"(0)

=6*0o所以拐点坐标是(0,0)。

二、多选题

1.B,C

解析：函数f(x)=xA4的导数f(x)=4xA3of(0)=0,且f'(x)=12xA2,f'(0)=

Oo由于二阶导数在x=0处不为0,所以x=0不是极值点。函数f(x)=x〃5的导

AA

数f(x)=5x4of(0)=0,JBf'(x)=20x3,f'(0)=0o由于二阶导数在x=0处

不为0,所以x=0不是极值点。函数f(x)=xA2的导数f(x)=2xof(0)=0,且

r(x)=2,f'(0)=2*0o所以x=0是极值点。函数f(x)=xA3的导数f(x)=

3xA2of(0)=0,且f'(x)=6x,f'(0)=Oo由于二阶导数在x=0处不为0,所以

x=0不是极值点。

2.A,C

AAA

解析:函数f(x)=x3-3x2+2的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)>0,得3x(x-

2)>0,解得xvO或x>2。所以单调递增区间是(y,0)u(2,+00)。

3.A,C,D

AAA

解析：函数f(x)=x3-3x+1的导数f(x)=3x2-3O令f(x)=0,得3(x2-1)

=0,解得x=±1o所以极值点可能是x=0,x=1,x=-1o

4.B,C

AAA

解析:函数f(x)=x3-3x2+4的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)=0,得

A

3(x2-2x)=0,解得x=0或x=2e计算f'(x)=6x-6Of'(2)=6(2)-6=6*0,

AA

所以x=2是拐点。计算f(2)=23-3(2)2+4=0。所以拐点坐标是(2,0)of'(-

2)=6>2)・6=・18#0,所以x=-2是拐点。计算f(-2)=(-2)A3-3(-2)A2+4=-

12-12+4=-20o所以拐点坐标是(-2,・20)。

5.A,D

解析：函数f(x)=xA3+axA2+bx的导数f(x)=3xA2+2ax+b。在x=1处取

A

得极小值，则f(1)=0,即3(1)2+2a(1)+b=0,得3+2a+b=0o联立方程

3+2a+b=0,解得b=-3-2ao所以b=-2时，a=0/2=0o所以a=0,b=-2o

6.C

解析:函数f(x)=x3・3x在(・2,2)区间内的导数f(x)=3xA2・3。令f(x)=O,

得3(xWI)=0,解得x=±1。计算f(-2)=・10,f(-1)=2,f(1)=・2,f(2)=2。所以

在和(1,2)区间内各有一个零点，共2个零点。

7.A,C

AAA

解析：函数f(x)=x3-3x2+2的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)v0,得3x(x-

2)v0,解得0vxv2。所以单调递减区间是(y,0)u(2,+00)0

8.B,C

AAA

解析：函数f(x)=x3-6x2+9x在［0,4］上的导数f(x)=3x2-12x+9o令

A

f(x)=0,得3(x2-4x+3)=0,解得x=1或x=3o计算f(0)=0,隼尸4,

f(3)=3,f(4)=4o所以极值点是x=1和x=3o

9.A,C

解析:函数f(x)=xA3-3x+1的导数f(x)=3xA2-3o令f(x)=0,得3(xA2-1)

=0,解得x=±1o计算f'(x)=6xof'(1)=6>0,所以x=1是极小值点。计算

A

f(1)=13-3(1)+1=-1e所以极小值点是(1,・1)。f'(-1)=-6<0,所以x=1

是极大值点。计算戈・1)=(-1)八3・3(-1)+1=3。所以极大值点是(・1,3)。拐点

是二阶导数为0且三阶导数不为0的点。计算f"(x)=6oP(x)=6*0。令f'(x)

二0,得6x=0,解得x=0o计算f(0)=0A3-3(0)+1=1。所以拐点坐标是(0,

1)o

10.B,C

AAA

解析：函数f(x)=x3-3x2+2的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)=0,得

A

3(x2-2x)=0,解得x=0或x=2o计算f'(x)=6x-6。f'(2)=6(2)-6=6>0,

所以x=2是极大值点。f'(0)=6(0)-6=・6v0,所以x=0是极小值点。

三、填空题

1.3xA2-6x

AAA

解析：函数f(x)=x3-3x2+2的导数f(x)=3x2-6x0根据导数定义，对

xA3求导得到3xA2,对-3x^2求导得到-6x,常数项2求导得到0,所以f(x)=

A

3x2-6xo

2.x=2

AAA

解析:函数f(x)=x3-3x2+4的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)=0,得

A

3(x2-2x)=0,解得x=0或x=2o计算f'(x)=6x-6of'(2)=6(2)-6=6>0,

所以x=2是极小值点。

3.x=-1,x=1

解析:函数f(x)=xA3-3x+1的导数f(x)=3xA2-3o令f(x)=0,得3(xA2-1)

=0,解得x=±1°计算俨(x)=6x。f(-1)=-6<0,f'(1)=6>0o所以x=-1是

极大值点，x=1是极小值点。

4.(0,2)

AAA

解析：函数f(x)=x3-3x2+2的导数f(x)=3x2-6xo令f(x)=0,得

A

3(x2-2x)=0,解得x=0或x=2o计算f'(x)=6x-6of"(x)=6Of"(x)=6*

0o令f'(x)=0，得6x・6=0,解得x=1。计算9)=1A3-3(1)A2+2=0o所

以拐点坐标是(1,0)。题目中的(0,2)可能是笔误，应为(1,0)。

5.3xA2-12x+9

AAA

解析：函数f(x)=x3-6x2+9x的导数f(x)=3x2-12x+9O根据导数定

义，对23求导得到3xA2,对・6乂八2求导得到・12x,对9x求导得到9,所以

A

f(x)=3x2-12x+9o

6.2

AA

解析:函数f(x)=x3-3x在(・2,2)区间内的导数P(x)=3x2-3O令f(x)=0,

得3仅人2-1)=0,解得x=土1。计算尸2,f(1)=・2,f(2)=2。所以

在(-2,・1)和(1,2)区间内各有一个零点，共2个零点。

7.(-%0)u(2,+8)

AAA

解析:函数