应用回归分析课后习题参考答案

应用回归分析课后习题参考答案问题1：某研究收集了20家制造企业的年研发投入（X，单位：百万元）与年利润（Y，单位：千万元）数据，部分数据如下表所示。假设满足线性回归基本假设，要求：（1）建立Y关于X的简单线性回归模型，估计回归系数；（2）检验回归系数的显著性（α=0.05）；（3）计算决定系数R²并解释其含义；（4）当研发投入为15百万元时，预测企业年利润的点估计值及95%置信区间。X57911131517192123Y3.24.15.56.37.88.59.210.111.012.3（注：后10组数据X=25,27,...,43，Y=13.0,14.2,...,21.5，经计算得ΣX=480，ΣY=186.5，ΣXY=5242，ΣX²=14800，ΣY²=2023.6）解答：（1）设回归模型为Y=β₀+β₁X+ε。根据最小二乘法，首先计算样本均值：X̄=ΣX/n=480/20=24，Ȳ=ΣY/n=186.5/20=9.325。计算离均差平方和与离均差积和：LXX=Σ(Xi-X̄)²=ΣX²-nX̄²=14800-20×24²=14800-11520=3280；LYY=Σ(Yi-Ȳ)²=ΣY²-nȲ²=2023.6-20×9.325²=2023.6-20×86.9556=2023.6-1739.11=284.49；LXY=Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ)=ΣXY-nX̄Ȳ=5242-20×24×9.325=5242-4476=766。回归系数估计值：β̂₁=LXY/LXX=766/3280≈0.2335；β̂₀=Ȳ-β̂₁X̄=9.325-0.2335×24≈9.325-5.604=3.721。因此，回归方程为Ŷ=3.721+0.2335X。（2）检验β₁的显著性，原假设H₀:β₁=0，备择假设H₁:β₁≠0。首先计算残差平方和SSE=LYY-β̂₁LXY=284.49-0.2335×766≈284.49-178.86=105.63；均方误差MSE=SSE/(n-2)=105.63/18≈5.868；β̂₁的标准误SE(β̂₁)=√(MSE/LXX)=√(5.868/3280)≈√0.00179≈0.0423；t统计量t=β̂₁/SE(β̂₁)=0.2335/0.0423≈5.52。自由度df=18，查t分布表得t₀.025(18)=2.101。由于|t|=5.52>2.101，拒绝H₀，认为研发投入对利润的影响显著。（3）决定系数R²=SSR/SST=1-SSE/SST，其中SSR=β̂₁LXY=178.86，SST=LYY=284.49，故R²=178.86/284.49≈0.629。表示研发投入的变动可以解释利润变动的62.9%，模型拟合效果中等。（4）当X₀=15时，点预测值Ŷ₀=3.721+0.2335×15≈3.721+3.502=7.223（千万元）。预测区间公式为Ŷ₀±tα/2(n-2)×SE(Ŷ₀)，其中SE(Ŷ₀)=√[MSE×(1/n+(X₀-X̄)²/LXX)]=√[5.868×(1/20+(15-24)²/3280)]=√[5.868×(0.05+81/3280)]=√[5.868×(0.05+0.0247)]=√[5.868×0.0747]≈√0.438≈0.662。tα/2(18)=2.101，故95%置信区间为7.223±2.101×0.662≈7.223±1.391，即(5.832,8.614)千万元。问题2：在问题1的基础上，引入企业员工数量（Z，单位：百人）作为第二个自变量，收集到20组数据（部分数据略），经计算得到以下结果：多元回归模型Y=β₀+β₁X+β₂Z+ε的参数估计值为β̂₀=1.23，β̂₁=0.185，β̂₂=0.321；方差-协方差矩阵对角线元素为SE(β̂₀)=0.85，SE(β̂₁)=0.032，SE(β̂₂)=0.065；SST=284.49，SSE=82.75，n=20。要求：（1）写出多元回归方程并解释系数含义；（2）检验模型整体显著性（α=0.05）；（3）比较简单回归与多元回归中β̂₁的变化，分析可能原因；（4）计算调整R²并与简单回归的R²比较。解答：（1）多元回归方程为Ŷ=1.23+0.185X+0.321Z。系数解释：在员工数量不变时，研发投入每增加1百万元，利润平均增加0.185千万元；在研发投入不变时，员工数量每增加1百人，利润平均增加0.321千万元。（2）整体显著性检验采用F检验，原假设H₀:β₁=β₂=0。SSR=SST-SSE=284.49-82.75=201.74；MSR=SSR/k=201.74/2≈100.87（k为自变量个数，k=2）；MSE=SSE/(n-k-1)=82.75/17≈4.868；F=MSR/MSE=100.87/4.868≈20.72。查F分布表，F₀.05(2,17)=3.59，由于F=20.72>3.59，拒绝H₀，模型整体显著。（3）简单回归中β̂₁=0.2335，多元回归中β̂₁=0.185，系数减小。可能原因是研发投入（X）与员工数量（Z）存在正相关关系（即研发投入高的企业通常员工更多），简单回归遗漏了Z，导致X的系数包含了Z对Y的部分影响（即遗漏变量偏差）。当控制Z后，X对Y的净效应被更准确估计。（4）调整R²=1-(SSE/(n-k-1))/(SST/(n-1))=1-(82.75/17)/(284.49/19)=1-(4.868/14.973)=1-0.325≈0.675。简单回归的R²=0.629，调整R²=0.675>0.629，说明引入员工数量后，模型对样本数据的解释能力提升（调整R²消除了变量个数的影响）。问题3：针对问题2的多元回归模型，怀疑存在异方差性。使用White检验（不包含交叉项），得到辅助回归的R²=0.35（辅助回归的因变量为残差平方e²，自变量为X、X²、Z、Z²）。要求：（1）写出White检验的原假设和备择假设；（2）计算检验统计量并判断是否存在异方差（α=0.05）；（3）若存在异方差，简述加权最小二乘法（WLS）的修正思路。解答：（1）原假设H₀:残差方差与自变量无关（同方差）；备择假设H₁:残差方差与自变量相关（存在异方差）。（2）White检验统计量为LM=n×R²=20×0.35=7。辅助回归的自由度为自变量个数（4个：X、X²、Z、Z²），故卡方临界值χ²₀.05(4)=9.488。由于LM=7<9.488，不拒绝原假设，认为不存在显著异方差（注：若实际计算中R²更高，可能结果不同，此处为示例）。（注：若假设辅助回归R²=0.5，则LM=10>9.488，拒绝H₀，存在异方差。以下为假设存在异方差的修正思路。）（3）WLS的核心是对原模型进行加权变换，使变换后的模型满足同方差假设。假设异方差形式为Var(εi)=σ²h(Xi,Zi)，其中h(·)为异方差函数（如h(Xi,Zi)=Xi²或Zi²）。选择权重wi=1/h(Xi,Zi)，对原模型两边乘以√wi，得到新模型√wiYi=β₀√wi+β₁√wiXi+β₂√wiZi+√wiεi。此时新模型的误差项方差为Var(√wiεi)=wi×σ²h(Xi,Zi)=σ²，满足同方差。对变换后的模型使用OLS估计，得到的参数即为WLS估计量，可有效消除异方差影响。问题4：某时间序列数据（2000-2020年）建立了消费支出（Y）关于收入（X₁）和利率（X₂）的多元回归模型，得到残差序列et。计算得Durbin-Watson统计量d=1.2，n=21，k=2（自变量个数）。要求：（1）判断是否存在一阶自相关（α=0.05）；（2）若存在自相关，简述Cochrane-Orcutt迭代法的修正步骤。解答：（1）Durbin-Watson检验用于一阶自相关，原假设H₀:ρ=0（无自相关），备择假设H₁:ρ≠0（存在正自相关或负自相关）。查DW临界值表，n=21，k=2，α=0.05，得下限dL=1.10，上限dU=1.54。由于d=1.2，满足dL<d<dU，处于不确定区域。若实际应用中可结合其他方法（如LM检验）进一步判断，此处假设存在正自相关。（2）Cochrane-Orcutt迭代法步骤：①估计原模型得到残差et，计算自相关系数ρ̂≈1-d/2=1-1.2/2=0.4；②对原变量进行广义差分变换：Yt=Yt-ρ̂Yt-1，X1t=X1t-ρ̂X1t-1，X2t=X2t-ρ̂X2t-1（t=2,...,n）；③对变换后的变量Yt、X1t、X2t进行OLS回归，得到新的参数估计值和残差et；④用et重新估计ρ̂（如ρ̂=Σetet-1/Σet²），重复步骤②-③，直到ρ̂收敛（前后两次估计值变化小于设定阈值）；⑤最终得到的参数估计量即为消除自相关后的有效估计。问题5：在问题2的多元回归模型中，计算自变量X和Z的方差膨胀因子（VIF）分别为VIF_X=4.2，VIF_Z=3.8。要求：（1）判断是否存在多重共线性；（2）若存在，提出两种处理方法并简述原理。解答：（1）通常VIF>5表示存在严重多重共线性，VIF>10表示非常严重。此处VIF_X=4.2，VIF_Z=3.8，均小于5，说明多重共线性不严重，可接受。（注：若假设VIF_X=6.5，VIF_Z=7.2，则存在严重多重共线性，以下为处理方法。）（2）处理方法：①