变换群与几何学课件

1．映射與變換設有集合S和S/，若對S中每一元素M，按照確定的法則T，在S/中總存在唯一元素M/與之對應，則稱此法則T為集合S到集合S/的映射，記為

T:S

S/．(1.1)若在T之下，元素M(

S)的對應元素是M/(

S/)，則說T將M映成M/，記為

變換群與幾何學___§1變換與變換群並稱M/為M在T之下的象，M為M/在T之下的原象．M

M/

T(M)，T§1變換與變換群T(S)：集合S的全體元素在T之下的象的集合．滿射：T(S)

S/；單射：S的不同元素的象元素也不同；雙射：既是單射又是滿射的映射．術語約定：兩個集合之間的雙射稱為對應；將集合到自身的雙射稱為變換．幾種常見變換例1．恒等變換若變換T，將S上每一元素變到自身，即則稱為恒等變換(或單位變換)，記為I．M

T(M)

M，

M

S，TOijxyMM/a§1變換與變換群取直角標架[O;i,j]，

設M(x,y)，M/(x/,y/)，

a

{a1,a2}，則Ta的座標運算式為：簡稱為平移．記為Ta．Ta：x/

x

a1y/

y

a2(1.2)

例2．平移變換將平面上的點M按定向量方向a移動到點M/，使得MM/

a的變換稱為平移變換，

oijxyMM/

§1變換與變換群例3．旋轉變換對平面上固定點O和有向定角

，使原象點M與象點M/滿足

的點變換稱為以O為中心的旋轉變換，簡稱旋轉，記為R

．其運算式為：R

：x/

xcos

ysin

y/

xsin

ycos

(1.3)

|OM/|

|OM|，

MOM/

例4．鏡射變換對平面上的定直線

，使原象點M與象點M/之間的線段被

垂直平分的點變換稱為以

為軸的鏡射變換，簡稱鏡射．建立如圖坐標系，則其運算式為：§1變換與變換群OijxyMM/

x/

xy/

yMox：(1.4)

ABCDEMA/E/B/C/D/M/

/

例5．平行射影二平面

、

/交於直線

，向量

與二平面都不平行．對於

上任意點M，過M作平行於

的直線，交

/於M/，則將M映成M/的點對應稱為平面

到平面

/

的平行射影，向量

為投射方向．性質：

1．將直線變成直線；

2．保持平行性和平行線段之比；

3．對應點連線平行，直線

上的點不變．§1變換與變換群2．映射的乘積與逆設點M先用R

作用得到M/，再用Ta作用得到M//，則由(1.3)和(1.2)可得M到M//的變換為：§1變換與變換群x//

xcos

ysin

a1y//

xsin

ycos

a2

我們稱這種從M到M//的變換為R

和Ta的乘積，記為Ta

。R

(或Ta

R

)．一般地，設有映射T1:S

S/和T2:S/

S//，則乘積

T2T1:S

S//

定義為對任意M

S，

T2T1(M)

T2[T1(M)]．結合律成立：T3(T2T1)

(T3T2)T1．但乘積一般不可換．對於變換T:S

S，有

TT

1

T

1T

I．易知：Ta

1

T

a，TaTb

Ta

b；

R

1

R

，R

R

R

．§1變換與變換群3．不動元素與不動子集對於變換T:S

S

，若存在元素M

S

，使T(M)

M，則稱M為此變換的不動元素；若存在S的子集F，使T(F)

F

，則稱F為此變換的不動子集．注意：

1．不動元構成的子集是不動子集；但不動子集的元素不一定是不動元．如，與非零向量a

平行的直線都是平移Ta

的不動直線，但Ta

無不動點．

2．變換T:S

S

與T

1有相同的不動子集．§1變換與變換群§1變換與變換群解：設直線

經此鏡射作用後的象為

/：Ax/

By/

C

0，將變換式代入，得Ax

By

C

0．

不動(即

與

/重合)的充要條件為

A/A

B/(

B)

C/C，此式等價於2AB

2BC

0，即A

0，B

0，C

0或A

0，B

0，故不動直線的方程為

y

0和Ax

C

0(A

0)．例求鏡射變換的不動直線．x/

xy/

y

4．變換群若集合S上的某些變換構成的集合G滿足條件：

1.G中任二變換的乘積仍屬於G

；

2.G中每一變換T的逆T

1也屬於G

，

則稱G為集合S上的一個變換群．由定義知：任何變換群一定包含恒等變換．可以證明：平面上繞定點O的旋轉變換的集合G是一個變換群，稱為旋轉群．記為G1．只含恒等變換的集合{I}也是變換群．若二變換群G*、G滿足G*

G

，則稱G*為G的子(變換)群．§1變換與變換群如：變換群G是其自身的子群，{I}是任意變換群的子群．可以證明：G*

{R0

I，R

/2，R

，R3

/2}是旋轉群G1的非平凡子群(即真子群)．§1變換與變換群§2仿射座標與仿射平面1．仿射座標與仿射座標變換平面上一定點O及二不共線向量e1、e2構成一個仿射標架，記為

[O；e1，e2]．任意點M的向徑的分解式為：OxyMEyExe2e1a則有序數對(x,y)稱為點M關於標架

的仿射座標．OM

xe1

ye2(1)

{x,y}也稱為向量OM的座標(或分量)．

顯然，原點O的座標是(0,0)；x軸上的單位點為Ex(1,0)；y軸上的單位點為Ey(0,1)．若在平面上給定仿射標架，則平面上全體點的集合與全體有序數對的集合有一一對應關係，故也說在平面上建立了一個仿射坐標系Oxy．因此常直接稱標架

[O；e1，e2]為仿射坐標系，O稱為座標原點，e1和e2稱為基本向量．習慣上，將建立了仿射坐標系的平面稱為仿射平面．§2仿射座標與仿射平面仿射座標變換§2仿射座標與仿射平面OO/yxMe1e2e1/e2/考察M在

下的座標(x,y)與在

/下的座標(x/,y/)之間的關係，即求仿射座標變換式．仿射平面上給定二仿射坐標系

[O;e1,e2]和

/

[O/;e1/,e2/]．設在

下，新原點及新基本向量的座標分別為O/(a1,a2)，e1/

{a11,a21}，e2/

{a12,a22}，則仿射座標變換式為：寫成矩陣形式，為§2仿射座標與仿射平面x

a11x/

a12y/

a1y

a21x/

a22y/

a2，det(aij)

0(2)

x

a11a12x/

a1y

a21

a22y/a2

，det(aij)

0(2)/

由(2)可得，向量在

下的座標{u,v}與在

/下的座標{u/,v/}之間的關係為：故有定理1

點的仿射座標變換是滿秩線性變換．定理2

向量的仿射座標變換是滿秩齊次線性變換．特例：直角坐標變換§2仿射座標與仿射平面u=a11u/

a12v/v=a21u/

a22v/

，det(aij)≠0(3)

OO/xyM

y/x/e1/e2/e1e2記有向角

e1,e1/

，則e1/

{a11,a21}

{cos

,sin

}，e2/

{a12,a22}

{

sin

,cos

}，§2仿射座標與仿射平面代入(2)式即得平面解析幾何中的直角坐標變換式：x

x/cos

y/sin

a1y

x/sin

y/cos

a2．

§2仿射座標與仿射平面仿射平面上的幾個常用結論過點M0(x0,y0)，平行於向量

{u,v}的直線

的方程為：

(x

x0)/u

(y

y0)/v，(1)

稱為直線

的點向式方程．u

0時，可變形為：y

kx

b；其中，k

v/u

稱為直線的方向數；

u

0時，成為：x

x0，約定其方向數為

．上述分析表明，直線方程總形如：Ax

By

C

0(A，B不同時為0)，稱為直線的一般式方程．OxyMM0

e1e2仿射平面上關於點與直線的幾個結論：1.

二直線

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2)

相交

A1/A2

B1/B2；平行

A1/A2

B1/B2

C1/C2；重合

A1/A2

B1/B2

C1/C2．§2仿射座標與仿射平面直線的參數方程：x

x0

uty

y0

vt(

t

)

且若P3分線段P1P2成定比

，則

x3

(x1

x2)/(1

)，y3

(y1

y2)/(1

)．2.

三點Pi(xi,yi)(i

1,2,3)共線

x1

y11x2

y21=0，x3

y31

§2仿射座標與仿射平面3.

三直線

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2,3)共點或平行的充要條件是：A1

B1

C1A2

B2

C2

0．A3

B3

C3

注：以上結論與直角坐標系下相應結論一致；但特殊的直角坐標系下成立的結論不能完全照搬到一般仿射坐標系下．§3仿射變換

1．透視仿射變換uv

*MNM/N/M*N*

設平面

與

*

交於直線

，取分別具有投射方向u，v的兩個平行射影T1：

*和T2：

*

，則乘積

T

T2T1：

稱為

上的透視仿射變換．§3仿射變換幾何性質：

I.

將點變成點，將直線變成直線；

II.

保持平行性和平行線段之比；

III.

對應點連線平行；

IV.

交線

上的點均為不動點．對應點連線所具有的固定方向稱為透視方向；平面

與

*交線

稱為透視仿射軸(簡稱軸)．可以證明：一對對應直線與軸這三條直線或者三線共點，或者三線平行．定理1軸和一對對應點決定唯一透視仿射變換．（存在性易得．唯一性見後圖）§3仿射變換A/M/M//AMB

C2．仿射變換的定義及性質平面

上的點變換T:

，若將直線變成直線，且保持平行性和平行線段之比，則稱為仿射變換．基本性質：

1．同素性；

2．結合性；

3．將向量變成向量且保持向量的線性關係．§3仿射變換若A、B、C是共線三點，則AC

BC．

稱係數

為A、B、C的簡單比，記為

(ABC)；稱A、B為基點，C為分點．

4．仿射變換保持共線三點的簡單比．設在給定仿射坐標系下，A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，則

(ABC)

(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)．又(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)

AC/BC．故簡單比也可定義為：(ABC)

AC/BC．§3仿射變換例求證：若仿射變換有兩個不動點M

和N，則直線MN上每一點都是此變換的不動點．證明：設P

是直線MN

上任一點，其在仿射變換下的象為P/，則

(PMN)

(P/MN)，即PN/MN

P/N/MN．故P

P/，即直線MN

上的點都是不動點．§3仿射變換3.仿射變換的運算式如圖，設Oe1e2e/1e/2ExMxEyMyE/xM/xE/yM/yO/x/y/xyM/MM(x,y)

M/(x/,y/)TMx

Mx/TT

O

O/(a1,a2)My

My/Te1

OEx

T

O/Ex/

e1/

{a11,a21}

e2

OEy

T

O/Ey/

e2/

{a12,a22}

§3仿射變換故得仿射變換的運算式為：x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．(2)

T則OMx

xOEx

O/Mx/

xO/Ex/

TOMy

yOEy

O/My/

yO/Ey/

但OM/

OO/

O/Mx/

O/My/，

即OM/

OO/

xO/Ex/

yO/Ey/，(1)

其矩陣形式為：於是有定理2

在給定的仿射坐標系下，平面上的仿射變換是滿秩線性變換．反之，可證明滿秩線性變換是仿射變換．推論1

在仿射坐標系

=[O;e1,e2]下，對仿射變換(2)而言,{a11,a21}=e1/,{a12,a22}=e2/分別是e1,e2的仿射象,O/(a1,a2)是原點O的仿射象．§3仿射變換

x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0(2)/

推論2

仿射變換將仿射坐標系變成仿射坐標系，且象點在象坐標系下的座標等於原象點在原坐標系下的座標．推論3

代數曲線的次數在仿射變換下不變．注意：將仿射點變換(2)與§2的仿射座標變換(2)比較，可見二者在形式上均為滿秩線性變換．意味著，對滿秩線性變換可作兩種不同解釋：一、可理解為在同一坐標系下，點的座標與其仿射象點的座標之間的關係；二、可看成在二不同坐標系下，同一點的不同座標之間的關係．按照上述思想，從向量的座標變換式立即得到§3仿射變換定理3

在仿射變換(2)下，若向量

{u,v}的象為

/

{u/,v/}，則例1

位似變換§3仿射變換Oxye1e21．不動點：原點；2．不動直線：過原點的直線；3．不是透視仿射變換．u/

a11u

a12vv/

a21u

a22v，det(aij)

0(3)

x/

axy/

ay，a

0

例2伸縮變換不動點：x軸上的所有點；不動直線：平行於y軸的所有直線以及x軸．在直角坐標系下，圓x2

y2

1經其作用後變成橢圓x/2

y/2/a2

1．問：伸縮變換是透視仿射變換嗎？§3仿射變換OxyPP/e1e2x/

xy/

ay，a

0

Oyxe1e2PP/MM/y=y0例3推移變換不動點：

x軸上的所有點；不動直線：平行於x軸的所有直線．問：伸縮變換是透視仿射變換嗎？§3仿射變換x/

x

ayy/

y，a

0

4．重要定理定理4

設Pi(xi,yi)和Pi/(xi/,yi/)(i

1,2,3)分別是平面上不共線三點，則存在唯一仿射變換將Pi映成Pi/．§3仿射變換證明：設仿射變換為將

(xi,yi)

(xi/,yi/)代入，得在上式的第一式中，令i

1,2,3，得xi/

a11xi

a12yi

a1yi/

a21xi

a22yi

a2，(1)

x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．

§3仿射變換因P1、P2

、P3不共線，故因此方程組(2)有唯一解a11,a12,a1，同理可求唯一確定的a21,a22,a2．再由(2)可得x1/

a11x1

a12y1

a1x2/

a11x2

a12y2

a1x3/

a11x3

a12y3

a1，(2)

x1

y11x2

y21

0，x3

y31

x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/x2

x1

y2

y1x3

x1

y3

y1a11

a21a12

a22

，

§3仿射變換因P1/、P2/、P3/不共線，故

故定理成立．推論1

仿射變換是透視仿射變換

該仿射變換有一條由不動點構成的直線．推論2

仿射變換是恒等變換

該仿射變換有不共線三不動點．x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/

0．

從而，

0．a11

a21a12

a22

定理5

非透視的仿射變換可通過至多三次透視仿射變換來實現．

定理5的證明思路：設A、B、C

是仿射變換T

的三不共線的非不動點，其對應點依次為A/、B/、C/．§3仿射變換A/B/C2

A/B1C1ABCA/B/C/

定理6

平面上全體仿射變換的集合構成一個變換群，稱為仿射群．記為G6．T1

T2

T3§4歐氏平面和保距變換1.保距變換的定義及運算式建立了直角坐標系的平面稱為歐氏平面．歐式平面上，保持距離不變的仿射變換稱為保距變換(或正交變換)．x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0T：是保距變換

A(aij)是正交矩陣．

定理1

直角坐標系下，仿射變換：

證明：設在仿射變換T作用下

v

{v1,v2}變成v/

{v1/,v2/}．由於(v1/v2/)

(v1

v2)AT，從而對任意向量v，v/2

v2的充要條件是ATA

E，等價於A

1

AT．注：正交條件A1

AT

用矩陣元素表示為：

a112

a212

a122+a2221，a11a12

a21a220．也等價於：

a112

a122

a212

a2221，a11a21

a12a220．正交條件也可描述為：矩陣的兩個行向量單位正交，或二列向量單位正交．利用上述代數條件不難得出下麵的結論：§4歐氏平面和保距變換

(v1

v2)ATA

v1v2故v/2

(v1/v2/)v1/v2/

例將點(0,1)，(2,0)分別變成(

1,0)，(0,2)的保距變換是否存在？若存在，寫出變換式．

解：假定保距變換存在，設為§4歐氏平面和保距變換x/

cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2定理2

直角坐標系下，保距變換可表示為：其中，定角

(

,

]．

x/

a11a12x

a1y/

a21a22

ya2．

1

a11a120

a10a21a22

1a2則，

§4歐氏平面和保距變換且0

a11a122

a12a21a22

0a2，

由此得a12

a1

1(1)a22

a2

0(2)2a11

a1

0(3)2a21

a2

2(4)a112

a1221(5)a212

a2221(6)a11a21

a12a220(7)

由(1)、(3)、(5)解得a1

0a11

0a121a1

8/5a11

4/5a123/5或

§4歐氏平面和保距變換故所求保距變換存在，為由(2)、(4)、(6)解得a2

0a22

0a211a2

4/5a22

4/5a213/5或

a1

0a11

0a121a2

0a22

0a211a1

8/5a11

4/5a123/5a2

4/5a22

4/5a213/5由(7)得或

x/4/5

3/5

x

8/5y/3/5

4/5

y4/5x/0

1

xy/10

y

或

．

§4歐氏平面和保距變換2.保距變換的實現定理3行列式為

1的非恒等保距變換是旋轉與平移的乘積．

證明：容易看到，保距變換的乘積．即T

TaR

．

x/

cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

R

：x//

xcos

ysin

y//

xsin

ycos

是旋轉

與平移Ta：x/

x//

a1y/

y//

a2

§4歐氏平面和保距變換定理4行列式為

1的非恒等保距變換是旋轉、鏡射和平移的乘積．

證明：保距變換的乘積．即T

TaRox

R(

)．x/

cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

x//

xcos(

)

ysin(

)y//

xsin(

)

ycos(

)是旋轉R(

)：

鏡射Mox：x///

x//

y///

y//