第四单元圆(讲义)2026-2027学年六年级数学上册人教版

第四单元圆(讲义)2026-2027学年六年级数学上册人教版思维导图·知识点归纳·经典例题·课堂练习—学好圆,把握"一个核心,三种关系"—【一、思维导图】本单元以"圆"为核心,围绕圆的"认识→测量→计算→应用"展开学习。下面是本单元的思维导图:

【二、知识点归纳】▶(一)圆的认识▶1.圆的定义及基本概念•圆心(O):圆中心的一点,决定圆的位置。•半径(r):从圆心到圆上任意一点的距离,所有半径都相等。决定圆的大小。•直径(d):通过圆心,两端都在圆上的线段,所有直径都相等。•直径与半径的关系:在同一圆(或等圆)中,d=2r,r=d÷2。•圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,圆有无数条对称轴。▶2.用圆规画圆的方法步骤:①定圆心(用图钉固定);②定半径(两脚张开距离为r);③旋转一周。口诀:"针尖固定,两脚张开,旋转成圆"。▶3.圆的特征及性质•同一圆内,半径无数条且都相等。•同一圆内,直径无数条且都相等。•直径是圆内最长的线段。•圆的位置由圆心决定,圆的大小由半径(直径)决定。•等圆的半径相等;同一个圆的半径都相等。▶(二)圆的周长▶1.圆周率π•定义:任意一个圆的周长与它的直径的比值,是一个固定的数,叫作圆周率,用字母π表示。•取值:π≈3.14159265…,是一个无限不循环小数。•在实际计算中,一般取π≈3.14。•我国古代数学家祖冲之,早在1400多年前就精确计算出π在3.1415926和3.1415927之间。▶2.圆的周长公式C=πd或C=2πr推导思路:把圆剪开、拉直,得到一个近似的长方形;长方形的长是圆周长的一半,宽是圆的半径。半圆周长=πr+2r(注意:半圆周长≠πr,而是弧长加直径)▶(三)圆的面积▶1.圆的面积公式S=πr²推导方法(化圆为方):把圆等分成若干份,拼成一个近似的长方形。长方形的长是圆周长的一半(πr),宽是半径(r),所以面积=πr×r=πr²。▶2.已知直径求面积S=π(d÷2)²=πd²÷4▶3.已知周长求面积步骤:①先求r=C÷π÷2;②再求S=πr²。▶4.常见图形面积公式对比图形面积公式字母公式长方形长×宽S=ab正方形边长×边长S=a²平行四边形底×高S=ah三角形底×高÷2S=ah÷2▶(四)扇形▶1.弧与扇形•弧:圆上任意两点之间的部分叫作弧,弧是圆的一部分。•扇形:由两条半径和弧所围成的图形叫作扇形。•圆心角:顶点在圆心的角。扇形的大小由圆心角决定。▶2.扇形面积公式S扇=(n÷360)×πr²其中n为圆心角的度数。重要结论:在同一个圆中,扇形的面积与圆心角的度数成正比。▶(五)环形面积定义:两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作环形(圆环)。S环=πR²-πr²=π(R²-r²)其中R为外圆半径,r为内圆半径(R>r)。▶(六)解决问题•已知圆的半径或直径,求周长和面积。•已知圆的周长,先求半径,再求面积。•求组合图形(圆与三角形、长方形等组合)的面积,常用"割补法"。•求环形(外圆半径R,内圆半径r)的面积。•求扇形面积:已知半径和圆心角。•滚铁环、压路机压过地面面积等实际应用问题(用周长或面积解决)。

【三、精典例题】▶例题1[圆的认识]一个圆形花坛,它的直径是8米,它的半径是多少米?沿着它的边缘走一圈,大约走多少米?(结果保留整数)分析:本题考查"直径与半径的关系"及"圆的周长公式"。【解】半径:r=d÷2=8÷2=4(米)走一圈的长度即圆的周长:C=πd=3.14×8=25.12≈25(米)答:半径是4米,沿边缘走一圈大约走25米。▶例题2[圆的周长]一辆自行车轮胎的外直径约70厘米,如果每分钟转100圈,这辆自行车1小时能行多少米?(结果保留整数)分析:本题考查"圆的周长"在生活中的应用,关键在于"周长×圈数=路程"。【解】先求轮胎的周长:C=πd=3.14×70=219.8(厘米)=2.198(米)再求每分钟走的路程:219.8厘米×100=21980厘米=219.8米最后求1小时(60分钟)的路程:219.8×60=13188(米)≈13188(米)答:这辆自行车1小时大约能行13188米。▶例题3[圆的面积]一个圆形草坪,半径是5米。这个草坪的面积是多少平方米?分析:直接运用公式S=πr²计算。【解】S=πr²=3.14×5²=3.14×25=78.5(平方米)答:这个草坪的面积是78.5平方米。▶例题4[已知周长求面积]一个圆形鱼池的周长是25.12米,这个鱼池的占地面积是多少平方米?分析:已知周长求面积,需先由C=2πr求出r,再代入S=πr²。【解】由C=2πr得:r=C÷(2π)=25.12÷(2×3.14)=25.12÷6.28=4(米)S=πr²=3.14×4²=3.14×16=50.24(平方米)答:这个鱼池的占地面积是50.24平方米。▶例题5[扇形面积]一个圆形蛋糕的半径是10厘米,小明切下一块圆心角为90°的扇形,这块扇形的面积是多少平方厘米?分析:扇形面积=圆心角度数占360°的几分之几×圆的面积。【解】S扇=(n÷360)×πr²=(90÷360)×3.14×10²=(1/4)×3.14×100=78.5(平方厘米)答:这块扇形的面积是78.5平方厘米。▶例题6[环形面积]一个环形铁片,外圆半径是8厘米,内圆半径是5厘米,这个环形铁片的面积是多少平方厘米?分析:直接运用公式S环=π(R²-r²)。【解】S环=π(R²-r²)=3.14×(8²-5²)=3.14×(64-25)=3.14×39=122.46(平方厘米)答:这个环形铁片的面积是122.46平方厘米。▶例题7[组合图形]如图,在一个边长为4厘米的正方形内画一个最大的圆,求阴影部分(正方形内圆外部分)的面积。分析:阴影面积=正方形面积-圆的面积。最大圆的直径=正方形的边长。【解】正方形面积:4×4=16(平方厘米)最大圆的半径:4÷2=2(厘米)圆的面积:3.14×2²=12.56(平方厘米)阴影面积:16-12.56=3.44(平方厘米)答:阴影部分的面积是3.44平方厘米。

【四、课堂练习】同学们,学完本单元,请完成以下练习,检验自己的学习效果吧!▶【基础过关】1.在同一个圆里,所有的半径都(),所有的直径都(),直径是半径的()。2.一个圆的半径是6dm,直径是()dm,周长是()dm,面积是()dm²。3.一个圆的周长是18.84m,它的直径是()m,半径是()m,面积是()m²。4.一根绳子长12.56m,围成一个圆,这个圆的直径是()m,面积是()m²。5.把一个圆平均分成若干份,拼成一个近似的长方形,长方形的长相当于圆的(),长方形的宽相当于圆的()。▶【应用提升】6.一个圆形花坛,周长是50.24米。这个花坛的占地面积是多少平方米?7.一个半圆形零件,半径是4cm。它的周长是多少厘米?面积是多少平方厘米?8.一台压路机的前轮直径是1.2m,轮宽1.5m。如果它每分钟转20圈,1小时压过的路面面积是多少平方米?9.一个圆形钟表的分针长10cm,从12时走到3时,分针针尖走过的路程是多少厘米?(提示:分针走了整圆的1/4)10.一个扇形的半径是6cm,圆心角是60°,这个扇形的面积是多少平方厘米?▶【拓展挑战】11.一个环形铁片,外圆半径是12cm,内圆半径是8cm。这个环形铁片的面积是多少平方厘米?12.一个正方形的边长是10cm,在它内部画一个最大的圆,剩下部分的面积是多少平方厘米?13.在一个直径是10米的圆形水池周围,修一条宽2米的环形小路,小路的面积是多少平方米?14.一块长方形草地的长是12m,宽是8m,中间有一条2m宽的十字形小路(如图),草地的面积是多少平方米?15.一根铁丝可以围成一个半径是6cm的圆。如果把它围成正方形,正方形的面积是多少平方厘米?(结果保留两位小数)

【五、参考答案】▶【基础过关】1.相等;相等;2倍2.直径:12dm;周长:37.68dm;面积:113.04dm²3.直径:6m;半径:3m;面积:28.26m²4.直径:4m;面积:12.56m²5.周长的一半(πr);半径(r)▶【应用提升】6.解:r=50.24÷3.14÷2=8(米),S=3.14×8²=200.96(平方米)。答:花坛占地200.96平方米。7.解:半圆周长=πr+2r=3.14×4+2×4=12.56+8=20.56(厘米);半圆面积=πr²÷2=3.14×16÷2=25.12(平方厘米)。答:周长20.56厘米,面积25.12平方厘米。8.解:前轮周长=3.14×1.2=3.768(m);每分钟压面积=3.768×1.5×20=113.04(m²);1小时压面积=113.04×60=6782.4(m²)。答:1小时压过路面6782.4平方米。9.解:分针走了整圆的1/4,路程=2πr×1/4=2×3.14×10÷4=15.7(cm)。答:针尖走过15.7厘米。10.解:S扇=(60/360)×3.14×6²=(1/6)×113.04=18.84(平方厘米)。答:扇形面积18.84平方厘米。▶【拓展挑战】11.解:S环=3.14×(12²-8²)=3.14×(144-64)=3.14×80=251.2(平方厘米)。答:环形面积251.2平方厘米。12.解:正方形面积=10×10=100(平方厘米);最大圆面积=3.14×5²=78.5(平方厘米);剩下面积=100-78.5=21.5(平方厘米)。答:剩下部分的面积是21.5平方厘米。13.解:外圆半径=10÷2+2=7(米);小路面积=3.14×7²-3.14×5²=3.14×(49-25)=