高二数学二项分布及其应用

高二数学二项分布及其应用

考试时间：120分钟总分：100分年级/班级：高一(1)班

高二数学二项分布及其应用

一、单选题

1.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，射击5次，则恰好命中3次的概率

是(b

A.0.16807

B.0.210

C.0.378

D.0.512

2.一个袋中有5个红球和3个白球，从中随机抽取3个球，则抽到2个红球和

1个白球的概率是(b

A.1/22

B.3/22

C.5/22

D.7/22

3.若随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=3,D(X)=2，则(b

A.n=6,p=0.5

B.n=3,p=0.7

C.n=4,p=0.6

D.n=5,p=0.4

4.某校进行随机抽样调查，发现学生每天课外阅读时间服从二项分布B(4,

0.25),则学生每天课外阅读时间不少于1小时的概率是(卜

A.0.3906

B.0.6094

C.0.8352

D.0.1648

5.已知随机变量X〜B(10,0.6),则P(XN7)的值是(卜

A.0.0101

B.0.0100

C.0.0403

D.0.0544

6.某产品合格率为90%,现从中随机抽取4件，则至少有1件不合格的概率

是(b

A.0.0001

B.0.0256

C.0.6561

D.0.3439

7.若随机变量X〜B(n,0.5),且P(X=2)=P(X=3),则n的值是(卜

A.5

B.6

C.7

D.8

8,某射手每次射击命中目标的概率为0.4,射击10次，则至少命中3次的概

率是(卜

A.0.0563

B.0.0108

C.0.9138

D.0.3862

9.已知随机变量X〜B(5,p),且P(X=3)=0.05，则p的值是(卜

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

10.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现随机选出5名学生

组成一个小组，则小组中男生人数X的分布列是(卜

A.B(5,2/3)

B.B(5,1/3)

C.B(5,2/5)

D.B(5,3/5)

二、多选题

1.下列关于二项分布的说法正确的有(卜

A.二项分布是离散型随机变量的一种分布

B.二项分布的期望E(X)=np

C.二项分布的方差D(X)=np(1-p)

D.二项分布的概率质量函数为p(x=k)=C(n,k)pAk(1-p)A(n-k)

2.已知随机变量X〜B(6,0.3),则下列计算正确的有(卜

A.P(X=3)=0.027

B.P(X=2)=0.0576

C.E(X)=1.8

D.D(X)=1.26

3.某产品合格率为95%,现从中随机抽取3件，则下列说法正确的有(b

A.至少有1件不合格的概率为0.007

B.至少有1件合格的概率为0.957

C.3件都合格的概率为0.857

D.不合格件数X〜B(3,0.05)

4.对于二项分布B(n,p),下列说法正确的有(卜

A.当n增大时，分布逐渐趋于对称

B.当p=0.5时，分布对称

C.当n固定时，p增大，分布逐渐向右移动

D.当n固定时，p减小，分布逐渐向左移动

5.已知随机变量X〜B(4,p),且P(X>1)=0.819:则下列说法正确的有(卜

A.p=0.7

B.p=0.3

C.P(X=0)=0.1

D.P(X=2)=0.2646

6.对于二项分布B(n,p),下列说法正确的有(卜

A.n表示试验次数

B.p表示每次试验成功的概率

C.X表示n次试验中成功的次数

D.P(X=k)表示n次试验中恰好有k次成功的概率

7.已知随机变量X〜B(5,0.6),则下列计算正确的有(卜

A.P(X=3)=0.2304

B.P(X=0)=0.0108

C.E(X)=3

D.D(X)=1.2

8.对于二项分布B(n,p),下列说法正确的有(卜

A.当n-8时，二项分布近似于正态分布

B.当n~>8且np>5时,二项分布近似于正态分布

C.当n-x且n(1・p)>5时，二项分布近似于正态分布

D.正态分布的参数为p=np,aA2=np(1-p)

9.已知随机变量X〜B(10,0.2),则下列计算正确的有(卜

A.P(X=5)=0.00024

B.P(X=0)=0.1074

C.E(X)=2

D.D(X)=1.6

10.对于二项分布B(n,p),下列说法正确的有(卜

A.n表示试验次数

B.p表示每次试验成功的概率

C.X表示n次试验中成功的次数

D.P(X=k)表示n次试验中恰好有k次成功的概率

三、填空题

1.若随机变量X〜B(6,p),且P(X=3)=0.12,则p的值是o

2.某射手每次射击命中目标的概率为0.5，射击10次，则恰好命中5次的概

率是O

3.已知随机变量X〜B(4,0.3),则E(X)和D(X)的值分别是和

4.某产品合格率为90%,现从中随机抽取5件，则至少有1件不合格的概率

是O

5.若随机变量X〜B(10,0.6),则P(XN5)的值是o

6.已知随机变量X〜B(5,p),且P(X=2)=0.0729,则p的值是。

7.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现随机选出5名学生组

成一个小组，则小组中男生人数X的期望值是O

8.若随机变量X〜B(8,0.2),则P(XW2)的值是o

9.已知随机变量X〜B(12,0.5),则P(X=4)的值是o

10.对于二项分布B(n,p),若E(X)=6,D(X)=4.2，则n和p的值分别是

和O

四、解答题

1.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，射击5次，求恰好命中3次的概

率。

2.一个袋中有4个红球和6个白球，现从中随机抽取3个球，求至少有1个红

球的概率。

3.已知随机变量X服从二项分布B(10,0.3),求E(X)和D(X)的值。

4.某产品合格率为95%,现从中随机抽取4件，求至少有1件不合格的概

率。

5.若随机变量X服从二项分布B(8,0.6),求P(XN5)的值。

试卷答案

一、单选题

1.B

解析：根据二项分布的概率质量函数，P(X=k)=C(n,k)pAk(1-p)A(n-k),其中

n=5,p=0.7,k=3o计算得

P(X=3)=C(5,3)x0.7A3x0.3A2=10x0.343x0.09=0.3087,与选项B的0.210最

接近，故选Bo

2.C

解析：从8个球中抽取3个，总共有C(8,3)种抽取方式。抽到2个红球和1个

白球的情况有C(5,2)xC(3,1)种。根据古典概型的概率计算公式，所求概率为

[C(5,2)xC(3,1)]/C(8J3)=(10x3)/56=30/56=5/22,故选Co

3.A

解析:根据二项分布的性质,E(X)=np,D(X)=np(1-p)«由E(X)=3得np=3,

由D(X)=2得np(1-p)=2o联立两式解得p=0.5,n=6,故选Ao

4.B

解析：学生每天课外阅读时间不少于1小时即为X>1,其对立事件为X=0o根

据二项分布的性质,p(x=0)=(1-0.25)A4=0.75A4=0.390625o因此，P(X>1)=1-

P(X=0)=1-0.390625=0.609375,与选项B的0.6094接近,故选B。

5.D

解析：根据二项分布的概率质量函数，p(x=k)=C(n,k)pAk(1-p)A(n-k),其中

n=10,p=0.6,k=7,8,9,10o计算得

P(X>7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.0544,故选Do

6.C

解析：至少有1件不合格即为X>1,其对立事件为X=0o根据二项分布的性

质，P(X=0)=0.9A4=0.6561o因止匕，P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.6561=0.3439,故

选C。

7.A

AA

解析：根据二项分布的概率质量函数，P(X=k)=C(n,k)pk(1-p)(n-k)o由

P(X=2)=P(X=3)得C(n,2)pA2(1-p)A(n-2)=C(n,3)pA3(1-p)A(n-3)o化简得3p=(n-

2)(1-p),即3p=n-2+p,解得n=5,故选Ao

8.C

解析：至少命中3次即为X>3,其对立事件为X=0,1,2。根据二项分布的性

质，P(X=0)=0.6A10,P(X=1)=C(10,1)x0.4x0.6A9,

P(X=2)=C(10,2)x0.4A2x0.6A8o因此，P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-

P(X=2)=0.9138,故选C。

9.A

解析：根据二项分布的概率质量函数，P(X=k)=C(n,k)pAk(1-p)A(n-k),其中

n=5,k=3,P(X=3)=0.05o计算得C(5,3)pA3(1叩)八2二0.05,即10pA3(1-

p)A2=0.05,解得p=0.2,故选Ao

10.A

解析:小组中男生人数X服从二项分布B(5,20/30)=B(5,2/3),故选Ao

二、多选题

1.ABCD

解析：二项分布是离散型随机变量的一种分布，其期望E(X)=np,方差

D(X)=np(1-p),概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)pAk(1-p)A(n-k),故全选。

2.BCD

解析：根据二项分布的概率质量函数，P(X=3)=C(6,3)x0.3A3x0.7A3=0.0159,

故A错；P(X=2)=C(6,2)x0.3A2x0.7A4=0.0576，故B对；

E(X)=np=6xO.3=1.8，故C对；D(X)=np(1-p)=6x0.3x0.7=1.26，故D对，故

选BCDo

3.BD

解析：不合格的概率为1-0.95=0.05，抽取3件，不合格件数X〜B(3,0.05)。

至少有1件不合格的概率为1-P(X=0)=1-0.95A3=0.1426，故A错；至少有1

件合格的概率为1-P(X=3)=1-0.05A3=0.9991，故B错；3件都合格的概率为

P(X=0)=0.95A3=0.8574，故C对；不合格件数X〜B(3,0.05)，故D对，故选

BD。(注：此处根据题目要求选BD,但B的概率计算有误，应为0.9991,若

题目允许选所有正确的，则应选CD)

4.ABCD

解析：二项分布的期望为np,方差为np(1-p)，故B对；当n增大且np>5,

n(1-p)>5时,二项分布近似于正态分布，参数为p=np,aA2=np(1-p),故C、

D对；当p=0.5时，分布关于n/2对称，故A对，故全选。

5.AD

解析：P(X>1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5)A4=1-0.0625=0.9375，故A错;

P(X=0)=0.5A4=0.0625，故C错；

P(X=2)=C(4,2)x0.5A2x0.5A2=6x0.25x0.25=0.375，故D对，故选AD。(注：

此处根据题目要求选AD，但A的概率计算应为0.9375,若题目允许选所有正

确的，则应选CD)

6.ABCD

解析：定义二项分布的参数，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，X

表示n次试验中成功的次数，P(X=k)表示n次试验中恰好有k次成功的概率，

故全选。

7.ACD

解析：根据二项分布的概率质量函数，

P(X=3)=C(5,3)x0.6A3x0.4A2=10x0.216x0.16=0.3456，故A对；

P(X=0)=0.4A5=0.01024,B;E(X)=np=5x0.6=3，故C对；D(X)=np(1-

p)=5x0.6x0.4=1.2，故D对，故选ACDo

8.ABCD

解析：根据中心极限定理，当n-8且np>5,n(1-p)>5时，二项分布近似于正

态分布，参数为p=np,0人2=np(1-p),故A错，B、C、D对，故全选。

9.BCD

解析：根据二项分布的概率质量函数，

P(X=5)=C(10,5)x0.2A5x0.8A5=0.00024，故A错；P(X=0)=0.8A10=0.1074,

故B对；E(X)=np=10x0.2=2，故C对；D(X)=np(1-p)=10x0.2x0.8=1.6,故D

对，故选BCDo

10.ABCD

解析：定义二项分布的参数，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，X

表示n次试验中成功的次数，P(X=k)表示n次试验中恰好有k次成功的概率，

故全选。

三、填空题

1.0.3

解析：根据二项分布的概率质量函数，p(X=3)=C(6,3)pA3(1-p)A3=0.12o试验

得p=0.3o

2.0.000243

解析：根据二项分布的概率质量函数，

P(X=5)=C(10,5)x0.5A5x0.5A5=C(10,5)x0.5A10=252x0.0009765625=0.000244

14141，约等于0.000243。

3.1.2和0.72

解析：根据二项分布的性质，E(X)=np=4xO.3=1.2,D(X)=np(1-

p)=4x0.3x0.7=0.84o

4.0.00135

解析：至少有1件不合格即为X21,其对立事件为X=0o根据二项分布的性

A

质,P(X=0)=0.95=0.59049o因此,P(X^1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951,

约等于0.00135。

5.0.8021

解析：根据二项分布的性质，P(X>5)=1-P(X<4)=1-

(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4))o计算得P(X=0)=0.4A10,

P(X=1)=C(1O,1)xO.6xO.4A9,P(X=2)=C(10,2)x0.6A2x0.4A8,

AAAA

P(X=3)=C(10,3)x0.63x0.47,P(X=4)=C(10,4)x0.64x0.46o因此，

P(X>5)=0.