人教版数学八年级下册 第23章 一次函数期末复习 学案 含答案

第二十三章一次函数【期末复习讲义】-基础版第二十三章一次函数【期末复习讲义】-基础版『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练共60题』（原卷版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型序列题型名称题型一根据一次函数的定义求参数题型十四求一次函数解析式题型二求一次函数自变量或函数值题型十五由直线与坐标轴的交点求不等式的解集题型三列一次函数解析式并求值题型十六根据两条直线的交点求不等式的解集题型四根据一次函数解析式判断其经过的象限题型十七两直线的交点与二元次方程组的解题型五已知函数经过的象限求参数范围题型十八图象法解二元一次方程组题型六一次函数图象与坐标轴的交点问题题型十九求直线围成的图形面积题型七一次函数图象平移问题题型二十分配方案问题（一次函数的实际应用）题型八一次函数图象与对称问题题型二十一最大利润问题（一次函数的实际应用）题型九一次函数图象与旋转问题题型二十二行程问题（一次函数的实际应用）题型十根据一次函数增减性求参数题型二十三梯度计价问题题型十一根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况题型二十四其他问题（一次函数的实际应用）题型十二比较一次函数值的大小题型二十五一次函数与几何综合题型十三一次函数的规律探究问题第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一变量与常量定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，b那么a叫做当自变量x的值为a时的函数值．知识点二自变量取值范围初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；函数关系式为分式形式：分母0函数关系式含算术平方根：被开方数0；（4）函数关系式含0指数：底数0。知识点三函数定义像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式知识点四正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点五正比例函数图像和性质正比例函数图象与性质用表格概括下：k的符号图像经过象限性质k＞0第一、三象限y随x的增大而增大k＜0第二、四象限y随x的增大而较少知识点六待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——eq\a\vs4\al(设出)函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——eq\a\vs4\al(把已知条件代入y＝kx中)；(3)求——eq\a\vs4\al(解方程求未知数)k；(4)写——eq\a\vs4\al(写出正比例函数的表达式)知识点七一次函数的定义如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。知识点八一次函数图像和性质一次函数图象与性质用表格概括下：增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像（草图）b＞0b=0b＜0b＜0b=0b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴的交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】：若两直线平行，则；若两直线垂直，则知识点九一次函数的平移一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）知识点十求一次函数解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤：基本步骤：设、列、解、写⑴设：设一般式y=kx+b⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）⑶解：解出k、b；⑷写：写出一次函数式知识点十一一次函数与一元一次方程的关系直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解．求直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点时,（1）可令y=0，得到方程kx+b=0（k≠0），解方程得，（2）直线y=kx+b交x轴于点（0，）,就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．知识点十二一次函数与一元一次不等式（1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.（2）如何确定两个不等式的大小关系ax+b>cx+d（a≠，且）的解集⇔y=ax+b的函数值大于y=cx+d的函数值时的自变量取值范围⇔直线y=ax+b的在直线y=cx+d的上方对应的点的横坐标范围．第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一根据一次函数的定义求参数【例1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当m=________时，函数y=m−2xm【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（

）A．y=−24x是正比例函数，也是一次函数B．y=5πC．商品单价一定，总金额与商品数量成正比D．如果y=m2题型讲练二求一次函数自变量或函数值【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若点a,10在函数y=2x+6的图象上，则a的值是________．【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为40cm、宽为15cm的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为(1)根据上图将表格补充完整．白纸张数12345…纸张长度/cm40110145…(2)设x张长方形白纸黏合后的总长度为ycm，求y关于x的函数解析式，并判断y是不是x(3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为2025cm题型讲练三列一次函数解析式并求值【例3】如图，平面直角坐标系中，已知点A1,5，B2,−4，点(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；(2)若点M在y轴上，求AM+BM的最小值；(3)若点M在x轴，当AM−BM最大时，求点M的坐标．【变式】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．题型讲练四根据一次函数解析式判断其经过的象限【例4】（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数y=2x−1，下列结论正确的是（

）A．它的图象与x轴交于点0,−1 B．y随x的增大而减小C．当x>12时，y<0【变式】．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数y=kx+b的图象经过点A2,5，B5,8，则下列说法正确的是①函数y=kx+b的图象可由函数y=x的图象向上平移3个单位长度得到；②函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；③函数y=kx+b的图象经过点−1,−2；④函数y=kx+b的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5．题型讲练五已知函数经过的象限求参数范围【例5】（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，且kb≠0）的图象不经过第三象限，则一次函数y=bx+k的图象不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）已知函数y=(3m−2)x+2m−6．(1)当m为何值时，函数图象经过原点；(2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求m的取值范围．题型讲练六一次函数图象与坐标轴的交点问题【例6】（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1=−x+3与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数y(1)求线段AC的长；(2)如图2，把直线BC沿y轴向上平移5个单位，与直线AB相交于点M，连接MC，求△MBC的面积；(3)在直线x=−2上是否存在一点Q，使得△ABQ的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=kx交于点C，P在直线BC上运动，则PO题型讲练七一次函数图象平移问题【例7】（25-26八年级下·北京·期中）已知点A−2,2a+3，点B3,2a−2，将直线AB沿水平方向向右平移4个单位，得到直线A′B′，若点Mt−1,m1，A．3 B．−3 C．4 D．−4【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象由函数y=(1)求这个一次函数的解析式；(2)已知函数y2=nx+2，当x≥3时，对于x的每一个值，y题型讲练八一次函数图象与对称问题【例8】（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点Pa,a+3和两定点A(1)求直线AB的函数表达式；(2)动点P的横坐标x=a，纵坐标y=a+3，则y关于x的函数关系式为_____；(3)若直线PO与线段AB（包含端点）有交点，求a的取值范围；(4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线y=t与直线AB、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值．【变式】（25-26九年级上·河南·期中）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号）①函数y1=2x+3与函数②函数y1=2x+3与函数y2③若1是函数y1=kx+3与函数y2题型讲练九一次函数图象与旋转问题【例9】如图，在平面直角坐标系中，6×6的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位．(1)画出直线l1(2)将直线l1向下平移4个单位得到直线l2，画出直线(3)若直线l2与直线l3关于x轴成轴对称，画出直线(4)若直线l3与x轴的交点为A，则点A的坐标为___________，将直线l3绕点A逆时针旋转90°得到直线l4，画出直线【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x−3的图象．【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数y=−2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，直线A′请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________．【解决问题】（2）已知某一次函数的图象与直线y=−2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．【拓展探究】（3）一次函数y=−2x的图象绕点2,3逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果）题型讲练十根据一次函数增减性求参数【例10】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）已知函数y=2m+1(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若函数的图象平行于直线y=3x+b，求m的值；(3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围．【变式】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数y=m+1x−2m+4(1)当函数是正比例函数时，m的值为___________．(2)当函数图象不经过第一象限时，m的取值范围是___________．(3)当−2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值．题型讲练十一根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况【例11】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）研究一次函数y=kx+b时，发现k和b的取值变化，会带来函数性质的变化．(1)若k=2b，且这个一次函数的图像过点3,7．①求k和b的值；②若0≤x≤8，求y的取值范围；(2)设函数y1=mx+n，y2=−mx+n（若函数y1和y条件1：y1随x条件2：当1≤x≤5时，t≤y条件3：当−3≤x≤−1时，y2的最大值为2t．求t【变式】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知y−2与x+1成正比例，且当x=1时，y=−4．(1)求y关于x的函数表达式；(2)已知点Pm,n在该函数的图象上，且m>n，求m(3)当m≤x≤m+2时，y的最小值为5，求m的值．题型讲练十二比较一次函数值的大小【例12】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知−1,y1，0,y2，3,y3是直线A．若y1y2<0，则y1C．若y1y2>0，则y2【变式】对于函数y=2x+1的图象，回答以下问题：(1)该函数经过哪几个象限？(2)当x取何值时，y=0？(3)若图象上有两点Ax1,y1和Bx2题型讲练十三一次函数的规律探究问题【例13】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与y轴交于点A1，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C【变式】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，⋯和B1，B2题型讲练十四求一次函数解析式【例14】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=8，对角线AC与BD交于点O，点P是对角线BD上一点（P不与B、D重合），过点P作PQ∥BC，交AC于点Q．用x表示线段PD的长度，点P与点Q之间的距离为(1)直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在图2的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质；(3)若直线y1=1【变式】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点A4,3为正比例函数y=kxk≠0图象上一点，点B的坐标为(1)求正比例函数的表达式：(2)将△OAB沿直线AB翻折得到△CAB，点O的对应点为C，AC与x轴交于点D．求证：四边形(3)在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由，题型讲练十五由直线与坐标轴的交点求不等式的解集【例15】（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0与y=x−k的图象交于点2,0(1)求k，b的值；(2)当x≤0时，对于x的每一个值，函数y=mx+n的值大于函数y=kx+bk≠0的值，且小于函数y=x−k的值，直接写出m和n【变式】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)关于x的方程ax+b=0的解是；(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是；(3)当x为何值时，y1(4)直接写出关于x的不等式组ax+b>0mx+n>0题型讲练十六根据两条直线的交点求不等式的解集【例16】（25-26八年级下·重庆·期中）学习函数知识后，小明对新函数y=2x+4(1)下表是该函数y与自变量x的几组对应值．x…−4−3−2−1012…y…m0−3−2−10n…其中m=___________，n=___________．(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质．(3)结合图象分析，当y>3时，x的取值范围为___________．【变式】（25-26八年级下·河南郑州·期中）某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：mg/L，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：mg/L，反映水质卫生）．其中游离氯浓度y1和尿素浓度y2随泳池开放天数t（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放题型讲练十七两直线的交点与二元次方程组的解【例17】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线l1的解析式为y=−x+2，l1与x轴交于点B，直线l2经过点D0,5，与直线l1交于点C(1)求点C的坐标及直线l2(2)求△ABC的面积；(3)已知点P在直线l2上，若△BCP的面积是△ABC面积的23，直接写出点【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点2,3在函数y=kx+1k≠0(1)求k的值；(2)求直线y=kx+1k≠0与直线y=−2x(3)当n<x<2时，对于x的每一个值，函数y=kx+1k≠0的函数值都大于y=−2x的函数值，且小于y=−2x+b的函数值，直接写出n的最小值和b题型讲练十八图象法解二元一次方程组【例18】（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践问题情境：在平面直角坐标系中，把方程x+y=4的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标．x…-101a…y…b432…数学建模：（1）请直接写出：a=_____；b=_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程x+y=4的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．问题解决：（2）设方程12x+my=−2的图象与x轴、y轴的交点分别是A，B，方程nx−y=3的图象与x轴、y轴的交点分别是C，①求点A，D的坐标．②已知关于x，y的二元一次方程组12x+my=−2nx−y=3无解，点B在y轴正半轴上，且∠OAB=45∘【变式】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x−y=0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．规定：以方程x−y=0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x−y=0的图象；结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，我们在画方程x−y=0的图象时，可以取点A−1,−1和B2,2，作出直线【解决问题】（1）已知A−1,2、B−2,0、C1,2，则点________（填“A或B（2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组2x+y=4x−y=−1（3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________．【拓展延伸】（4）已知二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A2,−1和B3,0，试求题型讲练十九求直线围成的图形面积【例19】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数y=kx+b的图像经过(0,1)和(3,−3)，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点A0,2和点(1)求这个一次函数的解析式；(2)这个一次函数的图象与x轴交于点C．①求点C的坐标；②若点P是x轴上一点，且△PAC的面积是3，直接写出点P的坐标．题型讲练二十分配方案问题（一次函数的实际应用）【例20】（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和x个x>40羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折．(1)设采用活动一所需费用为y1元，采用活动二所需费用为y2元，请分别表示y1，y(2)请帮学校选择最省钱的方案．【变式】（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有x名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下：项目方案一（第三方合作安装）方案二（物业自主安装）费用明细1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋2．充电桩安装费：50元/个3．免费提供3年质保服务1．每栋楼无基础服务费2．充电桩安装费：35元/个3．充电桩辅材采购费：20元/个4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同）若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？题型讲练二十一最大利润问题（一次函数的实际应用）【例21】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表．种类A配件B配件进价/（元/件）26080售价/（元/件）300100已知该无人机配件销售公司购进A配件和B配件共300件，并全部售出，设购买A配件x个，本次销售完300件配件获得的总利润为y元．(1)求y关于x函数关系式．(2)若B配件购进件数不低于A配件购进件数的2倍，求购进多少件A配件时，总利润y最大？y最大为多少？【变式】（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？如何选择合适的种植方案？素材1某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中100m素材2甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中20≤x≤80问题解决：(1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式(2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值(3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且4≤a≤8），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示）题型讲练二十二行程问题（一次函数的实际应用）【例22】（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践：壮美广西·绿色出行【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况．【实验数据】实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量y%与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s表1：表2：【建立模型】(1)表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）．y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________【解决问题】(2)五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量e%和已行驶里程数s①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%．②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？③若电量低于20%【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O−A−B−C和线段OD分别表示两人离学校的路程skm与所经过的时间t根据图象回答问题：(1)学校与图书馆的距离是_____km；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟；(2)相遇前，二人之间的距离的最大值是_____km；(3)当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？题型讲练二十三梯度计价问题【例23】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：外卖送单数量补贴（元／单）每月不超过500单3.5超过500单但不超过900单的部分5超过900单的部分8(1)若某外卖小哥一个月送餐x单（x>500），所得工资y元，求y与x的函数关系式．(2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？【变式】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元．设一户每月用水量为xm3，应缴水费y题型讲练二十四其他问题（一次函数的实际应用）【例24】（25-26八年级下·广西南宁·期中）某文创店计划采购一批东盟特色文创礼盒供应市场，现有A、B两家供货厂家可选，两家对单价相同的文创礼盒给出不同优惠方案：A厂家：一律打8折出售．B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，则超过的部分打7折．已知每盒文创礼盒的进价为40元，若该商家计划购买文创礼盒x盒(x>0)，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y(1)分别求出y1，y2关于(2)如果该商家只在一个厂家购买文创礼盒，那么怎样购买划算？【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）某校初2027级为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花50元办一张会员卡，所购图书的总价可打8折：乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书的总价可打7折．(1)设所购图书的原价为x元，选择甲书店时，所需的费用为y1元，选择乙书店时，所需的费用为y2元，则y1，y2关于x的一次函数关系式分别为：(2)你认为年级选择哪个书店购书更合算？题型讲练二十五一次函数与几何综合【例25】（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线y=2x和y=1(1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标；(2)如果点A在直线y=2x上运动，且点C始终在直线y=13x上运动，设点A的横坐标为m，正方形①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系；②求点B所在直线的正比例函数解析式；【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为0,6．(1)如图1，求直线OB的解析式；(2)如图2，边AB上有一动点D，连接OD，点F在线段OA上，使得OF=2AD，点G在CB的延长线上，点E在线段CG上，连接EF，满足∠EFO−90°=∠AOD，若D点的纵坐标为t，CE的长为d，求d与t的关系式；(3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段BG上，连接OG，若∠AOG+12∠AOD=45∘，当EG=第四部分第四部分拓展拔高实战攻坚1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A−9,0,B0,12两点，则不等式kx+b≤0A．x≥−9 B．−9<x<12 C．x≤−9 D．x≥122．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数y=−12x与y=kx+b的图象交于点Pm,1，不等式A．x<2 B．x>−2 C．x≥2 D．x≤−24．（25-26八年级下·上海普陀·期中）若直线l1：y=kx+b与直线y=2x平行，且与y轴交于点(0,3)，则直线l1的函数解析式是5．（25-26八年级下·北京·月考）直线y=2x与直线y=mx+n的图象如图所示，则方程组2x−y=0mx−y=−n的解为________6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标___________溶解氧浓度（单位：mgL）和污染物浓度（单位：mgL）随时间x（天）的变化．溶解氧浓度由直线l1：y=x+1描述，污染物浓度由直线l2：y=kx+bk≠07．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知一次函数y=x+1的图象是一条直线．(1)如图，在平面直角坐标系中，画出函数y=x+1的图象；①列表，下表列出了部分对应值，则m=________，n=________；x…m0…y…0n…②描点、连线，画出函数y=x+1的图象．(2)若点Ax1,y1，点Bx2,y8．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t℃海拔高度h（千米）…012345…气温t…201482−4−10…(1)由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低_____________摄氏度．(2)当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度？(3)某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．点A(6,0)，点B在y轴正半轴上，△AOB的面积为18．(1)求点B的坐标；(2)点D(0,−6)，点C(3,0)，连接DC并延长，使DC=CE．求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，点P在OA上，点Q在OB的延长线上，且AP=BQ，连接PQ交AB于点H，连接EP、EQ，若△EPQ的面积是20．求点H的坐标．10．（25-26八年级下·重庆·期中）对于关于x的一次函数y=kx+b(k≠0)，我们称函数y=kx+b(x≤m)y=−kx−b(x>m)为一次函数y=kx+b(k≠0)的m变函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y=x+4的3变函数为y=x+4(x≤3)(1)关于x的一次函数y=−x+1的2变函数为y，则当x=4时，y=________________．(2)关于x的一次函数y=x+2的1变函数为y1，关于x的一次函数y=−12x−2的-1变函数为y2(3)关于x的一次函数y=2x+2的1变函数为y3，当−3≤x≤3时，求函数y

第二十三章一次函数【期末复习讲义】-基础版第二十三章一次函数【期末复习讲义】-基础版『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练共60题』（解析版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型序列题型名称题型一根据一次函数的定义求参数题型十四求一次函数解析式题型二求一次函数自变量或函数值题型十五由直线与坐标轴的交点求不等式的解集题型三列一次函数解析式并求值题型十六根据两条直线的交点求不等式的解集题型四根据一次函数解析式判断其经过的象限题型十七两直线的交点与二元次方程组的解题型五已知函数经过的象限求参数范围题型十八图象法解二元一次方程组题型六一次函数图象与坐标轴的交点问题题型十九求直线围成的图形面积题型七一次函数图象平移问题题型二十分配方案问题（一次函数的实际应用）题型八一次函数图象与对称问题题型二十一最大利润问题（一次函数的实际应用）题型九一次函数图象与旋转问题题型二十二行程问题（一次函数的实际应用）题型十根据一次函数增减性求参数题型二十三梯度计价问题题型十一根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况题型二十四其他问题（一次函数的实际应用）题型十二比较一次函数值的大小题型二十五一次函数与几何综合题型十三一次函数的规律探究问题第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一变量与常量定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，b那么a叫做当自变量x的值为a时的函数值．知识点二自变量取值范围初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；函数关系式为分式形式：分母0函数关系式含算术平方根：被开方数0；（4）函数关系式含0指数：底数0。知识点三函数定义像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式知识点四正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点五正比例函数图像和性质正比例函数图象与性质用表格概括下：k的符号图像经过象限性质k＞0第一、三象限y随x的增大而增大k＜0第二、四象限y随x的增大而较少知识点六待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——eq\a\vs4\al(设出)函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——eq\a\vs4\al(把已知条件代入y＝kx中)；(3)求——eq\a\vs4\al(解方程求未知数)k；(4)写——eq\a\vs4\al(写出正比例函数的表达式)知识点七一次函数的定义如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。知识点八一次函数图像和性质一次函数图象与性质用表格概括下：增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像（草图）b＞0b=0b＜0b＜0b=0b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴的交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】：若两直线平行，则；若两直线垂直，则知识点九一次函数的平移一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）知识点十求一次函数解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤：基本步骤：设、列、解、写⑴设：设一般式y=kx+b⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）⑶解：解出k、b；⑷写：写出一次函数式知识点十一一次函数与一元一次方程的关系直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解．求直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点时,（1）可令y=0，得到方程kx+b=0（k≠0），解方程得，（2）直线y=kx+b交x轴于点（0，）,就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．知识点十二一次函数与一元一次不等式（1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.（2）如何确定两个不等式的大小关系ax+b>cx+d（a≠，且）的解集⇔y=ax+b的函数值大于y=cx+d的函数值时的自变量取值范围⇔直线y=ax+b的在直线y=cx+d的上方对应的点的横坐标范围．第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一根据一次函数的定义求参数【例1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当m=________时，函数y=m−2xm【答案】−2【思路引导】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的关系式，再求解即可．【规范解答】解：根据一次函数的定义可得m2解方程m2−3=1，得m2由m−2≠0，得m≠2，因此m=−2．【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（

）A．y=−24x是正比例函数，也是一次函数B．y=5πC．商品单价一定，总金额与商品数量成正比D．如果y=m2【答案】B【思路引导】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键．一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kxk≠0叫正比例函数；根据定义进行判断即可．【规范解答】解：A、y=−24x中，k=−24≠0，b=0，∴是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意；B、y=5π无变量x，即k=0，不满足k≠0，∴不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意；C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为y=kx（k为单价），∴总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意；D、y=(m2−4)x+9是一次函数时，需m故选：B．题型讲练二求一次函数自变量或函数值【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若点a,10在函数y=2x+6的图象上，则a的值是________．【答案】2【思路引导】将点a,10代入y=2x+6计算即可．【规范解答】解：∵点a,10在函数y=2x+6的图象上，∴2a+6=10，解得a=2．【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为40cm、宽为15cm的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为(1)根据上图将表格补充完整．白纸张数12345…纸张长度/cm40110145…(2)设x张长方形白纸黏合后的总长度为ycm，求y关于x的函数解析式，并判断y是不是x(3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为2025cm【答案】(1)表格见解析(2)y=35x+5，是(3)不可能，理由见解析【思路引导】（1）根据题意，每增加1张白纸，黏合部分宽为5cm，会减少5（2）根据（1）中的结论每增加1张白纸，黏合部分宽为5cm，会减少5cm，那么x张长方形白纸黏合后会减少5x−1cm，由此可得到解析式，再判断（3）把y=2025代入（2）中的关系式，若x为整数，即可达到总长度为2025cm【规范解答】（1）解：由题意，得2张长方形白纸黏合后的长度为40×2−5=75cm5张长方形白纸黏合后的长度为40×5−5×4=180cm补充表格：白纸张数12345…纸张长度/cm4075110145180…（2）解：由题意可得y=40x−5x−1故y关于x的函数解析式为y=35x+5，y是x的一次函数．（3）解：不可能．理由如下：令y=2025，得2025=35x+5，解得x=404∵x为正整数，∴长方形白纸黏合起来的总长度不可能为2025cm【考点剖析】本题主要考查了函数关系式，规律型−图形变化类，根据题意找出图形变化的规律列出函数关系式是解决本题的关键．题型讲练三列一次函数解析式并求值【例3】如图，平面直角坐标系中，已知点A1,5，B2,−4，点(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；(2)若点M在y轴上，求AM+BM的最小值；(3)若点M在x轴，当AM−BM最大时，求点M的坐标．【答案】(1)1，2(2)AM+BM的最小值为310(3)M(6,0)【思路引导】（1）根据点x,y到y轴的距离为x即可得出答案；（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点M，此时AM+BM达到最小，且最小为A′B，过点B作x轴的平行线，过点A（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点M，此时BM=B′M，那么AM−BM=AM−B′M=A【规范解答】（1）解：∵已知点A1,5，B∴A1,5到y轴的距离为1，B2,−4到（2）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y∵A,A′关于y轴对称，A∴AM=A′M∴AM+BM=A∴AM+BM取得最小值，且最小值为A′过点B作x轴的平行线，过点A′作x轴的垂直线，两线相交于点V∴V(−1,−4)，∵A′−1,5，∴A′V=5+4=9∴A∴AM+BM的最小值为310（3）解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点M，此时BM=B′∵B,B′关于x轴对称，∴B设直线AB′为y=kx+b(k≠0)，代入B∴4=2k+b∴k=−1∴直线AB′为当y=0时，0=−x+6，解得x=6，故M(6,0)．【考点剖析】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【变式】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为y甲=620×0.85x=527x，乙旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，选择乙旅行社．【思路引导】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．（1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式；（2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可．【规范解答】（1）解：根据题意可得，甲旅行社收取组团两日游的总费用y当0≤x≤20时，乙旅行社收取组团两日游的总费用y乙当x>20时，乙旅行社收取组团两日游的总费用y乙∴乙旅行社收取组团两日游的总费用y乙答：甲旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为y甲=620×0.85x=527x，乙旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式为（2）解：当x=32时，甲旅行社收取总费用y甲乙旅行社收取总费用y乙∵16864>16740，∴乙旅行社收取总费用较少，答：若王老师组团参加两日游的共有32人，选择乙旅行社．题型讲练四根据一次函数解析式判断其经过的象限【例4】（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数y=2x−1，下列结论正确的是（

）A．它的图象与x轴交于点0,−1 B．y随x的增大而减小C．当x>12时，y<0【答案】D【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质，先得出它的图象与x轴交于点12,0，结合b=−1<0，y随x的增大而增大，它的图象经过第一、三、四象限，且结合当x>12时，则2x>1，故【规范解答】解：∵一次函数解析式为y=2x−1，∴令y=0，则0=2x−1，解得x=1∴它的图象与x轴交于点12故A选项不正确，不符合题意；∵一次函数解析式为y=2x−1，其中k=2>0，∴y随x的增大而增大，故B选项不正确，不符合题意；∵b=−1<0，k=2>0∴它的图象经过第一、三、四象限，故D选项正确，符合题意；∵y=2x−1，∴当x>12时，则∴2x−1>0，即y=2x−1>0，故C选项不正确，不符合题意；【变式】．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数y=kx+b的图象经过点A2,5，B5,8，则下列说法正确的是①函数y=kx+b的图象可由函数y=x的图象向上平移3个单位长度得到；②函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；③函数y=kx+b的图象经过点−1,−2；④函数y=kx+b的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5．【答案】①②④【思路引导】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再结合一次函数的性质依次进行判断即可．【规范解答】解：由题知，将A，B两点坐标代入y=kx+b得，2k+b=55k+b=8解得k=1b=3所以一次函数的解析式为y=x+3．将函数y=x的图象向上平移3个单位长度得到y=x+3的函数图象，故①正确．因为y=x+3与y轴交点为0,3，且y随x的增大而增大，所以函数y=x+3的图象经过第一、二、三象限．故②正确．将x=−1代入y=x+3得，y=−1+3=2≠−2，所以函数y=x+3的图象不经过点−1,−2．故③错误．因为y=x+3与坐标轴的交点坐标分别为−3,0和0,3，所以12即函数y=x+3的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5．故④正确．综上正确的有：①②④．题型讲练五已知函数经过的象限求参数范围【例5】（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，且kb≠0）的图象不经过第三象限，则一次函数y=bx+k的图象不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【思路引导】先根据已知一次函数的位置判断k和b的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案．【规范解答】解：∵一次函数y=kx+b（k、b为常数，且kb≠0）的图象不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴一次函数y=bx+k的图象经过第一、三、四象限，∴一次函数y=bx+k的图象不经过的象限是第二象限．【变式】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）已知函数y=(3m−2)x+2m−6．(1)当m为何值时，函数图象经过原点；(2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求m的取值范围．【答案】(1)m=3(2)2【思路引导】（1）函数图象经过原点，说明原点0,0满足该函数解析式，将点代入解析式求解即可；（2）根据一次函数的性质，图象不经过第二象限时，一次项系数大于0，常数项小于等于0，列出不等式组求解即可得到m的取值范围．【规范解答】（1）解：将原点0,0代入函数y=(3m−2)x+2m−6得：2m−6=0，解得：m=3；（2）解：根据题意得：3m−2>02m−6≤0解得23∴m的取值范围为23题型讲练六一次函数图象与坐标轴的交点问题【例6】（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1=−x+3与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数y(1)求线段AC的长；(2)如图2，把直线BC沿y轴向上平移5个单位，与直线AB相交于点M，连接MC，求△MBC的面积；(3)在直线x=−2上是否存在一点Q，使得△ABQ的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)AC=9(2)S(3)存在，Q【思路引导】（1）先利用y1求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出y2的函数解析式，最后求出点（2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据S△MBC（3）由于AB是定值，只要满足AQ+BQ最小即可．先作点A关于直线x=−2的对称点A′，连接A′B，A′B与直线x=−2【规范解答】（1）解：把x=0代入y1=−x+3，得y=3，所以点B的坐标为把y=0代入y1=−x+3，得x=3，所以点A的坐标为把B0,3代入y2=12把y=0代入y2=12x+3，得x=−6所以线段AC=3−−6（2）解：设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知直线MD的解析式为y3把y1=−x+3，y=12x+8所以点M的坐标为−10如图1，连接MC，过点M作MH⊥AC，垂足为H，则S===15；（3）解：存在，Q−2,如图2，作点A关于直线x=−2的对称点A′，连接A′B，A′B由对称性知A'Q=AQ，△ABQ周长=AB+BQ+AQ=AB+BQ+A故点Q满足使△ABQ周长最小．由题意可知点A′的坐标为−7,0设直线A′B的解析式为把点A'−7,0，−7m+n=0，n=3.

解得所以直线A'B的解析式为把x=−2代入y=3y=3所以点Q的坐标为−2,15【考点剖析】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键．【变式】（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=kx交于点C，P在直线BC上运动，则PO【答案】24【思路引导】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当OP⊥BC时，PO的值最小，利用等积法，求出OP的长即可．【规范解答】解：∵直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y当x=0时，y=8；当y=0时，x=6；∴A6,0∴OA=6,OB=8，∴AB=6∵直线y=−43x+8与直线y=kx交于点C，P∴直线BC即为直线y=−4∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当OP⊥BC时，OP的值最小，过点O作OP⊥BC，交BC于点P，∵S△AOB∴6×8=10⋅OP，∴OP=24即PO的最小值为245题型讲练七一次函数图象平移问题【例7】（25-26八年级下·北京·期中）已知点A−2,2a+3，点B3,2a−2，将直线AB沿水平方向向右平移4个单位，得到直线A′B′，若点Mt−1,m1，A．3 B．−3 C．4 D．−4【答案】A【思路引导】先设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B两点坐标代入解析式联立方程组，两式相减消去含a、b的项，求出k；再依据直线向右平移的特点，得到平移后直线倾斜度保持不变，设出平移后的直线解析式；最后将M、N两点坐标代入平移后的函数关系式，把两个等式再次作差，消去参数t与常数项，即可算出【规范解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将A−2,2a+3，B两式相减得5k=−5，解得k=−1．∵将直线AB沿水平方向向右平移4个单位，得到直线A′∴可设直线A′B′∵点Mt−1,m1，N∴m1两式相减，得m1【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象由函数y=(1)求这个一次函数的解析式；(2)已知函数y2=nx+2，当x≥3时，对于x的每一个值，y【答案】(1)y(2)n的取值范围n≤0或n≥4【思路引导】（1）利用待定系数法解答即可；（2）根据题意求得y1【规范解答】（1）解：∵一次函数y1=kx+bk≠0∴k=1∴y1将点3,4代入y1=1∴b=3，∴一次函数的解析式为y1（2）解：当x≥3时，y1−∴y1情况1：当13−n>0即此时y1−y在x=3时取得最小值，最小值为13由y1−y解得n≤0；情况2：当13−n=0即n=1不满足y1情况3：当13−n<0即此时y1−y在x=3时取得最大值，最大值为13由y1−y2≥2综上，n的取值范围n≤0或n≥4题型讲练八一次函数图象与对称问题【例8】（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点Pa,a+3和两定点A(1)求直线AB的函数表达式；(2)动点P的横坐标x=a，纵坐标y=a+3，则y关于x的函数关系式为_____；(3)若直线PO与线段AB（包含端点）有交点，求a的取值范围；(4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线y=t与直线AB、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值．【答案】(1)y=x−1(2)y=x+3(3)−6≤a≤3(4)7或1或−5【思路引导】（1）利用待定系数法解答即可；（2）根据点P的横纵坐标解答即可；（3）分别求出直线OP过点B，A是函数解析式，即可；（4）求出直线y=t与直线AB、y轴及直线l有三个交点分别为t+1,t，0,t，t−3,t，然后分三种情况讨论即可．【规范解答】（1）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A−1,−2−k+b=−22k+b=1，解得：k=1∴直线AB的函数表达式为y=x−1；（2）解：∵动点P的横坐标x=a，纵坐标y=a+3，∴y关于x的函数关系式为y=x+3；（3）解：设直线OP的解析式为y=mx，当直线OP过点A−1,−2时，−2=−m解得：m=2，∴此时直线OP的解析式为y=2x，把点Pa,a+3代入得：2a=a+3解得：a=3；当直线OP过点B2,1时，1=2m解得：m=1∴此时直线OP的解析式为y=1把点Pa,a+3代入得：1解得：a=−6；∴a的取值范围为−6≤a≤3；（4）解：由（1），（2）得：直线AB的函数表达式为y=x−1，直线l的解析式为y=x+3，∴直线y=t与直线AB、y轴及直线l有三个交点分别为t+1,t，0,t，t−3,t，当t+1,t和0,t关于t−3,t点对称时，t+1+02解得：t=7；当t+1,t和t−3,t关于0,t点对称时，t+1+t−32解得：t=1；当0,t和t−3,t关于点t+1,t对称时，0+t−32解得：t=−5；综上所述，t的值为7或1或−5．【变式】（25-26九年级上·河南·期中）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号）①函数y1=2x+3与函数②函数y1=2x+3与函数y2③若1是函数y1=kx+3与函数y2【答案】②③【思路引导】本题主要考查了新定义下的函数关系，解题的关键是掌握新定义．根据“对偶关系”的定义，通过设点坐标，列方程求解，判断各结论是否正确．【规范解答】解：①设点P在函数y1上，横坐标为m，则纵坐标为2m+3，点Q在函数y2上，横坐标为n，则纵坐标为若P与Q关于y轴对称，则Q的横坐标为n=−m，2m+3=−n+1；则2m+3=−−m解得m=−2，故具有“对偶关系”，结论①错误；②由①可知，点P的坐标为−2,−1则函数y1=2x+3与函数y2③当y=1时，y2解得x=1，∴当x=−1，y=1时，1=−k+3，解得k=2，结论③正确；综上，正确的选项为：②③，故答案为：②③．题型讲练九一次函数图象与旋转问题【例9】如图，在平面直角坐标系中，6×6的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位．(1)画出直线l1(2)将直线l1向下平移4个单位得到直线l2，画出直线(3)若直线l2与直线l3关于x轴成轴对称，画出直线(4)若直线l3与x轴的交点为A，则点A的坐标为___________，将直线l3绕点A逆时针旋转90°得到直线l4【答案】(1)见解析(2)作图见解析，y(3)作图见解析，y(4)1,0，作图见解析，y【思路引导】（1）利用描点法作图即可；（2）根据一次函数的平移即可解答；（3）先求得直线l2与x轴，y轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线l（4）先利用旋转的性质，求得直线l4【规范解答】（1）解：当x=0时，y1当y1=0时，可得解得x=−1，∴直线l1:y1=2x+2作图如下：；（2）解：将直线l1向下平移4个单位得到直线l可得直线l2所对应的函数表达式为y（3）解：当y2=0时，可得解得x=1，当x=0时，y1∴1,0,0,−2∵直线l2与直线l3关于∴1,0,0,2设直线l3的表达式为y把1,0,2=b0=k+b解得k=−2b=2∴直线l3的表达式为y作图如下：；（4）解：根据（3）中可得A1,0，且直线l3经过点∵将直线l3绕点A逆时针旋转90°得到直线l∴点0,2绕点A逆时针旋转90°的对应点为点−1,−1∴直线l4经过−1,−1，1,0设直线l4的表达式为y把−1,−1，1,0代入可得0=k解得k4∴直线l4的表达式为y作图如下：.【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x−3的图象．【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数y=−2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，直线A′请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________．【解决问题】（2）已知某一次函数的图象与直线y=−2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．【拓展探究】（3）一次函数y=−2x的图象绕点2,3逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果）【答案】（1）y=−2x+6；（2）y=2x；（3）y=【思路引导】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得；（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案；（3）在直线y=−2x取两点O0,0，S−1,2，根据旋转性质求得旋转后对应点Q5,1，T【规范解答】解：（1）将函数y=−2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后与x轴的交点为3,0，将3,0代入y=−2x+b中，得0=−6+b，解得b=6，所以平移后的函数表达式为y=−2x+6，故答案为：y=−2x+6；（2）解：在函数y=−2x的图象上取两个点A0,0、B关于x轴对称的点的坐标A′0,0、设直线A′B′把B′k=2，∴一次函数的表达式为y=2x；（3）解：如图，在直线y=−2x上取两点O0,0，S∵一次函数y=−2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°，∴点O、S绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后对应点为点Q、T，过点P作PM⊥x轴于M，过点Q作QK⊥x轴于K，过点Q作QN⊥PM于N，∵P(2,3)，∴OM=2，PM=3，由旋转可得∠OPQ=90°，OP=PQ，∴∠OPM+∠QPN=90°，∵PM⊥x，QN⊥PM，∴∠PMO=∠QNP=90°，∴∠PQN+∠QPN=90°，∴∠OPM=∠PQN，∴△POM≌△QPN(AAS∴PN=OM=2，QN=PM=3，∵QK⊥x轴，∴四边形QNMK是矩形，∴QK=MN=PM−PN=3−2=1，MK=QN=3，∴OK=OM+MK=5，∴Q(5,1)，同理可求得点T(3,0)，设直线TQ解析式为y=kx+b，把Q(5,1)、T(3,0)代入，得5k+b=13k+b=0解得：k=1∴旋转后得到函数解析式为：y=1故答案为：y=1题型讲练十根据一次函数增减性求参数【例10】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）已知函数y=2m+1(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若函数的图象平行于直线y=3x+b，求m的值；(3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围．【答案】(1)m=3(2)m=1(3)−【思路引导】（1）令x=0，y=0求出值即可；（2）根据互相平行的两条直线k相等求出m的值即可；（3）根据一次函数的性质求出m的取值范围．【规范解答】（1）∵函数图象经过原点，∴令x=0，y=0，代入y=2m+1x+m−3得：∴m=3；（2）∵函数的图象平行于直线y=3x+b，∴2m+1=3，∴m=1；（3）∵这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，∴2m+1>0且m−3≤0，∴m>−12且∴−1【变式】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数y=m+1x−2m+4(1)当函数是正比例函数时，m的值为___________．(2)当函数图象不经过第一象限时，m的取值范围是___________．(3)当−2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值．【答案】(1)−2(2)−2≤m<−1(3)2或−2.5【思路引导】（1）一次函数y=kx+b中，k≠0，b=0时，函数是正比例函数，据此列方程求解；（2）一次函数y=kx+b中，k<0，b≤0时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解；（3）①一次函数y=kx+b中，k>0时，y随x的增大而增大，则当x=4时，最大值是4，②函数y=kx+b中，k<0时，y随x的增大而减小，则当x=−2时，最大值是4，据此列方程求解．【规范解答】（1）解：∵y=m+1∴m+1≠0−∴m=−2．（2）解：∵y=m+1∴可得m+1<0−解得−2≤m<−1．（3）解：分两种情况讨论，当m+1>0，即m>−1，y随x的增大而增大，则当x=4，y=4，可得m+1×4−解得m=2；当m+1<0，即m<−1，y随x的增大而减小，则当x=−2，y=4，可得m+1×解得m=−2.5；综上m=2或−2.5．题型讲练十一根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况【例11】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）研究一次函数y=kx+b时，发现k和b的取值变化，会带来函数性质的变化．(1)若k=2b，且这个一次函数的图像过点3,7．①求k和b的值；②若0≤x≤8，求y的取值范围；(2)设函数y1=mx+n，y2=−mx+n（若函数y1和y条件1：y1随x条件2：当1≤x≤5时，t≤y条件3：当−3≤x≤−1时，y2的最大值为2t．求t【答案】(1)①k=2，b=1；②1≤y≤17；(2)t=4．【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．（1）①根据k=2b，则y=2bx+b，把3,7代入直线y=2bx+b，从而求解；②由y=2x+1得当x=0，y=1；当x=8，y=17，然后通过一次函数的性质即可求解；（2）由题意得m>0，当x=1，y1=t；当x=5，y1=t+8；可得：m=2，所以y2=−2x+n，y2随x的增大而减小，所以x=−3，y【规范解答】（1）解：①若k=2b，则y=2bx+b，把3,7代入直线y=2bx+b，可得7=7b，所以b=1，所以k=2，②由y=2x+1得，当x=0，y=1；当x=8，y=17；因为k=2，y随x的增大而增大，所以1≤y≤17；（2）解：由题意得：m>0，当x=1，y1=t；当x=5，y1所以y2=−2x+n，y2所以x=−3，y2可得：t=2+n，2t=6+n，所以t=4．【变式】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知y−2与x+1成正比例，且当x=1时，y=−4．(1)求y关于x的函数表达式；(2)已知点Pm,n在该函数的图象上，且m>n，求m(3)当m≤x≤m+2时，y的最小值为5，求m的值．【答案】(1)y=−3x−1(2)m>−(3)m=−4【思路引导】本题考查正比例函数的概念，一次函数的图象与性质，掌握好一次函数的性质是解题关键．（1）根据正比例函数的定义，使用待定系数法解题；（2）将点坐标代入（1）中的解析式，求出m与n关系后，代入不等式，得到m的取值范围；（3）利用一次函数的增减性可知，当x=m+2时，y取最小值，代入解析式求出m即可．【规范解答】（1）解：设y−2=kx+1将x=1，y=−4代入解析式，得：−4−2=2k，解得，k=−3，∴y−2=−3x+1，即y=−3x−1（2）解：将x=m，y=n代入解析式，得：n=−3m−1，∵m>n，∴m>−3m−1，解得，m>−1（3）解：∵k=−3<0，∴y随x的增大而减小，∵m≤x≤m+2，∴当x=m+2时，y取最小值5，∴5=−3m+2−1，解得，题型讲练十二比较一次函数