平面向量方法总结(带例题)【大全】

平面向■

应试技巧总结

一、向量有关概念：

1、向量得概念:既有大小又有方向得量，注意向量和数量得区别。向量常用有向线段来表示，注

意不能说向量就就就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

已知A（1,2）,B（4,2）,则把向量园按向量m=（-1,3）平移后得到得向量就就是______（答：（3,0））

2、零向量:长度为0得向量叫零向量,记作：目,注意零向量得方向就就是任意得；

3、单位向量:长度为一个单位长度得向量叫做单位向量（与国共线得单位向量就就是［四）；

|I利

4、相等向量：长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5、平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量口同叫做平行向量，记作:©//1,规

定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定就就是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行就就是不同得两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，

但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有圆;

④三阂A、B、C|共线回返旦回共线;

6、相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量。目得相反向量就就是一团o如

下列命题:(1)若2=8,则|2=儿(2)两个向量相等得充要条件就就是她们得起点相同，终

点相同。(3)若|A»=QC",则|A5CD|就就是平行四边形。(4)若|人瓦冽就就是平行四边形，则

AI3=DC\O(5)若|a=£/；=N，则卜=8。(6)若逊酝],则函目。其中正确得就就是_______

(答：⑷(5))

二、向量得表示方法：

1、几何表示法：用带箭头得有向线段表示,如国，注意起点在前，终点在后；

2、苻号表示法:用一个小写得英文字母来表示,如同同R)等；

3、坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与国轴、国轴方向相同得两个单位向量团国为基

底，则平面内得任一向量同可表示为a=xi+)»=(x,y)],称叵司为向量同得坐标同=卜,刈

叫做向量图得坐标表示。如果向量得起点在原点，那么向量得坐标与向量得终点坐标相同。

三、平面向量得基本定理:如果6和6就就是同一平面内得两个不共线向量挪么对该平面内得

任一向量a有且只有一对实教区|、邑使。二团e1+囚©2。如

(1)若3=(1,1)[=(1,-1)1=(-1,2),则还

(答申-孤;

⑵下列向量级中，能作为平面内所有向量基底得就就是

A、冢=(0,0),4=(1,-2)B、冢=(-12),可=(5,7)

一一13

et=(3,5),e2=(6,10)D、q=(2,-3)怎=(-»--)

(答:B);

(3)已知港园分别就就是画画得边上得中线,且4方=工3左耳,则函可用向量

|),如表示为

/廿2-4r

33

(4)已知|AA"d中，点©在府边上，且归』:2而忻6=/」+$就则［7而得值就就是

(答：0)

四、实数与向量得积:实数回与向量回得积就就是一个向量，记作曲］,她得长度和方向规定如下:

(1)Xa=|2|a,(2)当团＞()时囱［得方向与同得方向相同，当团＜0时团M得方向与同得方

向相反，当团=0时，＞4=。,注意：|以彳|壬0。

五、平面向量得数量积：

1、两个向量得夹角:对于非零向量回同作|。4=〃,而=3,%。?二。

(0W"4)称为向量同，应得夹角，当回=0时词同同向，当囹二团时局＞同反向，当回■时局周

垂直。

2、平面向量得数量积:如果两个非零向嗣，同她们得夹南为回，我们把数可12II31cos0

叫做团与向得数量积(或内积或点积)，记作：同期，即庄H］二晅司cos。。规定:零向量与任一

向量得数量积就就是0,注意数量乐就就是一个实数，不再就就是一个向量，如

(1)△ABC中Jl481=3,1AC|=4,|8C|=5,则|48BC二

(答：—9);

(2)已次0a=(\,-),b=(O.--\c=a+kb,d-a-h则同等于.

22

（答：1）；

(3)已知3=24=5,&方=-3,则a+b等于__

（答：回;

（4）已知就就是两个非零向量，且a=b=a-b，则〃与〃+/?得夹角为

（答亟

4、H目司得几何意义：数量积d圃等于同得模同与向在同上得投影得积。

5、向量数量积得性质:设两个非零向量同同,其夹角为叵］,则：

②当！1MI同向时,特别地,2~=«•«=/「，口卜正；当团与同反向时,团纲二-

丽卜同为锐角时困田,0,能D不同向辰豆司就就是同为锐角得必要非充分条件;当回

为钝角时国Qvo,且亚不反向，/<o|就就是［目为钝角得必要非充分条件;

a・b

③非零向弱团夹角网得计算公式:cos6二广而；④|2•〃凶〃而|。如

M\b\

D与H

⑴已知(424),6=(32,2),如果得夹角为锐角网团得取值范围就就是

(答：4<一或

(2)已知国图得面积为因，且0尸"0=1,若

围就就是

(答:回

(3)已知&=(cosjsinx)J；=(cosy,siny),同与同之间有关系式帧+.=石,-研,其中女>0,①

用国表示互;②求国得最小值，并求此时团与因得夹角回得大，卜

(答:①£•b=*(k>0);②最小值为目忖=601)

六、向量得运算:

I、几何运算:

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线得向

量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”:设|，月=2加可，那么向量祠叫做同与同得

和，即a+各=AB+BC=AC；

②向量得减法:用"三角形法则”：设AB=a,4C=Z?，那么=A8-AC=C4,由减向量得

终点指向被减向量得终点。注意:此处减向量与被减向量得起点相同。如

(1)化简：C1)|AB+BC+CD=;②；|福-Al-£)1=^)(Ali-CD)-(AC-Bb)=

(答:d^l；②国;③瓜

(2)若正方形须西得边长为1,A-=Z,Z^=反力1="，则|£+/；+2|=

(答:还)；

(3)若O就就是R区画所在平面内一点，且满足0月一。3=0月+。C一2明，则立画得形

状为^______

(答:直角三角形i；

(4)若©为国巨得边国得中点，国可所在平面内有一点回，满足I丽+8户+园同,设

,则因得值为

(答：2);

(5)若点⑸就就足I少及"得外心，且I(乂+。方+C6—3,则I△A^C"得内角回为

(答叵)；

2、坐标运算:设Z=a，y)[=(孙北)，则:

①向量得加减法运算：Z±B=(芭±々，凹±y2)。如

(1)已知闵42,3)1(5,43。(7[0)|,若Q=而+%阳2eR),则当因二时，点P在第一、三象

限得角平分线上

(答:卧

(2)已知4(2,3),8(1,4),且/人后=(sinx,cosy),x,,则|x+y=

(答即图;

(3)已知作用在阖A(l,l)牌三个力忻=(3,4),耳=(2,-5)，6=(3,叽则合力了=耳十力十用得终

点坐标就就是

(答：(9,1))

②实数与向量得积：痛=冏％,y)=(相,zly)o

③若4芭，y).832,%)，则通=(9-即一个向量得坐标等于表示这个向量得有

向线段得终点坐标减去起点坐标.如

设|42,3),8(-1,5)|，且而=：而JA/5=3A或则C、D得坐标分别就就是________

(答：(芍,(-7,9))；

④平面向量数量积：a^b=xix2+y]y20如

已知向量©=(sinx,cosx),另二(sinx,sinx),目=(—1,0)<.⑴若x=用，求向量团、回得

夹崖；(2)若x€[-\与,函数|/。)=焉可得最大值为目求因得值

(答:⑴150;⑵g或｛还三

⑤向量得模IlZlTd+yV'WF4+H。如

已知国均为单位向量，她们得夹角为画］，那么帕+3加=

(答:扃)

⑥两点间得距离:若囿不))8伍,8)|，则

I1=7(%2-^1)2+(>2-)，1)2°如

如图，在平面斜坐标系观］中J/xO)，=60°|,平面上任一点P关于斜坐标系得斜坐标就就是这

样定义得闺加=痣+)司,其中分别为与x轴、y轴同方向得单位向量，则P点斜坐标为

|U,v)|o⑴若点P得斜坐标为(2,—2),求P到O得距离|PO|;(2)求以。为圆心，1为半径得圆

在有坐标系曰可中得方程。

(答：。)2;(2)/+/+人，-1=0);

七、向量得运算律:

交换律:(〃〃

1、a+BB,2(=4)a]“=/?•”;

2、结合律:a+b+c=(4+〃)+c,a-〃-c=a-(b+c)4・石)=4.(4)

3、分配律：(4+〃)a=2a+〃a,4(°+/，=/〃+45,(a+%)♦c=a・<?+〃•<?

如

下列命题中：①〃•(/?c)=ab-c|;②a-(/?•c)=(a-Z?)•c；③(a-1)[二|a.

-2面.向+向四若ab=cb,则7i=2；@丁=£一；⑦

⑧(IB)、了方；⑨(£一/=-2^ib+bo其中正确得就就是

(答：①⑥⑨)

提醒：(1)向量运算和实数运算有类似得地方也有区别：时于一个向量等式，可以移项，两

边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一人向量，但不能两边同除以一个向

量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约);(2)向量得“乘法”不满足结合律，即

a(b•c)H(a•b)c,为什么？

2

八、向量平行(共线J得充要条件：|a〃Ho£=2bo("h)=(|〃||〃|尸oxty2-=0o如

(1)若向量工=(x,D,〃=(4,x),当国=时团与同共线且方向相同

(答：2);

(2)已知a=(1,1)力=(4,x),w=。+%,1=2a+b，且，〃v,则x=_

(答⑷；

(3)设西=伏,12),丽=(4,5),后=(10阳,则代______时,A,B,C共线

(答：一2或11)

九、向量垂直得充要条件：+I0内马+'以二。、特别地

(1)已知力=(-1,2),丽=(3,，??)，若|和L而则严］

(答替

⑵以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形。人81/4=。)。|,则点B得坐标就就是

(答:(1,3)或(3,-1));

⑶已知〃=(a,b),向量1L/〃:且n=m,则团得坐标就就^__________

(答:(九-幻或(Fa))

十、线段得定比分点:

1、定比分点得概念:设点P就就是直线PQP口上异于闱、也得任意一点，若存在一个实数

回，使座三迹则因叫做点P分有向线段丽所成得比,P点叫做有向线段屋)得以定比为

国得定比分点;

2、团得符号与分点P得位之间得关系：当P点在线段P[|P口上时应回,0;当P点

在线段用电得延长线上时叵囱V-1；当P点在线段咱PQ得延长线上时Q-lv/lvU];若点

P分有向线段画所成得比为国则点P如

1°

所成得比为一

(答:图

3、线段得定比分点公式：设瓯口司、叵工g]，匹M分有向线段匣所成得比为©

,特别地，当团二1时，就得到线段PQPQ得中点公„=江&。在使用定比

分点得坐标公式时，应明确叵五]叵®、|@2，%)|得意义,即分别为分点，起点，终点得坐标。在具

体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点,分点和终点，并根据这些点确定对应得定比因。如

—>1——>

⑴若M(-3,-2),N(6,-1),且MP=FMN,则点P得坐标为

O

(答卜6,一令)；

⑵已知|44。)，8(3,2+切,直线y与线段同交于而I且丽7=2而研则回等于_

(答:2或一4)

十一、平移公式：如果点|P(x,y)|按向量Z=(/M)平移至则「『KJ曲线

/*,>')=0|按向量亘竺)j平移得曲线^^，。-幻=。卜注意：⑴函数按向量平移与平常“左

加右减”有何联系？⑵向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!如

⑴按向量同把叵亘］平移到底生则按向量H］把点卜7,2个平移到点—

(答：(・8,3));

(2)函数|y=sinR得图象按向量I平移后，所得函数得解析式就就是|y=cos2x+T|,则国_

(答中

12、向量中一些常用得结论:

⑴一个封闭图形首尾连接而成得向量和为零向量，要