高考数学一轮复习 第51讲　随机事件与概率 学用

第51讲随机事件与概率知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是()A．至多一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没中靶2．(教材经典题)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是()A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥C．A与B相等 D．P(A)＝P(B)3．(教材经典题)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)＝_________，P(AB)＝__________；(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝___________，P(AB)＝__________．4．(教材经典题)从长度为1,3,5,7,9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是___________．5．(教材经典题)从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为1的概率是__________；这个数的四次方的个位数字为1的概率是___________．聚焦知识1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的_________称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的_________称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，…．③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生_________相等关系B⊇A且A⊇B_________并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生___________，___________3．古典概型(1)有限性：样本空间的样本点只有__________；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_________．4．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)＝_________．题型突破思维拓展举题说法随机事件的关系与运算视角1事件的运算例1－1(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是()A．B∪C＝D B．A∩C≠∅C．C⊆D D．B∩D＝B事件间运算的方法：(1)利用定义：列出试验所有可能出现的结果；(2)利用Venn图：借助集合间运算的思想．视角2事件的关系例1－2(多选)从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有()A．事件A和D是对立事件B．事件B和C是对立事件C．事件A和B是互斥事件D．事件C和D是互斥事件判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．变式1－2(2025·潍坊期末)从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少一个红球和都是红球B．至少一个黑球和都是红球C．至少一个黑球和至少一个红球D．恰有一个红球和恰有一个黑球视角3利用事件的互斥、对立关系求概率例1－3(多选)甲袋中有5个红球，15个白球，乙袋中有5个红球，5个白球，从两袋中各摸出一个球．下列结论正确的是()A．2个球都是红球的概率为eq\f(1,8)B．2个球不都是红球的概率为eq\f(3,8)C．至少有1个红球的概率为eq\f(5,8)D．2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(3,8)求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解更简单)．变式1－3(1)(2025·汕尾、肇庆二模)小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为eq\f(1,2)，受到妈妈表扬的概率也为eq\f(1,2)，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,4) D．1(2)高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团相互独立．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a，b，eq\f(1,4)，该同学可以进入两个社团的概率为eq\f(1,5)，且三个社团都进不了的概率为eq\f(3,10)，则ab＝()A．eq\f(3,20) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,5)古典概型例2(1)(2023·全国乙卷文)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)(2)(2025·武汉二模)一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同．现从袋中一次性随机抽取3个球，则这3个球的颜色各不相同的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,10)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,5)求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)以及排列、组合法．变式2(1)(2025·郑州二检)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为()A．eq\f(2,13) B．eq\f(2,11)C．eq\f(1,13) D．eq\f(1,11)(2)(2025·广州二模)一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1,2,3,4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为__________．随堂内化1．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P(eq\x\to(A))＝()A．0.5 B．0.1C．0.7 D．0.82．口袋中装有编号为1,2的两个红球和编号为1,2,3,4,5的五个黑球，小球除颜色、编号外，形状、大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为1”，事件B为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是()A．A与B互斥 B．A与B对立C．P(A＋B)＝eq\f(6,7) D．P(AB)＝eq\f(6,7)3．(2025·安阳三模)某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)4．(2025·茂名一模)在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,28) D．eq\f(7,24)配套精练一、单项选择题1．(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)2．(2025·佛山二模)学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)3．(2025·辽宁省二调)设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是(保留两位有效数字)()A．0.50 B．0.55C．0.70 D．0.854．(2025·石家庄三模)已知随机事件A，B，eq\x\to(B)表示事件B的对立事件，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则下面结论正确的是()A．事件A与B一定是对立事件B．P(A∪B)＝1C．P(AB)＝0.24D．若事件A，B相互独立，则P(Aeq\x\to(B))＝0.16二、多项选择题5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”．下列说法正确的是()A．E与G是互斥事件B．F与I是互斥事件，且是对立事件C．F与G不是互斥事件D．G与I是互斥事件6．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率，则下述结论正确的是()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55三、填空题7．(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为_________．8．(2025·保定期末)随机数选择器每次只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中选一个数，且以相等的概率做选择，那么在2次选择后，选出的2个数的乘积能被10整除的概率为__________．9．(2025·威海期末)已知甲、乙两人投篮命中率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，并且他们投篮互不影响，现每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为__________．10．(2026·苏州期初)在1,2,3，…，9中随机选出一个数a，在－1，－2，－3，…，－9中随机选出一个数b，则a2＋b被3整除的概率为_________．四、解答题11．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值)；(2)若采用分层随机抽样的方法从样本在[60,80)，[80,100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．12．(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中