高中数学导学案 第五节　空间向量的概念及运算

第五节空间向量的概念及运算新课标要求真题分布1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．借助特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间的两点间的距离公式．2．经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．3．掌握空间向量基本定义及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．一般不单独考查必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有________和________的量相等向量方向________且模________的向量相反向量长度________而方向________的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或________的向量共面向量平行于________的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在________的有序实数对(x，y)，使p＝________．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝______________．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)________________模|a|________________夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)【常用结论】1．空间向量基本定理(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．2．证明空间任意三点共线的方法对空间任意三点，P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(1)PA＝λPB(λ∈R)(2)对空间任一点O，OP＝OA+tAB(t∈R)．(3)对空间任一点O，OP＝xOA+yOB(x＋y＝1)．3．证明空间任意四点共面的方法对空间任意四点P，M，A，B除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP＝xMA+yMB(x，y∈R(2)对空间任一点O，OP＝OM+xMA+yMB(x，y∈R)．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)对于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.()(3)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA＝0.()2．(人教A版选修一P10T5)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A.－12a+12bB．－12a-12bC.12a-12D．12a+12b3．(人教A版选修一P15习题T2)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()A．b＋c，b，b－cB．a，a＋b，a－bC．a＋b，a－b，cD．a＋b，a＋b＋c，c4．(人教A版选修一P22练习T2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则BM＝(A．12a-12b＋cB．12a+C．－12a-12b＋cD．－12a+1[听课笔记]学霸笔记：用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．跟踪训练(衔接·人教A版选修一P15T4)如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点．设AA'＝a，AB＝b，AC＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用基底{a，b，c}表示向量AM，AN命题点二共线、共面向量定理的应用例2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝13OA+OB+OC(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．[听课笔记]学霸笔记：跟踪训练(衔接·人教A版选修一P6T5)如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心．求下列各式中x，y的值．(1)AC'＝x(AB+BC+(2)AE＝AA'+xAB+y(3)AF＝AD+xAB+y命题点三空间向量的数量积及其应用例1如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中所在棱的中点，设ABa，AC＝b，AD＝c.(1)用a，b，c表示EF，并求EF的长；(2)求EF与GH夹角的大小．[听课笔记]学霸笔记：(1)求夹角：设向量a，b夹角为θ，则cosθ＝a·b|(2)求长度(距离)：利用公式|a|2＝a·(3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠O，b≠O)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．跟踪训练(衔接·人教A版选修一P10习题T7)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a.(1)求A′B和B′C的夹角；(2)求证：A′B⊥AC′.提示：请完成课时作业43第五节空间向量的概念及运算必备知识·助学教材知识清单1．大小方向相同相等相等相反平行重合同一个平面2．(1)a＝λb(2)唯一xa＋yb(3)xa＋yb＋zc3．(1)|a||b|cos〈a，b〉(2)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a自主诊断1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，B1M＝B1B+BM＝A1A+12BD＝A1答案：A3．解析：因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以向量a，b，c不共面．对于A，因为b＝12(b＋c)＋12(b－c)，所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B，同理可得，向量a，a＋b，a－b共面；对于C，若a＋b，a－b，c共面，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，则a，b，c共面，与向量a，b，c不共面矛盾，所以a＋b，a－b，c不共面；对于D，因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c答案：C4．解析：由题意a⊥b，得a·b＝2×(－4)＋2×(－1)＋3x＝－8－2＋3x＝3x－10＝0，解得x＝103答案：10考教衔接·活用教材例1解析：因为M为A1C1与B1D1的交点，所以BM＝BB1+B1M答案：D跟踪训练解析：如图，AM＝b＋1＝b＋12[AC＝b＋12c＝b＋a＋12AC-AB＝b＋a＋12＝b＋a＋12例2解析：(1)共面，理由如下：∵OM＝∴3OM＝OA+OB+OC，∴∴MA＝BM+CM(2)由(1)可知MA，MB，∴四点M，A，B，C共面，∴点M在平面ABC内．跟踪训练解析：(1)∵AC'＝AC+CC(2)AE＝AA'+A'E(3)AF＝AD+DF＝AD+1例3解析：(1)因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且AB＝a，可得EF＝12AB＝－12因为正四面体ABCD的棱长为1，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝a·c＝b·c＝12可得EF2＝-1