高中数学导学案 第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征

第五节离散型随机变量及其分布列、数字特征新课标要求真题分布通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)．2025年全国Ⅰ卷T142024年新高考Ⅰ卷T14，新高考Ⅱ卷T182023年新高考Ⅰ卷T21必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.离散型随机变量及其分布列(1)离散型随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以________的随机变量称为离散型随机变量．(2)离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列常用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)离散型随机变量的分布列的性质(1)pi________0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝________．2．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值称E(X)＝________________＝________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________________为随机变量X的方差，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)(3)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝________________．(a，b为常数)②D(aX＋b)＝________________．(a，b为常数)【常用结论】1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)测量全校所有同学的身高，在170cm～175cm之间的人数是离散型随机变量．()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)离散型随机变量分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．()2．(人教A版选修三P61T2改编)某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为X0123P0.20.3a0.45则a＝________．3．(衔接·人教A版选修三P66T1)已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1则E(X)＝________．4．(衔接·人教A版选修三P70T1)已知随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.40.1则D(X)＝________，σ(2X＋7)＝________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一分布列的性质例1(1)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝mi+1(i＝0，1，2)，则m＝(A．311B．C．511D．(2)某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为X678910P0.060.14m2m0.2则P(X≥9)＝()A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[听课笔记]学霸笔记：(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修三P91T4)已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.361－2qq2则常数q＝()A．0.2B．0.4C．0.8D．1.8(2)(衔接·人教A版选修三P61T4)某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀，则他一次射击成绩为优秀的概率为________．命题点二离散型随机变量的数字特征考向1均值与方差的性质例2(多选)设离散型随机变量X的分布列为X12345P0.1q0.40.20.1若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有()A．E(Y)＝5 B．E(X)＝3C．D(Y)＝4.8 D．D(X)＝2.4[听课笔记]学霸笔记：若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)或D(Y)．跟踪训练已知随机变量X的分布列如下表，且Y＝aX＋3.若E(Y)＝－2，则a＝()A．－3 B．－2C．53 D．考向2求离散型随机变量的期望与方差例3(链接·2025年全国Ⅰ卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则数学期望E(X)＝________．[听课笔记]真题探源(源自人教A版选修三P71T1)某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润－300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1，则每部手机获利的方差为________．学霸笔记：求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．命题点三期望与方差在决策中的应用例4某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为35和25；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13，115.设按“项目一”和“项目二(1)试分别写出随机变量ξ1和ξ2的分布列；(2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由．[听课笔记]学霸笔记：在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差．跟踪训练(衔接·人教A版选修三P71T6)有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？提示：请完成课时作业65第五节离散型随机变量及其分布列、数字特征必备知识·助学教材知识清单1．(1)一一列举(3)①≥②12．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(2)(3)①aE(X)＋b②a2D(X)自主诊断1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：由分布列的性质可知0.2＋0.3＋a＋0.45＝1，解得a＝0.05．答案：0.053．解析：E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8.答案：2.84．解析：易知E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，所以E(X2)＝12×0.2＋22×0.3＋32×0.4＋42×0.1＝6.6，则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝6.6－2.42＝0.84，所以D(2X＋7)＝22D(X)＝4D(X)＝3.36，故σ(2X＋7)＝D2X+7＝3.36答案：0.843.36考教衔接·活用教材例1解析：(1)由随机变量X的分布列为P(X＝i)＝mi+1(i＝0，1，2)，可得P(X＝0)＝m，P(X＝1)＝m2，P(X＝2)＝m3，根据分布列的性质，可得m＋m2+m3＝1，解得(2)由分布列可得0.06＋0.14＋m＋2m＋0.20＝1，解得m＝0.2，则P(X≥9)＝0.4＋0.2＝0.6.故选C.答案：(1)D(2)C跟踪训练解析：(1)∵P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，∴0.36＋1－2q＋q2＝1，解得q＝0.2或q＝1.8.当q＝1.8时，1－2q＝－2.6<0，不符合题意，舍去，∴q＝0.2.(2)由题知，成绩为优秀的概率是P＝P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.35＋0.20＝0.55.∴他射击一次成绩为优秀的概率是0.55.答案：(1)A(2)0.55例2解析：由题意有0.1＋q＋0.4＋0.2＋0.1＝1，得q＝0.2，所以E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2，E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×3＋1＝7，D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×1.2＝4.8.故选BC.答案：BC跟踪训练解析：由E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53，因为Y＝aX＋3，则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝53a＋3＝－2，解得a答案：A例3解析：依题意，X的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为53＝125，其中X＝1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P(X＝1)＝5125＝125，X＝2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X＝2的可能情况有5×4×3＝60种，故P(X＝2)＝60125＝1225，X＝3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X＝3的可能情况有5×4×3＝60种，故P(X＝3)＝60125＝1225，所以E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×5125＋2×12答案：61真题探源解析：设每部手机售价利润为X，则随机变量X的分布列为X1000－300P0.60.30.1E(X)＝100×0.6＋0×0.3＋(－300)×0.1＝30，D(X)＝(100－30)2×0.6＋(0－30)2×0.3＋(－300－30)2×0.1＝14100.答案：14100例4解析：(1)由题意随机变量ξ1和ξ2的分布列为ξ1400－100P32ξ2500－3000P311(2)Eξ1＝400×35＋(－100)×25＝200(万元)，Eξ2＝500×35＋(－300)×13＋0×115又Dξ1＝(400－200)2×35＋(－100－200)2×25＝Dξ2＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115由Eξ1＝Eξ2，Dξ1<Dξ2说明项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一的获利更稳定．综上所述，该投资公司投资项目一更合理．跟踪训练解析：假如先猜