人教版数学八年级下册 第一次数学月考自测卷 试卷 含答案

2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）测试范围：八年级下第十九章-第二十章（人教版新版）第Ⅰ卷一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若式子x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（

）A．x>1 B．x≥1 C．x>−1 D．x≥−12．下列二次根式中是最简二次根式的是（

）A．3 B．23 C．9 D．3．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．1,1,2 C．6，7，10 D．4．下列各组根式是同类二次根式的是（

）A．3和18 B．8和1C．a2b和ab2 5．下列计算正确的是（

）A．(−3)2=−3 C．2+3=6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，144，则AB的长度为（

A．13 B．169 C．119 D．1197．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是10cm，内壁高24cm，若箭长36cmA．8cm B．8.5cm C．9cm8．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cmA．166cm2 B．8cm2 9．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m），踏板离地的垂直高度CF=2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索A．3.2m B．3.4m C．3.6m10．一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（

）cm．A．13 B．15 C．261 第Ⅱ卷二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．计算：52=12．计算：2×613．如图，直线AB∥CD，且HG=15cm，GI=20cm，HI=25cm，则直线AB与直线14．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路AC，CB行走，直接践踏草坪沿AB行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为12m，B，C两处的距离为5m，则践踏草坪少走的距离仅仅为15．小明做数学题时，发现1−12=12;2−216．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9，则AF=________．三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）计算：(1)12+27−3；18．（10分）计算：已知x=3+1，(1)x2(2)y+xy−x19．（10分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，AD=5，BD=9，CD=12，AC=13．(1)求证：CD⊥AB；(2)求BC的长．20．（10分）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离BC=5cm，物体C到定滑轮A的垂直距离AC=12(1)求绳子的总长度；(2)如图2，若物体C升高2cm至C1处，求滑块B向左滑动至21．（10分）若两个含有二次根式的代数式M，N满足M·N=t，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．(1)若M与3是互为“6相关代数式”，则M=；(2)若其中M=a−5（a是有理数），N=8+25，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和22．（10分）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它可以验证勾股定理a2+b2=c2；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理a2（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（

）；A．函数思想

B．整体思想

C．分类讨论思想

D．数形结合思想【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，现测得CA=1千米，AB=2.1千米，BC=1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH的长．23．（12分）如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入．(1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离．(2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．

2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）测试范围：八年级下第十九章-第二十章（人教版新版）第Ⅰ卷一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若式子x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（

）A．x>1 B．x≥1 C．x>−1 D．x≥−1【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，列不等式求解，即可解题．【详解】解：∵二次根式x−1在实数范围内有意义，∴被开方数满足x−1≥0，解不等式得x≥1．2．下列二次根式中是最简二次根式的是（

）A．3 B．23 C．9 D．【答案】A【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可．【详解】解：A、3是最简二次根式；B、23C、9的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式；D、12=故选A．3．以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．1,1,2 C．6，7，10 D．【答案】B【分析】先求出每个选项中两个较小数的平方和，再求出最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．【详解】解：选项A：最长边为3，∵12+22=5选项B：最长边为2，∵12+12=2选项C：最长边为10，∵62+72=85选项D：三边长为32=9，42=16，4．下列各组根式是同类二次根式的是（

）A．3和18 B．8和1C．a2b和ab2 【答案】B【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断．【详解】A、18=32，故3和B、8=22，12=2C、a2b=ab，aD、a+1和a−1不是同类根式，该选项不符合题意；故选：B．5．下列计算正确的是（

）A．(−3)2=−3 C．2+3=【答案】D【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项．【详解】解：∵−32∵23∵2与3是不同的最简二次根式，不能合并为5，∴C选项错误．∵3×6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，144，则AB的长度为（

A．13 B．169 C．119 D．119【答案】A【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在【详解】解：∵在Rt△ABC由勾股定理得：AC2+BC2∴AB∴AB=169故选：A．7．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是10cm，内壁高24cm，若箭长36cmA．8cm B．8.5cm C．9cm【答案】D【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键．【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为36−24=12cm最小长度为36−10故箭在投壶外面部分的长度可能是11cm故选：D．8．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cmA．166cm2 B．8cm2 【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积．【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为16cm2和∴两个小正方形的边长分别为4cm和2∴大正方形的边长是4+26∴大正方形的面积是4+26∴余下的面积是40+166故选：A．9．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m），踏板离地的垂直高度CF=2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索A．3.2m B．3.4m C．3.6m【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理；设绳索AC的长是xm，则AB=AC=xm，故AD=AB−BD，在【详解】解：设绳索AC的长是xm，则AB=AC=x∵BE=0.8m，CF=DE=2.6∴BD=DE−BE=2.6−0.8=1.8m∴AD=AB−BD=x−1.8在Rt△ADC中，CD=3根据勾股定理，得AD∴x−1.82解得，x=3.4，∴绳索AC的长是3.4m故选：B．10．一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（

）cm．A．13 B．15 C．261 【答案】A【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果．【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得BC=12cm，AC=10÷2=5在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=即小虫爬的最短路径长为13cm第Ⅱ卷二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．计算：52=【答案】5【分析】根据a2【详解】解：5212．计算：2×6【答案】5【详解】解：2===2=5313．如图，直线AB∥CD，且HG=15cm，GI=20cm，HI=25cm，则直线AB与直线【答案】12【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．设直线AB与直线CD之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到△HGI是Rt△，由题意得，S【详解】解：设直线AB与直线CD之间的距离是h，∵HG=15cm，GI=20cm，∴HG∴△HGI是Rt△∴S△HGI∴h=HG×GI∴直线AB与直线CD之间的距离是12cm故答案为：12．14．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路AC，CB行走，直接践踏草坪沿AB行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为12m，B，C两处的距离为5m，则践踏草坪少走的距离仅仅为【答案】4【分析】由勾股定理得，AB=AC2【详解】解：∵AC=12，BC=5，∴由勾股定理得，AB=A∴AC+BC−AB=12+5−13=4．∴践踏草坪少走的距离为4m故答案为：4．15．小明做数学题时，发现1−12=12;2−2【答案】−57【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有n−nn2+1=nnn【详解】解：由规律可得：n−n当n=8时，式子为8−8∵a−8∴a=8，b=8∴a−b=8−65=−57，故答案为：−57．16．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9，则AF=________．【答案】3【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解EF=DE=DG=CD2−CG【详解】解：∵正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9，∴AD2=CD2=45，CG∵四边形DEFG为正方形，∴EF=DE=DG=CD2∵∠CGD=∠E=90°，∴△ADE≌△CDGHL∴AE=CG=3，∴AF=EF−AE=6−3=3．故答案为：3．三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）计算：(1)12+27−3；【答案】(1)4(2)6【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确运用计算法则是正确解决本题的关键．（1）先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先算乘法，再算加减．【详解】（1）解：原式=2=43（2）解：原式=4=6318．（10分）计算：已知x=3+1，(1)x2(2)y+xy−x【答案】(1)10(2)−4【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意可得x+y=23，xy=2，再将所求式子变形为x+y（2）由题意可得x+y=23，y−x=−2【详解】（1）解：∵x=3+1，∴x+y=3+1+∴x2（2）解：∵x=3+1，∴y−x=3−1−3∴y+xy−x19．（10分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，AD=5，BD=9，CD=12，AC=13．(1)求证：CD⊥AB；(2)求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=15【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a（1）根据勾股定理逆定理证明△ACD为直角三角形，即可得出CD⊥AB；（2）根据勾股定理求出BC=B【详解】（1）证明：∵AD=5,CD=12,AC=13，∴AD∴△ACD为直角三角形，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵CD⊥AB,BD=9,CD=12，∴BC=B20．（10分）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离BC=5cm，物体C到定滑轮A的垂直距离AC=12(1)求绳子的总长度；(2)如图2，若物体C升高2cm至C1处，求滑块B向左滑动至【答案】(1)25(2)4【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）在Rt△ACB（2）由（1）得绳子的总长度为25cm，得到AB1=15cm【详解】（1）解：由题意得，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，A∴AB=A∴AB+AC=13+12=25cm答：绳子的总长度为25cm（2）解：由题意得，CC∴AC由（1）得，绳子的总长度为25cm∴AB在Rt△ACB1∴B∴BB答：滑块B向左滑动的距离为4cm21．（10分）若两个含有二次根式的代数式M，N满足M·N=t，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．(1)若M与3是互为“6相关代数式”，则M=；(2)若其中M=a−5（a是有理数），N=8+25，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和【答案】(1)2(2)a=4【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键．（1）由题意知3M=6（2）由题意知M⋅N=a−【详解】（1）解：∵M与3是互为“6相关代数式”，∵3∴M=6（2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”，∴M⋅N=a−整理得，2a−85∵t是有理数，∴2a−8=0，8a−10=t，解得a=4，22．（10分）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它可以验证勾股定理a2+b2=c2；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理a2（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（

）；A．函数思想

B．整体思想

C．分类讨论思想

D．数形结合思想【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，现测得CA=1千米，AB=2.1千米，BC=1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH的长．【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用．（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；（3）当CH⊥AB时，CH最小，能最大限度节省铺路的费用．设AH=x千米，则BH=AB−AH=2.1−x（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明：∵S大正方形∴c2∴c2根据“总统证法”进行证明：∵S梯形∴12∴a2∴a2（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合