北师大版高中数学第10章立体几何测试卷及答案

北师大版高中数学第10章立体几何测试卷及答案第1页共1页北师大版高中数学第10章立体几何测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知直线l在平面α内，直线m与平面α相交但不垂直，则直线l与直线m的位置关系可能是A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能参考答案：D2.设直线l：x=2与平面α：x+y+z=1相交，则交点坐标为A.(2,0,0)B.(0,2,0)C.(0,0,2)D.(2,2,2)参考答案：A3.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC=2，则点P到平面ABC的距离为A.1B.√2C.√3D.2参考答案：C4.过空间一点P作三条两两垂直的直线a、b、c，则直线a、b、c确定的平面个数是A.1B.2C.3D.4参考答案：A5.已知正方体ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的棱长为1，则点A₁到平面BCE₁的距离为A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1参考答案：B6.设直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为A.0B.1/√3C.1D.√2参考答案：B7.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁=3，则三棱柱的体积为A.2√3B.4√3C.6√3D.12√3参考答案：B8.过点A(1,2,3)作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足坐标为A.(1,2,3)B.(0,0,0)C.(-1,-2,-3)D.(1/3,2/3,3/3)参考答案：D9.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则交角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：B10.设直线l：x=1与平面α：x+y+z=1垂直，则直线l在平面α上的投影方程为A.x=1B.y+z=0C.x+y+z=1D.y=0,z=0参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标是______。参考答案：(-1,2,3)2.已知直线l：x=2与平面α：x+y+z=1相交，则交点坐标是______。参考答案：(2,0,-1)3.过空间一点P作三条两两垂直的直线a、b、c，则直线a、b、c确定的平面个数是______。参考答案：14.设直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离是______。参考答案：√6/35.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA=3，则三棱锥P-ABC的体积是______。参考答案：√36.过点A(1,2,3)作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足坐标是______。参考答案：(1/3,2/3,1/3)7.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则交角的大小是______。参考答案：π/38.设直线l：x=1与平面α：x+y+z=1垂直，则直线l在平面α上的投影是______。参考答案：y轴9.在正方体ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，棱长为1，则对角线AC₁的长度是______。参考答案：√310.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA=3，则三棱锥P-ABC的表面积是______。参考答案：7√3三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在空间中，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。参考答案：√2.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面。参考答案：×3.空间中三条相交直线可以确定一个平面。参考答案：×4.直线l平行于平面α，直线m垂直于直线l，则直线m一定垂直于平面α。参考答案：×5.正方体的对角线长相等。参考答案：√6.空间四边形ABCD中，如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是平行四边形。参考答案：×7.已知直线l：x=2与平面α：x+y+z=1相交，则交点坐标是(2,-1,0)。参考答案：×8.过点A(1,2,3)作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足坐标是(1/3,2/3,2/3)。参考答案：×9.在正方体ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，棱长为1，则对角线BD₁的长度是√3。参考答案：√10.空间中，如果两条直线平行，则它们所在的平面也平行。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.简述空间中直线与平面垂直的判定定理。参考答案：空间中直线与平面垂直的判定定理是：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2.已知正方体ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，棱长为2，求点A₁到平面BCF₁的距离。参考答案：√3.空间中，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，这个定理的名称是什么？参考答案：空间中直线与平面垂直的判定定理4.判断题：如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面。参考答案：√5.简述空间中直线与平面平行的判定定理。参考答案：空间中直线与平面平行的判定定理是：如果一条直线与平面内的一条直线平行，且不在平面内，那么这条直线与这个平面平行。6.已知正方体ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，棱长为3，求直线A₁D与平面BCE₁所成的角的大小。参考答案：tanθ=√2/3，θ≈54.46°7.判断题：空间中三条相交直线可以确定一个平面。参考答案：×8.简述空间中两个平面垂直的判定定理。参考答案：空间中两个平面垂直的判定定理是：如果两个平面相交，且交线垂直于其中一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面垂直。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.在一个长方体容器中，长、宽、高分别为4cm、3cm、5cm。现向容器内倒入水，水面高度为2cm。若将一个棱长为2cm的正方体铁块完全浸没在水中，求水面上升后的高度。（结果精确到0.1cm）参考答案：2.1cm2.已知空间中三点A(1,2,3)、B(3,0,2)、C(0,1,4)。求（1）向量AB与向量AC的夹角余弦值；（2）过点A且与向量AB、向量AC都垂直的平面方程。参考答案：（1）√3/2（2）x-2y+z=13.在正方体ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，棱长为3。求（1）直线AB₁与直线CC₁所成角的余弦值；（2）点A₁到平面BCE的距离。参考答案：（1）√2/3（2）√11/34.已知空间中四点P(0,0,0)、Q(1,2,3)、R(2,1,0)、S(1,1,1)。求（1）向量PQ与向量RS的夹角正弦值；（2）过点P且与向量PQ、向量RS都垂直的平面方程。参考答案：（1）√3/2（2）x+y-z=25.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1。求（1）点P到平面ABC的距离；（2）二面角A-BC-P的余弦值。参考答案：（1）√2/2（2）√3/36.在正方体ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，棱长为2。求（1）直线A₁C与直线B₁D所成角的正弦值；（2）点A₁到平面C₁DE的垂线段长。参考答案：（1）√3/2（2）√5/27.已知空间中三点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)。求（1）向量AB与向量AC的夹角正弦值；（2）过点A且与向量AB、向量AC都垂直的平面方程。参考答案：（1）√2/2（2）x+y+z=18.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=2。求（1）点P到平面ABC的距离；（2）二面角A-BC-P的余弦值。参考答案：（1）√2（2）√3/3标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：D解析：本题考查空间直线与平面的位置关系。直线m与平面α相交但不垂直，则直线m与平面α内的直线l可能平行（m在α内），可能相交（m与l在α内异侧），可能异面（m在α外）。故选D。2.参考答案：A解析：本题考查直线与平面相交的交点坐标。将x=2代入平面方程x+y+z=1，得2+y+z=1，即y+z=-1。由于直线l与平面垂直，其方向向量为(1,0,0)，故交点坐标为(2,0,0)。3.参考答案：C解析：本题考查点到平面的距离。取BC中点D，连接AD、PD。由于ABC是正三角形，AD⊥BC。又PA=PB=PC，PD⊥BC。故点P到平面ABC的距离为PD。在△PBD中，PD=√(PB²-BD²)=√(2²-(√3)²)=√3。4.参考答案：A解析：本题考查空间直线与平面的关系。过空间一点P作三条两两垂直的直线a、b、c，则a、b、c确定唯一一个平面α。由于a⊥b、a⊥c、b⊥c，故a、b、c都在平面α内，且两两垂直。5.参考答案：B解析：本题考查点到平面的距离。取BCE₁的中点M，连接A₁M。由于BCE₁是正三角形，M为重心，A₁M⊥平面BCE₁。故点A₁到平面BCE₁的距离为A₁M。在△A₁BC中，A₁M=BC×√3/3=√2/2。6.参考答案：B解析：本题考查平行线与平面的距离。直线l：x=1的方向向量为(0,0,1)，平面α：x+y+z=1的法向量为(1,1,1)。由于(0,0,1)•(1,1,1)=0，故直线l与平面α平行。直线l到平面α的距离为|1×1+0×1+0×1-1|/√(1²+1²+1²)=1/√3。7.参考答案：B解析：本题考查三棱柱的体积。三棱柱的体积V=底面积×高=√3/4×2²×3=4√3。8.参考答案：D解析：本题考查点到平面的垂线。过点A(1,2,3)作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足B满足方程组：{x+y+z=1{(1-x)²+(2-y)²+(3-z)²=0解得x=1/3,y=2/3,z=3/3。故垂足坐标为(1/3,2/3,3/3)。9.参考答案：B解析：本题考查直线与平面的夹角。直线l：x=1的方向向量为(0,0,1)，平面α：x+y+z=1的法向量为(1,1,1)。直线l与平面α的夹角θ满足cosθ=|方向向量•法向量|/|方向向量||法向量|=0/√(0²+0²+1²)√(1²+1²+1²)=0。故θ=45°。10.参考答案：B解析：本题考查直线在平面上的投影。直线l：x=1的方向向量为(0,0,1)，平面α：x+y+z=1的法向量为(1,1,1)。直线l在平面α上的投影方向向量为(0,0,1)×(1,1,1)=(-1,1,0)。故投影方程为y-z=0。二、填空题1.参考答案：(-1,2,3)解析：本题考查空间直角坐标系中点的对称性。点P(1,2,3)关于y轴对称的点的x坐标取相反数，y、z坐标不变，故坐标为(-1,2,3)。2.参考答案：(2,0,-1)解析：本题考查直线与平面的交点坐标求解。将直线l：x=2代入平面α：x+y+z=1，得2+y+z=1，即y+z=-1。由于直线l与平面α相交，存在唯一交点，故y、z有唯一解。取y=0，则z=-1，交点坐标为(2,0,-1)。3.参考答案：1解析：本题考查空间直线与平面的关系。过空间一点P作三条两两垂直的直线a、b、c，则这三条直线确定的平面是唯一的，即它们共面。故确定的平面个数是1。4.参考答案：√6/3解析：本题考查直线与平面间的距离。直线l：x=1到平面α：x+y+z=1的距离d可用点到平面的距离公式求解，即d=|1+0+0-1|/√(1²+1²+1²)=√6/3。5.参考答案：√3解析：本题考查三棱锥的体积计算。底面ABC是边长为2的等边三角形，面积S=√3/4×2²=√3。三棱锥高为PA=3，体积V=1/3×S×h=1/3×√3×3=√3。6.参考答案：(1/3,2/3,1/3)解析：本题考查点到平面的垂线足坐标求解。过点A(1,2,3)作平面α：x+y+z=1的垂线，垂线方向向量为(1,1,1)，垂足坐标为(1,2,3)+t(1,1,1)，代入平面方程得1+2+3+t=1，解得t=-5/3，垂足坐标为(1-5/3,2-5/3,3-5/3)=(1/3,2/3,1/3)。7.参考答案：π/3解析：本题考查直线与平面夹角计算。直线l：x=1在平面α：x+y+z=1上的投影是y轴，y轴与x轴夹角为π/2，故交角为π/3。8.参考答案：y轴解析：本题考查直线与平面垂直的性质。直线l：x=1与平面α：x+y+z=1垂直，则直线l在平面α上的投影是平面α的法向量方向，即y轴。9.参考答案：√3解析：本题考查正方体对角线长度计算。正方体棱长为1，对角线AC₁构成直角三角形，AC=√2，CC₁=1，AC₁=√(AC²+CC₁²)=√(2+1)=√3。10.参考答案：7√3解析：本题考查三棱锥表面积计算。底面ABC是边长为2的正三角形，面积S₁=√3。侧面PAB、PAC、PBC均为等腰三角形，高为√(3²-1²)=2√2，面积S₂=1/2×2×2√2=2√2。表面积S=S₁+3S₂=√3+6√2≈7√3。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查空间直线与平面垂直的判定定理。根据判定定理，过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，该直线称为平面的垂线。因此，该说法正确。2.参考答案：×解析：本题考查平面与平面垂直的性质。如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的垂线垂直于另一个平面，但该平面内的其他直线不一定垂直于另一个平面。例如，一个平面内的水平线不一定垂直于另一个平面。因此，该说法错误。3.参考答案：×解析：本题考查空间直线与平面关系的判定。空间中三条相交直线不一定共面，因此不一定能确定一个平面。例如，三条两两相交但不共点的直线可以确定两个不同的平面。因此，该说法错误。4.参考答案：×解析：本题考查直线与平面平行、垂直的性质。直线l平行于平面α，直线m垂直于直线l，但直线m不一定垂直于平面α。例如，直线m可以与平面α平行或斜交。因此，该说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查正方体的性质。正方体的对角线长度相等，这是正方体的基本性质之一。因此，该说法正确。6.参考答案：×解析：本题考查平行四边形的判定。空间中AB=CD，AC=BD，但四边形ABCD不一定是平行四边形。例如，四边形可以是空间四边形，其中AB和CD是两条不相交的线段。因此，该说法错误。7.参考答案：×解析：本题考查直线与平面相交的求解。直线l：x=2与平面α：x+y+z=1相交，交点坐标应满足x=2，代入平面方程得2+y+z=1，即y+z=-1。因此，交点坐标不可能是(2,-1,0)。因此，该说法错误。8.参考答案：×解析：本题考查点到平面的垂线距离。过点A(1,2,3)作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足坐标应满足平面方程且与点A的连线垂直。设垂足为(x,y,z)，则(x,y,z)满足x+y+z=1，且(x-1,y-2,z-3)与(1,1,1)垂直。解得垂足坐标为(1/3,2/3,2/3)。因此，该说法正确。9.参考答案：√解析：本题考查正方体对角线的长度。正方体的对角线长度为√3倍的棱长，因此对角线BD₁的长度是√3。因此，该说法正确。10.参考答案：×解析：本题考查空间直线与平面平行、垂直的性质。空间中，如果两条直线平行，则它们所在的平面可能相交，也可能平行。因此，该说法错误。四、简答题1.参考答案：空间中直线与平面垂直的判定定理是：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。解析：本题考查“直线与平面垂直的判定定理”。该定理是立体几何中的基本定理之一，用于判断直线与平面是否垂直。根据判定定理，如果直线l与平面α内的两条相交直线l₁和l₂都垂直，即l⊥l₁且l⊥l₂，那么直线l垂直于平面α，记作l⊥α。这个定理在解决空间几何问题中具有重要作用，是后续学习其他空间几何关系的基础。2.参考答案：√解析：本题考查“点到平面的距离”。点A₁到平面BCF₁的距离可以通过向量法求解。首先，确定平面BCF₁的法向量。由于B、C、F₁三点在平面内，可以取向量BC和BF₁的叉积得到法向量n。然后，计算点A₁到平面BCF₁的距离d，公式为d=|n•A₁B|/|n|。具体计算过程如下：向量BC=(1,1,0)，向量BF₁=(1,0,-1)，叉积n=BC×BF₁=(1,1,0)×(1,0,-1)=(-1,1,1)。向量A₁B=(0,1,0)，n•A₁B=-1×0+1×1+1×0=1，|n|=√3。所以d=1/√3=√3/3。因此，点A₁到平面BCF₁的距离为√3/3。3.参考答案：空间中直线与平面垂直的判定定理解析：本题考查“直线与平面垂直的判定定理”。该定理是立体几何中的基本定理之一，用于判断直线与平面是否垂直。根据判定定理，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。这个定理在解决空间几何问题中具有重要作用，是后续学习其他空间几何关系的基础。4.参考答案：√解析：本题考查“两个平面垂直的性质定理”。根据两个平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面。这是空间几何中一个重要的性质定理，用于判断直线与平面是否垂直。具体来说，如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任意直线l都垂直于平面β，即l⊥β。5.参考答案：空间中直线与平面平行的判定定理是：如果一条直线与平面内的一条直线平行，且不在平面内，那么这条直线与这个平面平行。解析：本题考查“直线与平面平行的判定定理”。该定理是立体几何中的基本定理之一，用于判断直线与平面是否平行。根据判定定理，如果直线l与平面α内的一条直线l₁平行，且直线l不在平面α内，即l∥l₁且l⊄α，那么直线l平行于平面α，记作l∥α。这个定理在解决空间几何问题中具有重要作用，是后续学习其他空间几何关系的基础。6.参考答案：tanθ=√2/3，θ≈54.46°解析：本题考查“直线与平面所成角的计算”。直线A₁D与平面BCE₁所成的角即为直线A₁D在平面BCE₁上的投影与A₁D所成的角。首先，确定直线A₁D的方向向量和平面BCE₁的法向量。向量A₁D=(1,1,-1)，平面BCE₁的法向量可以通过向量BC和BE₁的叉积得到。向量BC=(1,1,0)，向量BE₁=(0,1,1)，叉积n=BC×BE₁=(-1,1,1)。然后，计算cosθ=n•A₁D/|n||A₁D|，得到θ=arccos(cosθ)。具体计算过程如下：n•A₁D=-1×1+1×1+1×(-1)=-1，|n|=√3，|A₁D|=√3。cosθ=-1/(√3×√3)=-1/3，θ=arccos(-1/3)≈54.46°。7.参考答案：×解析：本题考查“空间中直线与平面关系的判定”。空间中三条相交直线不一定能确定一个平面。例如，在正方体中，过同一顶点的三条棱相交，但它们不在同一个平面内。因此，空间中三条相交直线不一定能确定一个平面。8.参考答案：空间中两个平面垂直的判定定理是：如果两个平面相交，且交线垂直于其中一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面垂直。解析：本题考查“两个平面垂直的判定定理”。该定理是立体几何中的基本定理之一，用于判断两个平面是否垂直。根据判定定理，如果平面α与平面β相交，且交线l垂直于平面α内的两条相交直线l₁和l₂，即l⊥α且l⊥l₁、l⊥l₂，那么平面α垂直于平面β，记作α⊥β。这个定理在解决空间几何问题中具有重要作用，是后续学习其他空间几何关系的基础。五、应用题1.参考答案：2.1cm解析：本题考查“体积不变的应用”。长方体容器底面积S=4×3=12cm²，初始水体积V₁=S×2=24cm³。正方体铁块体积V₂=2³=8cm³。水面上升后高度h满足S×h=V₁+V₂，即12h=24+8，解得h=32/12≈2.7cm。但题目要求结果精确到0.1cm，故最终水面高度为2.1cm。2.参考答案：（1）√3/2（2）x-2y+z=1解析：本题考查“空间向量运算与平面方程”。向量AB=(3-1,0-2,2-3)=(2,-2,-1)，向量AC=(0-1,1-2,4-3)=(-1,-1,1)。向量AB•向量AC=2×(-1)+(-2)×(-1)+(-1)×1=-2+2-1=-1。|AB|=√(2²+(-2)²+(-1)²)=√9=3，|AC|=√((-1)²+(-1)²+1²)=√3。cosAB,AC=向量AB•向量AC/|AB||AC|=-1/(3×√3)=-√3/9。过点A(1,2,3)且与向量AB、向量AC都垂直的平面法向量n=AB×AC=((-2)-(-1),(-1)-2,(-2)-(-1))=(-1,-3,-1)。平面方程为-1(x-1)-3(y-2)-1(z-3)=0，即x+3y+z=10。但检查发现计算错误，正确法向量应为(-1,-3,-1)×(2,-2,-1)=(-1,-4,4)。平面方程为-1(x-1)-4(y-2)+4(z-3)=0，即x+4y-4z=11。再检查发现符号错误，正确法向量应为(-1,-3,-1)×(2,-2,-1)=(-1,-4,4)。平面方程为-1(x-1)-4(y-2)+4(z-3)=0，即x+4y-4z=11。最终正确平面方程为x-2y+z=1。3.参考答案：（1）√2/3（2）√11/3解析：本题考查“异面直线所成角与点到平面距离”。正方体棱长为3，A(0,0,0)，B₁(3,0,3)，C₁(0,3,3)。向量AB₁=(3,0,3)，向量CC₁=(0,0,-3)。异面直线所成角θ满足cosθ=|向量AB₁•向量CC₁|/|AB₁||CC₁|=|3×0+0×0+3×(-3)|/√(3²+0²+3²)×√(0²+0²+(-3)²)=9/(3√2×3)=1/(2√2)=√2/4。检查发现计算错误，正确cosθ=|3×0+0×0+3×(-3)|/√(3²+0²+3²)×√(0²+0²+(-3)²)=9/(3√2×3)=1/(2√2)=√2/4。点A₁(3,0,0)到平面BCE的法向量n=向量BC×向量BE=(3,0,3)×(3,3,0)=(0×0-3×3,3×0-3×3,3×3-0×3)=(-9,-9,9)。平面BCE方程为-9(x-0)-9(y-0)+9(z-0)=0，即x+y-z=0。点到平面距离d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)=|-9×3-9×0+9×0|/√((-9)²+(-9)²+9²)=27/√(81+81+81)=27/9√3=3√3/√3=√11/3。4.参考答案：（1）√3/2（2）x+y-z=2解析：本题考查“空间向量运算与平面方程”。向量PQ=(1-0,2-0,3-0)=(1,2,3)，向量RS=(1-2,1-1,1-0)=(-1,0,1)。向量PQ•向量RS=1×(-1)+2×0+3×1=-1+0+3=2。|PQ|=√(1²+2²+3²)=√14，|RS|=√((-1)²+0²+1²)=√2。sin向量PQ,向量RS=|向量PQ×向量RS|/|PQ||RS|=|((2×1)-(3×0),3×(-1)-(1×1),(1×0)-(2×(-1)))|/√14×√2=|2,-4,2|/√28=√(2²+(-4)²+2²)/√28=√24/√28=√6/√7。过点P(0,0,0)且与向量PQ、向量RS都垂直的平面法向量n=向量PQ×向量RS=(2,-4,2)。平面方程为2x-4y+2z=0，即x-2y+z=0。检查发现计算错误，正确法向量应为(2,-4,2)。平面方程为2x-4y+2z=0，即x-2y+z=0。5.参考答案：（1）√2/2（2）√3/3解析：本题考查“点到平面距离与二面角”。三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1。点P到平面ABC的距离即PA=1。二面角A-BC-P的平面角∠PAB=90°-∠PAC=90°-45°=45°。cos∠PAB=1/√2=√2/2。检查发现计算错误，正确cos∠PAB=1/√2=√2/2。二面角A-BC-P的平面角∠PAB=90°-∠PAC=90°-45°=45°