辽宁省沈阳皇姑区六校联考2027届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

辽宁省沈阳皇姑区六校联考2027届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°2．抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是()A． B． C． D．4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（）A．40° B．50° C．60° D．80°5．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC6．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A．141° B．144° C．147° D．150°7．如图反比例函数()与正比例函数()相交于两点A，B．若点A(1，2)，B坐标是（）A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)8．如图，,,,四点都在上，，则的度数为（）A． B． C． D．9．关于抛物线y＝x2﹣4x+4，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个交点C．对称轴是直线线x＝2D．当x＞2时，y随x的增大而增大10．一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．11．如图，在半径为的中，弦长，则点到的距离为（）A． B． C． D．12．抛物线y＝(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是()A．(4，﹣5)，开口向上 B．(4，﹣5)，开口向下C．(﹣4，﹣5)，开口向上 D．(﹣4，﹣5)，开口向下二、填空题（每题4分，共24分）13．点（5，﹣）关于原点对称的点的坐标为__________．14．如图，把直角三角形的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置.设，，则顶点运动到点的位置时，点经过的路线长为_________．15．为了估计一个不透明的袋子中白球的数量袋中只有白球，现将5个红球放进去这些球除颜色外均相同随机摸出一个球记下颜色后放回每次摸球前先将袋中的球摇匀，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中白球的个数大约为______．16．将二次函数y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x+m）2+k的形式是_____．17．如图，点G是△ABC的重心，过点G作GE//BC，交AC于点E，连结GC.若△ABC的面积为1，则△GEC的面积为____________.18．数据﹣3，6，0，5的极差为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，是的直径，点在上，平分，是的切线，与相交于点，与相交于点，连接．（1）求证：；（2）若，，求的长．20．（8分）已知：如图，在四边形中，，，垂足为，过点作，交的延长线于点.（1）求证：四边形是平行四边形（2）若，，求的长21．（8分）如图，已知A，B（-1,2）是一次函数与反比例函数（）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值；(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点M是边AD上一点（与点A，D不重合），射线ME与BC的延长线交于点N．（1）求证：△MDE≌△NCE；（2）过点E作EF//CB交BM于点F，当MB＝MN时，求证：AM＝EF．23．（10分）开学初，某文具店销售一款书包，每个成本是50元，销售期间发现：销售单价时100元时，每天的销售量是50个，而销售单价每降低2元，每天就可多售出10个，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？要求销售单价不低于成本，且商家尽量让利给顾客．24．（10分）同时抛掷3枚硬币做游戏，其中1元硬币1枚，5角硬币两枚．（1）求3枚硬币同时正面朝上的概率．（2）小张、小王约定：正面朝上按面值算，背面朝上按0元算．3枚落地后，若面值和为1.5元，则小张获得1分；若面值和为1元，则小王得1分．谁先得到10分，谁获胜，请问这个游戏是否公平？并说明理由．25．（12分）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长和△ABC的面积．26．为吸引市民组团去风景区旅游，观光旅行社推出了如下收费标准：某单位员工去风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用10500元，请问该单位这次共有多少员工去风景区旅游？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案．【详解】解：连接OC，∵DC是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCD=90°，∵∠D=40°，∴∠DOC=50°，∵AO=CO，∴∠A=∠ACO，∴∠A=∠DOC=25°．

故选：B．此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键．2、D【分析】根据二次函数的对称性补全图像，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】如图，∵与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0）故可补全图像如下，由图可知a＜0，c＞0，对称轴x=1,故b＞0，∴，①错误，②对称轴x=1,故x=-,∴，正确；③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点在该抛物线上，则，正确；故选D此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的对称性.3、C【解析】试题解析：C.两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.必须是夹角，但是不一定等于故选C.点睛：三角形相似的判定方法：两组角对应相等，两个三角形相似.两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.三边的比相等，两三角形相似.4、B【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【详解】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故选：B．本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.5、C【解析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°,∠E＝∠C,则△ABD为等边三角形，即AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.6、B【解析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°，(5﹣2)×180°÷5＝108°，∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°，故选B．本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2)•180(n≥3)且n为整数)．7、A【分析】先根据点A的坐标求出两个函数解析式，然后联立两个解析式即可求出答案．【详解】将A（1，2）代入反比例函数()，得a=2，∴反比例函数解析式为：，将A（1，2）代入正比例函数()，得k=2，∴正比例函数解析式为：，联立两个解析式，解得或，∴点B的坐标为（-1，-2），故选：A．本题考查了反比例函数和正比例函数，求出函数解析式是解题关键．8、C【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】由圆周角定理得,∠A=∠BOD=，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD=−∠A=，故选：C.本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.9、B【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【详解】∵y=x2﹣4x+4=(x﹣2)2，∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，当x＞2时，y随x的增大而增大，∴选项A、C、D说法正确；令y=0可得(x﹣1)2=0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B选项说法错误．故选：B．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答本题的关键，即在y=a(x﹣h)2+k中，其对称轴为x=h，顶点坐标为(h，k)．10、C【解析】A.由抛物线可知，a>0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；B.由抛物线可知，a>0，x=−>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；C.由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；D.由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项错误．故选C.11、B【分析】过点O作OC⊥AB于点C，由在半径为50cm的⊙O中，弦AB的长为50cm，可得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数，然后由三角函数的性质，求得点O到AB的距离．【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C，如图所示：

∵OA=OB=AB=50cm，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠OAB=60°，∵OC⊥AB故选：B此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数,熟练掌握垂径定理，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．12、A【解析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【详解】由y＝(x﹣4)2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标(4，﹣5)．故选：A．本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.二、填空题（每题4分，共24分）13、（-5，）【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．【详解】∵两点关于原点对称，∴横坐标为-5，纵坐标为，故点P（5，−）关于原点对称的点的坐标是：（-5，）．故答案为：（-5，）．此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．14、【分析】根据题意得到直角三角形在直线上转动两次点A分别绕点B旋转120°和绕C″旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵BC=1，，∴AB=2，∠CBA=60°，∴弧AA′=；弧A′A′′=；∴点A经过的路线的长是；故答案为：.本题考查了弧长的计算方法及勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的转动过程判断点A是以那一点为圆心转动多大的角度．15、20个【解析】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.2，口袋中有5个红球，∵假设有x个白球，∴=0.2，解得：x=20，∴口袋中有白球约有20个．故答案为20个．16、y＝（x﹣3）2﹣1【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．【详解】y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=(x﹣3)2﹣1．故答案为：y=(x﹣3)2﹣1．本题考查了二次函数的三种形式，正确配方是解答本题的关键．17、【分析】如图，延长AG交BC于D,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题即可．【详解】解：连接AG并延长交BC于点D，∴D为BC中点∴又∵∴∵G为重心∴∴∴,又∵∴.本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18、1【分析】根据极差的定义直接得出结论．【详解】∵数据﹣3，6，0，5的最大值为6，最小值为﹣3，∴数据﹣3，6，0，5的极差为6﹣（﹣3）＝1，故答案为1．此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据切线的性质得∠ABD=90°，则∠BAD+∠D=90°，然后利用等量代换证明∠BED=∠D，从而判断BD=BE；（2）利用圆周角定理得到∠AFB=90°，则根据等腰三角形的性质DF=EF=2，再证明，列比例式求出AD的长，然后计算AD-DE即可．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴．∵，∴．∵是的切线，∴，∴．又∵平分，∴，∴，∴；（2）解：∵是的直径，∴，又∵，∴．在中，根据勾股定理得，．∵，，∴，∴，即，解得，∴．本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质、切线的性质.熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．20、(1)详见解析;(2)9【分析】(1)直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；

(2)利用锐角三角函数关系得，设，，再利用勾股定理得出AE的长，进而求出答案．【详解】(1)∵，，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；(2)∵四边形是平行四边形，∴，∵，，∴,∴，设，，∵，∴，即，解得：，∴，∴．本题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系、勾股定理，正确得出是解题关键．21、（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）一次函数的解析式为y=x+；m=﹣2；（3）P点坐标是（﹣，）．【解析】试题分析：（1）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式以及m的值；（3）设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得,可得答案．试题解析：（1）由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方时，﹣4＜x＜﹣1，所以当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题22、（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由平行线的性质得出∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，可证明△MDE≌△NCE（AAS）；（2）过点M作MG⊥BN于点G，由等腰三角形的性质得出BG＝BN＝BN，由中位线定理得出EF＝BN，则可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，∵E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△MDE≌△NCE（AAS）；（2）证明：过点M作MG⊥BN于点G，∵BM＝MN，∴BG＝BN＝BN，∵矩形ABCD中，∠A＝∠ABG＝90°，又∵MG⊥BN，∴∠BGM＝90°，∴四边形ABGM为矩形，∴AM＝BG＝，∵EF//BN，E为DC的中点，∴F为BM的中点，∴EF＝BN，∴AM＝EF．本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．23、销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．【分析】根据“单件利润×销售量=总利润”可列一元二次方程求解，结合题意取舍可得【详解】解：设销售单价为x元时，每天的销售利润达到4000元，由题意得，（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝4000，解得x1＝70，x2＝90，因为晨光文具店销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客，所以x2＝90不符合题意舍去，故x＝70，答：销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意确定相等关系，并据此列出方程是解题的关键．24、（1）；（2）公平，见解析【分析】（1）用列表法或树状图法表示出所有可能出现的结果，进而求出3枚硬币