江西省九师联盟2026届高三下学期四月测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省九师联盟2026届高三下学期四月测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.2.已知复数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，则．3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，由，得，所以，解得．4.已知直线与圆相交于A，B两点，则（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以．5.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因函数在上单调递减，在上单调递增.故.设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增，由复合函数的单调性可知在上单调递增，所以，即．6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为，所以该圆锥的表面积为，设球O的半径为R，则球O的表面积为，由题意知，所以，圆锥的体积，球O的体积，所以.7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】因为为奇函数，所以，令，则，即①；因为为偶函数，所以，令，则，即，所以，所以，即②，所以，所以4是的一个周期．由①式，取，可得，即得，又由②式，取，可得故，，由②式，取，可得，取，可得，故，则.8.在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（）A.21 B.22 C.23 D.24【答案】B【解析】由，得，又，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，又，所以，所以当时，，又，也符合上式，故，则，所以，由，得，所以，解得，所以正整数n的最大值为22．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据4，4，5，5，6，m，7，8，10，14的60%分位数为7，则（）A.B.该组数据的极差为10C.剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数不变D.剔除该组数据中的m后，剩余数据的方差变小【答案】BC【解析】因为，所以该组数据的60%分位数为将其按从小到大的顺序排列后第6个数和第7个数的平均数，当时，其60%分位数为，不合题意；当时，其60%分位数为，解得，不合题意；当时，其60%分位数为7，符合题意；当时，其60%分位数为，得，不合题意；当时，其60%分位数为，不合题意，故，A错误；该组数据的极差为10，B正确；该组数据的平均数为，所以剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数不变，C正确；该组数据的方差为，剔除该组数据中的m后的方差为，所以剔除该组数据中的m后，剩下数据的方差变大，D错误．10.已知函数与的图象关于原点对称，则（）A.函数的最大值为B.函数的图象关于点对称C.将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象D.，存在唯一的，使得【答案】ABD【解析】设为函数图象上任意一点，则.因为点P关于原点的对称点在的图象上，.即.所以，，所以.其最大值为，A正确；在中，令，，得，，令，得，所以的图象关于点对称，B正确；将的图象向左平移个单位长度可得，C错误；当时，，所以在上的值域为，当时，.所以函数在单调递增，且值域为，又.所以，存在唯一的使得，D正确．11.在平面直角坐标系xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点，C经过点，其一条渐近线经过点，第一象限内的点P在C上，则（）A.C的方程为B.点P到C的两渐近线的距离之积为C.D.若Q为的内心，则定值【答案】BCD【解析】由题意知双曲线C的一条渐近线方程为，由题意得，解得，，则双曲线C的方程为，A错误；设，则，即，所以点P到C的两渐近线的距离之积为，B正确；当时，，，所以，又，所以，当时，，易知，，所以，所以，C正确；设，因为，，则，，，，因为Q为的内心，所以与共线，且，所以，即①，同理与共线，，所以，即②，由①②，得，，所以，所以点Q在C的右支上，根据双曲线的定义知，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则的公比________．【答案】【解析】等比数列中，，又，所以，而，则，，由，得，而，所以．13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点（在第一象限），若的面积为，则________．【答案】【解析】由题意，，设，，且点在第一象限.由的面积为，得，所以，所以.所以，则直线的方程为，代入.整理得，解得，.所以，，所以．14.如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为________．【答案】【解析】由题意得，设，则.当时，，当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.则，即.所以．令当时，，则，令，得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，．当时，，则.易知在上恒成立，所以在上单调递减.所以，.因为，所以，即.所以，所以，所以.所以的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，点D在边CA的延长线上，，且，求的面积．解：（1）由与余弦定理，得，所以，所以，所以，又，故．（2）由正弦定理及，得，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，所以．则，故的面积为．16.如图，在正三棱柱中，，，D为棱的中点，G为的重心．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：连接BG并延长交AC于E，则E为AC的中点，连接DE，则，且，又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又平面，平面，所以平面．连接，，易证得，因为平面，平面，所以平面；因为，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）解：易证BE，EC，ED互相垂直，以E为原点，以直线EB，EC，ED分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量，则，令，得，，所以．设平面的一个法向量，则，令，得，，所以．设二面角的大小为，则．所以，故二面角的正弦值为．17.甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数．（1）求，；（2）求X的分布列；（3）当时，求．解：（1），即甲两次投篮均不中，，，即甲前两次投篮有1次中，1次不中，第三次投篮不中，故；（2）的可能取值为，当时，第k次投篮未进，则前面次投篮中有1次未投中，所以；当时，若前面次投篮都投中，其概率为；若前面次投篮中有1次未投中，其概率为，故，所以X的分布列为X234…2nP…（3）由上可知，，①，②由得，，所以，故当时，.18.已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求C的方程；（2）已知点，，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一点D，且，．（ⅰ）证明：直线BD恒过定点；（ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值．（1）解：记C的半焦距为c，由题意知，，解得，，所以C的方程为．（2）（ⅰ）证明：设，，，由，得，则，，即，，同理得，，由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为，由B，D，M三点共线，得，则．故直线BD恒过定点．（ⅱ）解：因为B在椭圆上，则，所以，则，又A在椭圆上，则，所以，又，则，①同理得，②由，得，由，得，则，．因为，，所以，又，则，所以．19.已知函数．（1）当时，求曲线的斜率为的切线方程；（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围；（3）当时，若，且，证明：．（1）解：设曲线的斜率为的切线的切点为，，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以，则，故曲线的斜率为的切线方程为，即．（2）解：由题意知在上恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，且，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．由题意可知，即实数m的取值范围为．（3）证明：由（2）可知，当时，在上恒成立，所以当时，在上恒成立，当且仅当时