2021数学花园探秘总决赛六年级一试真题含答案解析数学竞赛备考完整版

PAGEPAGEPAGE2021“数学花园探秘”科普活动总决赛小学六年级组一试一．填空题（每小题10分，共30分）算式中，每个字母代表1~9中互不相同的数字，并且等号左边的字母代表的都是奇数数字，等号右边的字母代表的都是偶数数字．那么，符合条件的五位数最小是________．小东、小西、小南、小北四人共有28颗糖果．如果小西把糖果全部给小东，则小北的糖果数将是小东的；如果小北把糖果全部平均分给小东和小西，则小西与小东的糖果数之比为1:2．已知小南和小北的糖果数相差不超过5．那么，小东有________颗糖果．ABDCFOEG如图，长方形ABCD中有一个直角扇形（空白部分），扇形恰好与长方形四边各有一个公共点．如果三角形EFG、长方形ABCD的面积分别是40、280，那么图中阴影面积之和是ABDCFOEG二．解答题（每小题15分，共30分）AABDC如图，甲、乙、丙三个微型机器人从A点同时出发，匀速沿正方形导轨ABCD顺时针运动；出发一段时间后，以三个微型机器人所在地为顶点的三角形的面积恰好是正方形ABCD面积的一半，此时他们停止运动，进行了如下对话：甲：这是我首次到达我现在所在的位置；乙：你太慢了，我已经是第8次到达我现在的位置了；丙：你别得意，我到现在的位置的次数恰好是你到你现在位置的次数的两倍呢！已知以上三个机器人说的都是真话，且甲乙丙每秒走的厘米数恰好是小于100的质数．求三人的速度．在图5-1所示的4×4网格中，每格填入数字0或1或2，使得每行、每列四个数字之和都为奇数，第一列的“2021”已经填好．（1）图5-2为其中一种正确的填法，请你在图5-3，图5-4中再填出另外两种不同的正确填法．（每种填法1分，共2分．）（2）如果余下的12个方格中一共填了9个1，一共有多少种满足要求的填法？（5分）（3）余下的12个方格一共有多少种满足要求的填法？（8分）图5-1图5-1图5-2图5-3图5-422111011121111图12111011121111图2

参考答案及解析1、〖答案〗57913

〖解析〗

解法1：等号右边都是偶数数字为2、4、6、8，和为20，所以只能是，，，四种情况，然后逐一将结果分解为奇数×偶数即可，或者进一步分析左边：

等号左边都是奇数数字，肯定是奇数×偶数，偶数最大为，根据等号两边含有质因数2的数量来看，不难排除掉和两种情况．

情况一：，显然无解；

情况二：． 所以，五位数最小是57913．

解法2：左边数字和为25，右边数字和为20，同时分拆， 左边根据第二个括号的偶数枚举，可能为：，，，，，，；

右边可能为：，，，， 只能是． 所以，五位数最小是57913．2、〖答案〗13

〖解析〗 设小东、小西、小南、小北分别有a，b，c，d颗糖果， 则由题意，整理得， 看方程②：，根据c、d差不超过5，枚举d，不难得到， 将c、d的值代入方程①和③，进一步得：，解得．

因此小东有13颗糖果．AABDCFOEG3、〖答案〗123

〖解析〗

由已知，OF//AD，根据一半模型，四边形EOGF的面积为：，

那么，三角形OEG的面积为：，，

所以扇形面积为：，

所以阴影面积为：．4、〖答案〗2、31、61

〖解析〗

（1）首先，三角形面积为正方形ABCD的一半只能是有2人在相邻顶点，第三人在对边上；

证明：①当三角形有两个点在同一条边上时：易证当且仅当这两点在正方形的两个顶点，第三个顶点在对边上任意一点时，三角形面积最大，为正方形的一半； ②当情况①不存在时，即三角形三个顶点在三条边上，且不存在一条边上两个顶点的情况，如下图所示： 此时，． AABDCPNMOHR 综上，要使面积为正方形ABCD的一半，只能是有2人在相邻顶点，第三人在对边上．（2）再证在相邻两顶点处的人速度奇偶性不同． 时间相同，路程比等于速度比，而路程比又可以对应成走的边数的比，相邻两个顶点的人，走的边数的奇偶性不同，而速度都是质数，所以，一定有一个机器人的速度为2厘米/秒，那么另外两人的速度都是奇质数． 根据对话，甲是首次到达所在的位置，而乙丙都分别是第8次和第16次到达所在的位置了，所以甲的速度为2厘米/秒，此时甲在C点． 根据信息，可以设乙走了条边，丙走了条边，即，，p、q都是不超过4的奇数，而乙丙又不在同一个顶点，所以只能是一个的值为1，另一个的值为3，结合速度为质数，只能是，．即，． 综上：甲的速度为2厘米/秒，乙的速度为31厘米/秒，丙的速度为61厘米/秒．5、〖答案〗（1）略；（2）80；（3）7568 〖解析〗

解法1： 除第一列已经填好的“2021”外，其余空格中：前3行每行有奇数个1；第4行有偶数个1，每列和也是奇数，所以，第4行中1的位置被前三行1的情况所确定．其余不是1的方格，可以是0或2任选．根据前3行1的情况分类讨论：1）三行都是3个1，那么第4行固定，一定是0个1（如图1），共种；

2）有两行是3个1，一行是1个1，第四行一定是两个1且位置固定，如图2所示．共：种；注：以上两种为第（2）问的答案，共80种．3）有一行是3个1，还有两行各1个1，这两个1分同列和不同列两种．如图3甲，图3乙所示． 图3甲共：种，图3乙共：种；4）前3行都只有一个1，分全同列（图4甲），有两个同列（图4乙），都不同列（图4丙）三种情况． 图4甲共种；图4乙共种，图4丙共．综上，一共：种