高一数学：全称量词与存在量词【七大题型】（解析版）

【知识点1全称量词与存在量词】

1.全称量词与全称量词命题

全称量词所有的、注意一个、一切、每一个、任给

符号V

全称量词

含有全称量词的命题

命题

“对M中任意一个x,有p(x)成立"，可用符号简记为

形式

2.存在量词与存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示=1

存在量词

含有存在量词的命题

命题

“存在M中的一个1,使p(x)成立”可用符号简记为

形式

【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全

部”，表示整体或全部的含义.

常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含

义.

【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】

【例1】（2022秋•福建莆田•高一校考阶段练习）卜列命题是全称量词命题的是（）

A.存在一个实数的平方是负数B.每个四边形的内角和都是360。

C.至少有一个整数%,使得产+3%是质数D.3xGR,x2=x

【解题思路】根据全称晟词命题的定义分析判断.

【解答过程】对于ACD,均为存在量词命题，

对于B中的命题是全称量词命题.

故选：B.

【变式1-1］（2023•全国•高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（）

A.平行四边形的对边相等B.同位角相等

C.任何实数都存在相反数D.存在实数没有倒数

【解题思路】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D

选项为存在最词命题.

【解答过程】根据全称量词和存在量词的定义可知，

A选项，“平行四边形的对边相等'是所有的平行四边形性质，是全称量词命题：

B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是仝称量词命题；

C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；

D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.

故选：D.

【变式1-2］（2022秋・四川乐山•高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）

A.任何一个实数乘以0都等干（）B.自然数都是正整数

C.实数都可以写成小数形式D.存在奇数不是索数

【解题思路】根据存在量词与全称量词的定义即可得到答案.

【解答过程】对A选项，任何是全称量词，故A错误；

对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误：

对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；

对D选项，存在是存在量词，故D正确;

故选：D.

【变式1-3］（2023•全国•高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（）

①任何实数都有平方根；

②所有素数都是奇数；

③有些一元二次方程无实数根；

④三角形的内角和是180。.

A.0B.1C.2D.3

（解题思路】根据全称命题的定义即可判断答案.

【解答过程】根据全称命题的定义可得①@④中命题，指的是全体对象具有某种性质，

故①②④是全称量词命题，③中自题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，

故选：D.

【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】

【例2】（2023秋・江苏无锡・高一统考期末）下列命题正确的是（）

A.1是最小的自然数B.所有的素数都是奇数

C.VxeR,s\nx+2>0D.对任意一个无理数x,/也是无理数

【解题思路】根据全称量词命题的知识确定正确答案.

【解答过程】0是最小的自然数，所以A选项错误.

2是素数，但2是偶数，所以B选项错误.

由于—1Ssinx41,所以VxWR,sinx+2>0,C选项正确.

或是无理数，但（注）2=2是有理数，所以D选项错误.

故选：C.

【变式2-1］（2023春•山西运城・高二校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（）

A.3xGN,使4%〈一3B.VxGR,X2+2>0

C.VxGN,2X>x2D.3xGZ,使3x-2=0

【解题思路】对于A,通过解不等式判断，对于B,由一个数的平方非负判断，刻于C,举例判断，对于D,

解方程判断.

【解答过程】对于A,由4%<-3,所以不存在自然数使4xV-3成立，所以A错误，

4

对于B,因为VxWR时，%2>0,所以一+222>0,所以B正确,

对于C,当％=2时，2'=7=4,所以C错误，

对于D,由3%-2=0,得无=：WZ,所以D错误，

故选：B.

【变式2-2](2023•全国•高一假期作业)下列命题是全称量词命题并且是真命题的是()

A.所有菱形的四条边都相等

B.若2不是偶数，则存在x,使得x£N

C.任意x£R,W+2x+l>0

D.乃是无理数

【解题思路】首先判断全称量词命题，再判断真假.

【解答过程】选项A、C是全称量词命题，选项C,当％=-1时，x2+2x+1=0,所以选项C是假命题,

故选:A.

【变式2-3](2023•全国•高一假期作业)以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数人使/工0

C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数工，使工>2

X

【解题思路】判断ACD为假命题，B是存在量词命题乂是真命题，得到答案.

【解答过程】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；

对选项氏是存在量词命题，当x=0时，/=。成立，所以B正确；

对选项C：V3+(-73)=0,故C为假命题；

对选项D：对于任何一个负数，都有5<0,所以D为假命题.

故选:B.

【题型3根据命题的真假求参数】

[例3](2023春・广东惠州•高一校考阶段练习)已知命题“V%€[-3,3]>-x2+4x+a<0”为假命题，则

实数a的取值范围是()

A.(-4,+8)B.(21,+8)

C.(-8,21)D.(—3,+8)

【解题思路】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.

【解答过程】因为命题“％e[-3,3],-%24-4x+a<0”为假命题，

所以一/+4x+a>0在xe[-3,3]上有解，所以(一/+4%+a)max>0,

而一元二次函数一%2+4%+a在％=—：=2时取最大值，

BP-22+4x2+a>0解得a>-4,

故选：A.

【变式3-1]（2023秋•河北邢台询一校考期末）命题pT/6R,使得ka2-6kxQ+4+8V。成立.若p是

假命题，则实数k的取值范围是（）

A.[0,1]B.（0,1]

C.（-00,0）U（l,+oo）D.（-co,0]u[l,4-co）

【解题思路】根据p是假命题，得出「p为真命题，利用恒成立知识求解.

【解答过程】因为p是假命题，所以为真命题，即VxWR,使得依2-6依+k+8N0成立.

当k=0时，显然符合题意；

当0时，则有k>0,且36k2-8）W0,解得0V寸W1.

故选：A.

【变式3-2]（2023•全国•高三专题练习）命题”14x42,/-2QW0”是真命题的一个必要不充分条件

是（）

A.a>1B.a>3C.a>2D.a<4

【解题思路】求出当命题"VI<x<2,x2-2a<0”是真命题时，实数a的取值范围，结合题意可得出合适

的选项.

【解答过程】命题"VI<x<2,r2-2a<0”是真命题，则a>（三）=2,

因此，命题“1&XW2,/-2aW0”是真命题的一个必要不充分条件是a21.

故选：A.

【变式3-3]（2023・高一课时练习）已知命题p:BxER,mx2+1<0；命题q:VxeR,x2+mx+1>0.若

p，q都是假命题，则实数TH的取值范围为（）

A.m<：—2B.m>2C.m22或TH$—2D.—2<mS2

【解题思路】写出命题p,q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.

【解答过程】因为命题〃为假命题，则命题〃的否定为真命题，即：Vx6R,m/+l>0为真命题，

解得m>0,

同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即三€/?,/+m工+1工0为真命题，

所以d=m2-4>0,解得m>2或m<-2,

综上：m>2,

故选：B.

【知识点2全称量词命题与存在量词命题的否定】

1.全称量词命题与存在量词命题的否定

（1）全称量词命题〃：〃（工）的否定：SA-［〃*）；全称量词命题的否定是存在量词命题.

（2）存在量词命题p：p（x）的否定：V.vM,rp（x）；存在量词命题的否定是全称量词命题.

2.对全称量词命题否定的两个步骤：

①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词.即：全称量词”）色且存在量词0）.

②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是卬不成立”等.

3.对存在量词命题否定的两个步骤：

①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.即：存在量词（土」"全称量词”）.

②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有，不存在”等.

【题型4全称量词命题的否定】

［例4］（2。23春・内蒙古呼伦贝尔•高二校考阶段练习）命题“Vx>0,x>VP'的否定是（）

A.Vx>0,x<VxB.Bx>0,x<y/x

C.Vx<0,x>VxD.>0,x>Vx

【解题思路】利用含有一个量词的命题的否定求解.

【解答过程】解：因为命题“%>0,%>叮”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，KPSx>O,x<

故选:B.

【变式4-1］（2023•江苏•高一假期作业）己知命题p：VaG/V,3bG/V,使得a>b,则「P为（）

A.Ba6N,VbCN,使得aWb

B.3aWN,VbCN,使得aWb

C.BaEN,VdGN,使得QWb

D.VaeN,¥b£N,使得aWb

【解题思路】由全称命题和特称令题的否定形式，可得解.

【解答过程】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题p：VaG/V,BbEN,

使得Q>b的否定」p为：3a€N,V/?G/V,使得QWb.

故选：C.

【变式4-2］（2023秋・广西河池•高一统考期末）命题，%€兄2/+3%-5>0”的否定是（）

A.VxeR,2x2+3x—5<0B.Vx6R,2x2+3x—5<0

C.3xGR,2x24-3x—5<0D.3xGR,2x2+3%—5<0

【解题思路】根据全称命题的否定，可得答案.

【解答过程】由全称命题的否定知原命题的否定为女e/?,2x24-3x-5<0.

故选:C.

【变式4-3］（2023•全国•高三专题练习）命题p:VQeR,一元二次方程/一QX-1=0有实根，则对命题p的

真假判断和「P正确的为（）

A.真命题，「pTaWR,一元二次方程一一ax-1=0无实根

B.假命题，「p：maWR,一元二次方程/一一1=0无实根

C.真命题，「p：ma€R,一元二次方程,一ax-1=0有实根

D.假命题，「pTaWR,一元二次方程M-以-1=0有实根

【解题思路】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.

【解答过程】在一元二次方程/-ax-1=0中4=a2+4>0恒成立，故对任意a,方程都有实根，

故命题p为真命题，「pTQWR,一元二次方程/一QX-1二o无实根.

故选：A.

【题型5存在量词命题的否定】

【例5】（2023春・河南・高一校联考开学考试）命题^^6m5“V％3+1，，的否定是（）

A.VxGN,5X<x3+lB.VxGN,5X>x3+1

C.Vx6N,5X>x34-1D.VxWN,5X>x3+1

【解题思路】根据特称命题的否定相关知识直接求解.

【解答过程】命题FxeN,5X<N+1”的否定是“VxeN,5*>x3+1”.

故选：C.

【变式5-1］（2023•宁夏银川•校考三模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数

【解题思路】根据存在量词命题p：三3€M,p（x）,否定为-ip:Vx€M,-）p（x）,即可解得止确结果.

【解答过程】由于存在量词命题pF%WM,pQ）,否定为「2:"工€时,-^（%）.所以命题“有一个偶数是素数”

的否定是“任意一个偶数都不是素数

故选：B.

【变式5-2］（2023秋・江苏宿迁•高一统考期末）命题叼%>0,/-Qx+b>0”的否定是（）

A.3x>0,x2—ax+b<0B.3x<0,x2—ax+b>0

C.Vx<0.x2—ax+b<0D.Vx>0,x2—ax+b<0

【解题思路】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【解答过程】命题Fx>0,——Qx+b>0，，为特称量词命题，

其否定为：Vx>0,x2-ax+b<0.

故选：D.

【变式5-3](2023・宁夏银川・校考二模)已知命题「的否定为石XGR,/+1<1”,则下列说法中正确的是()

A.命题P为TxER,7+1>「且为真命题

B.命题P为“VxCR,/+1>1”且为假命题

C.命题P为“Vx6R,x2+1>「且为假命题

D.命题P为“三工€R,x24-1>1”且为真命题

【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.

【解答过程】•・•命题P的否定为特称命题，

:.PNxGR,x2+1>1,排除AD;

因为当％=0时+1=1,

・・・P为假命题，排除B.

故选:C.

【知识点3命题的否定与原命题的真假】

1.命题的否定与原命题的真假

一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假.

2.命题否定的真假判断

(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；

(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为

假，当原命题为假时，命题的否定为真.

【题型6命题否定的真假判断】

【例6】(2023秋・河南周口•高一校考期末)写出下列命题的否定，并判断真假.

(1)王方形都是菱形；

(2)3xE/?,使4*3>x；

(3)Vx£R,有户l=2x；

(4)集合A是集合或集合AUB的子集.

【解题思路】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.

【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题.

（2）命题的否定：SR,有4.03夕.因为当x=2时，4x2-3=5>2,所以“有4心3"”是假命题.

（3）命题的否定：使"1先工因为当x=2时，/1=2+1=3彳2x2,所以使产1先f是真命

题.

（4）命题的否定：集合A既不是集合4CIB的子集也不是集合力U8的子集，是假命题.

【变式6-1］（2022秋•高一校考课时练习）写出下列命题的否定，并判断真假.

⑴所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）有些实数的绝对值是正数；

（4）某些平行四边形是菱形.

【解题思路】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.

【解答过程】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形：为假命题.

（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.

（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.

（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.

【变式6-2］（2023秋•陕西西安•高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的

否定，并说出这些否定的真假，不必证明.

（1）末尾数是偶数的数能被4整除；

（2）对任意实数，都有/-2%-3<0：

（3）方程/-5%-6=。有一个根是奇数.

【解题思路】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又2不能被4整除，可得命题的否定为真；

（2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当x=3时符合不等式，则命题的否定为真；

（3）利用特称命题的定义进行判断原命题，乂方程的两根为6和-1,则则命题的否定为假.

【解答过程】（1）该命题是全称命题，

该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；

该命题的否定是真命题.

（2）该命题是全称命题，

该命题的否定是：存在实数%,使得%2-2%-320；

该命题的否定是真命题.

(3)该命题是特称命题，

该命题的否定是：方程，一5工-6=0的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题.

【变式6-3](2022秋♦广东梅州•高一校考阶段练习)写出下列命题的否定，并判断真假.

(1)王方形都是菱形；

(2)3xeR,使4x-3>x；

(3)VxeR,有乃+1=2%.

【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，

对⑴可根据正方形与菱形的关系判断真假；

对(2)举例说明4X-3<%不成立；

对(3)举例说明x+1H2》成立.

【解答过程】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题.

(2)命题的否定：VxeR,有4尤-3<x.因为当％=2时，4x2-3=5>2,所以“VxeR,有4x-3<x,5

是假命题.

(3)命题的否定：3xER,使X+1工2x.因为当X=2时，x+l=2+l=3*2x2,所以“比6R,使X+1H

2%”是真命题.

【题型7根据命题否定的真假求参数】

【例7】(2023•高一课时练习)设命题p:方程％2+2mx+4=0有实数根;命题q:方程/+2(m-2)x-3m+

10=0有实数根.已知〃和「q均为真命题，求实数机的取值范围.

【解题思路】分别求解〃和为真命题时的，〃的取值，取交集可得答案.

【解答过程】当命题p：方程/+2mx+4=0有实数根为真命题时，△=4m2-16>0,解得m>2或m<

-2；

当命题q:方程/+2(m-2)x-3m+10=0有实数根为真命题时，4(m-2)2-4(10-3m)>0,解得m>

3或mW-2,即iq为真命题时，一2<mV3,

所以〃和-均为真命题时m€[2,3).

【变式7-1](2022秋•高一课时练习)已知命题p:Vl3无43,都有771Nx,命题使m3，

若命题p为真命题，命题夕的否定为假命题，求实数/〃的取值范围.

【解题思路】根据为假命题，可判断q为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取

值范围，最后取公共解即可：

【解答过程】因为「q为假命题，所以q为真命题，

命题p：VI4X工3,都有m工，为真命题，则m\%max，即加23

命题qTlW%K3,使血之工,为真命题，则mN%min，即mN1

因为命题p、q同时为真命题，所以{：]；，解得相工3,

故实数〃?的取值范围是[3,+8).

【变式