北师大新版中考数学30题函数综合压轴题及答案

1、1如图，直线y=x+c与x轴交于点a（3，0），与y轴交于点b，抛物线y=x2+bx+c经过点a，b（1）求点b的坐标和抛物线的解析式；（2）m（m，0）为x轴上一动点，过点m且垂直于x轴的直线与直线ab及抛物线分别交于点p，n点m在线段oa上运动，若以b，p，n为顶点的三角形与apm相似，求点m的坐标；点m在x轴上自由运动，若三个点m，p，n中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称m，p，n三点为“共谐点”请直接写出使得m，p，n三点成为“共谐点”的m的值【分析】（1）把a点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得b点坐标，由a、b的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）

2、由m点坐标可表示p、n的坐标，从而可表示出ma、mp、pn、pb的长，分nbp=90和bnp=90两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；用m可表示出m、p、n的坐标，由题意可知有p为线段mn的中点、m为线段pn的中点或n为线段pm的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值【解答】解：（1）y=x+c与x轴交于点a（3，0），与y轴交于点b，0=2+c，解得c=2，b（0，2），抛物线y=x2+bx+c经过点a，b，解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y=x+2，m（m，0）为x轴上一动点，过点m且垂直于x轴的直线与直线ab及抛物线

3、分别交于点p，n，p（m，m+2），n（m，m2+m+2），pm=m+2，am=3m，pn=m2+m+2（m+2）=m2+4m，bpn和apm相似，且bpn=apm，bnp=amp=90或nbp=amp=90，当bnp=90时，则有bnmn，n点的纵坐标为2，m2+m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，m（2.5，0）；当nbp=90时，过点n作ncy轴于点c，则nbc+bnc=90，nc=m，bc=m2+m+22=m2+m，nbp=90，nbc+abo=90，abo=nbc，rtncbrtboa，=，=，解得m=0（舍去）或m=，m（，0）；综上可知当以b，p，n为顶点的三角形与apm

4、相似时，点m的坐标为（2.5，0）或（，0）；由可知m（m，0），p（m，m+2），n（m，m2+m+2），m，p，n三点为“共谐点”，有p为线段mn的中点、m为线段pn的中点或n为线段pm的中点，当p为线段mn的中点时，则有2（m+2）=m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；当m为线段pn的中点时，则有m+2+（m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=1；当n为线段pm的中点时，则有m+2=2（m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=；综上可知当m，p，n三点成为“共谐点”时m的值为或1或【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质

5、、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大2如图1，在平面直角坐标系xoy中，抛物线c：y=ax2+bx+c与x轴相交于a，b两点，顶点为d（0，4），ab=4，设点f（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线c绕点f旋转180，得到新的抛物线c（1）求抛物线c的函数表达式；（2）若抛物线c与抛物线c在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如

6、图2，p是第一象限内抛物线c上一点，它到两坐标轴的距离相等，点p在抛物线c上的对应点p，设m是c上的动点，n是c上的动点，试探究四边形pmpn能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由【分析】（1）由题意抛物线的顶点d（0，4），a（2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把a（2，0）代入可得a=，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线c的顶点坐标为（2m，4），设抛物线c的解析式为y=（x2m）24，由，消去y得到x22mx+2m28=0，由题意，抛物线c与抛物线c在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形pmpn能成为正方形作pex轴于

7、e，mhx轴于h由题意易知p（2，2），当pfm是等腰直角三角形时，四边形pmpn是正方形，推出pf=fm，pfm=90，易证pfefmh，可得pe=fh=2，ef=hm=2m，可得m（m+2，m2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形pmpn是正方形，同法可得m（m2，2m），利用待定系数法即可解决问题【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点d（0，4），a（2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把a（2，0）代入可得a=，抛物线c的函数表达式为y=x2+4（2）由题意抛物线c的顶点坐标为（2m，4），设抛物线c的解析式为y=（x2m）24，由，消去y得到x22mx+2m28

8、=0，由题意，抛物线c与抛物线c在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2m2，满足条件的m的取值范围为2m2（3）结论：四边形pmpn能成为正方形理由：1情形1，如图，作pex轴于e，mhx轴于h由题意易知p（2，2），当pfm是等腰直角三角形时，四边形pmpn是正方形，pf=fm，pfm=90，易证pfefmh，可得pe=fh=2，ef=hm=2m，m（m+2，m2），点m在y=x2+4上，m2=（m+2）2+4，解得m=3或3（舍弃），m=3时，四边形pmpn是正方形情形2，如图，四边形pmpn是正方形，同法可得m（m2，2m），把m（m2，2m）代入y=x2+4中，2m=（m2）2+

9、4，解得m=6或0（舍弃），m=6时，四边形pmpn是正方形综上，四边形pmpn能成为正方形，m=3或6【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题3在平面直角坐标系xoy中的点p和图形m，给出如下的定义：若在图形m上存在一点q，使得p、q两点间的距离小于或等于1，则称p为图形m的关联点（1）当o的半径为2时，在点p1（，0），p2（，），p3（，0）中，o的关联点是p2，p3点p在直线y=x上，若p为o的关联点，求点p的横坐标的取值范围

10、（2）c的圆心在x轴上，半径为2，直线y=x+1与x轴、y轴交于点a、b若线段ab上的所有点都是c的关联点，直接写出圆心c的横坐标的取值范围【分析】（1）根据点p1（，0），p2（，），p3（，0），求得op1=，op2=1，op3=，于是得到结论；根据定义分析，可得当最小y=x上的点p到原点的距离在1到3之间时符合题意，设p（x，x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2根据已知条件得到a（1，0），b（0，1），如图1，当圆过点a时，得到c（2，0），如图2，当直线ab与小圆相切时，切点为d，得到c（1，0），于是得到结论；如图3，当圆过点a，则ac=1，得到c（2，0），如图4，当圆过

11、点b，连接bc，根据勾股定理得到c（2，0），于是得到结论【解答】解：（1）点p1（，0），p2（，），p3（，0），op1=，op2=1，op3=，p1与o的最小距离为，p2与o的最小距离为1，op3与o的最小距离为，o，o的关联点是p2，p3；故答案为：p2，p3；根据定义分析，可得当最小y=x上的点p到原点的距离在1到3之间时符合题意，设p（x，x），当op=1时，由距离公式得，op=1，x=，当op=3时，op=3，解得：x=；点p的横坐标的取值范围为：x，或x；（2）直线y=x+1与x轴、y轴交于点a、b，a（1，0），b（0，1），如图1，当圆过点a时，此时，ca=3，c（2，0）

12、，如图2，当直线ab与小圆相切时，切点为d，cd=1，直线ab的解析式为y=x+1，直线ab与x轴的夹角=45，ac=，c（1，0），圆心c的横坐标的取值范围为：2xc1；如图3，当圆过点a，则ac=1，c（2，0），如图4，当圆过点b，连接bc，此时，bc=3，oc=2，c（2，0）圆心c的横坐标的取值范围为：2xc2；综上所述；圆心c的横坐标的取值范围为：2xc1或2xc2【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+ax+b交x轴于a（1，0），b（3，0）两点，点p是抛物线上在第一

13、象限内的一点，直线bp与y轴相交于点c（1）求抛物线y=x2+ax+b的解析式；（2）当点p是线段bc的中点时，求点p的坐标；（3）在（2）的条件下，求sinocb的值【分析】（1）将点a、b代入抛物线y=x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由c点横坐标为0可得p点横坐标，将p点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得p点坐标；（3）由p点的坐标可得c点坐标，由b、c的坐标，利用勾股定理可得bc长，利用sinocb=可得结果【解答】解：（1）将点a、b代入抛物线y=x2+ax+b可得，解得，a=4，b=3，抛物线的解析式为：y=x2+4x3；（2）点c在y轴上，所以c点横坐标x=0，点p是

14、线段bc的中点，点p横坐标xp=，点p在抛物线y=x2+4x3上，yp=3=，点p的坐标为（，）；（3）点p的坐标为（，），点p是线段bc的中点，点c的纵坐标为20=，点c的坐标为（0，），bc=，sinocb=【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点p的坐标是解答此题的关键5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点a和点b，与y轴交于点c，点b坐标为（6，0），点c坐标为（0，6），点d是抛物线的顶点，过点d作x轴的垂线，垂足为e，连接bd（1）求抛物线的解析式及点d的坐标；（2）点f是抛物线上的动点，当fba=bde时，求点f的坐标；（3）若点m是抛

15、物线上的动点，过点m作mnx轴与抛物线交于点n，点p在x轴上，点q在坐标平面内，以线段mn为对角线作正方形mpnq，请写出点q的坐标【分析】（1）由b、c的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点d即可；（2）过f作fgx轴于点g，可设出f点坐标，利用fbgbde，由相似三角形的性质可得到关于f点坐标的方程，可求得f点的坐标；（3）由于m、n两点关于对称轴对称，可知点p为对称轴与x轴的交点，点q在对称轴上，可设出q点的坐标，则可表示出m的坐标，代入抛物线解析式可求得q点的坐标【解答】解：（1）把b、c两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+6，y=x2+2x

16、+6=（x2）2+8，d（2，8）；（2）如图1，过f作fgx轴于点g，设f（x，x2+2x+6），则fg=|x2+2x+6|，fba=bde，fgb=bed=90，fbgbde，=，b（6，0），d（2，8），e（2，0），be=4，de=8，ob=6，bg=6x，=，当点f在x轴上方时，有=，解得x=1或x=6（舍去），此时f点的坐标为（1，）；当点f在x轴下方时，有=，解得x=3或x=6（舍去），此时f点的坐标为（3，）；综上可知f点的坐标为（1，）或（3，）；（3）如图2，设对角线mn、pq交于点o，点m、n关于抛物线对称轴对称，且四边形mpnq为正方形，点p为抛物线对称轴与x轴的交点

17、，点q在抛物线的对称轴上，设q（2，2n），则m坐标为（2n，n），点m在抛物线y=x2+2x+6的图象上，n=（2n）2+2（2n）+6，解得n=1+或n=1，满足条件的点q有两个，其坐标分别为（2，2+2）或（2，22）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在（3）中确定出p、q的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中6已知抛物线y=x2+bx3（b是常数）经过点a（1，0）（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

18、（2）p（m，t）为抛物线上的一个动点，p关于原点的对称点为p当点p落在该抛物线上时，求m的值；当点p落在第二象限内，pa2取得最小值时，求m的值【分析】（1）把a点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）由对称可表示出p点的坐标，再由p和p都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；由点p在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出pa2，再由点p在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx3经过点a（1，0），0=1b

19、3，解得b=2，抛物线解析式为y=x22x3，y=x22x3=（x1）24，抛物线顶点坐标为（1，4）；（2）由p（m，t）在抛物线上可得t=m22m3，点p与p关于原点对称，p（m，t），点p落在抛物线上，t=（m）22（m）3，即t=m22m+3，m22m3=m22m+3，解得m=或m=；由题意可知p（m，t）在第二象限，m0，t0，即m0，t0，抛物线的顶点坐标为（1，4），4t0，p在抛物线上，t=m22m3，m22m=t+3，a（1，0），p（m，t），pa2=（m+1）2+（t）2=m22m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；当t=时，pa2有最小值，=m22m3，解得m=或m

20、=，m0，m=不合题意，舍去，m的值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得p点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）中用t表示出pa2是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中7在同一直角坐标系中，抛物线c1：y=ax22x3与抛物线c2：y=x2+mx+n关于y轴对称，c2与x轴交于a、b两点，其中点a在点b的左侧（1）求抛物线c1，c2的函数表达式；（2）求a、b两点的坐标；（3）在抛物线c1上是否存在一点p，在抛物线c2上是否存在一点q，使得以ab为边，且以a、

21、b、p、q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出p、q两点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；（2）由c2的函数表达式可求得a、b的坐标；（3）由题意可知ab只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出p点坐标，表示出q点坐标，代入c2的函数表达式可求得p、q的坐标【解答】解：（1）c1、c2关于y轴对称，c1与c2的交点一定在y轴上，且c1与c2的形状、大小均相同，a=1，n=3，c1的对称轴为x=1，c2的对称轴为x=1，m=2，c1的函数表示式为y=x22x3，c2的函数表达式为

22、y=x2+2x3；（2）在c2的函数表达式为y=x2+2x3中，令y=0可得x2+2x3=0，解得x=3或x=1，a（3，0），b（1，0）；（3）存在ab的中点为（1，0），且点p在抛物线c1上，点q在抛物线c2上，ab只能为平行四边形的一边，pqab且pq=ab，由（2）可知ab=1（3）=4，pq=4，设p（t，t22t3），则q（t+4，t22t3）或（t4，t22t3），当q（t+4，t22t3）时，则t22t3=（t+4）2+2（t+4）3，解得t=2，t22t3=4+43=5，p（2，5），q（2，5）；当q（t4，t22t3）时，则t22t3=（t4）2+2（t4）3，解得t=

23、2，t22t3=443=3，p（2，3），q（2，3），综上可知存在满足条件的点p、q，其坐标为p（2，5），q（2，5）或p（2，3），q（2，3）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在（2）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出pq的长度，设p点坐标表示出q点的坐标是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中8已知函数y=x2+（m1）x+m（m为常数）（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是da.0 b.1 c.2 d.1

24、或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上（3）当2m3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可【解答】解：（1）函数y=x2+（m1）x+m（m为常数），=（m1）2+4m=（m+1）20，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选d；（2）y=x2+（m1）x+m=（x）2+，把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2

25、的图象上；（3）设函数z=，当m=1时，z有最小值为0；当m1时，z随m的增大而减小；当m1时，z随m的增大而增大，当m=2时，z=；当m=3时，z=4，则当2m3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0z4【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键9已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点m（1，0），且ab（）求抛物线顶点q的坐标（用含a的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交点；（）直线与抛物线的另一个交点记为n（）若1a，求线段mn长度的取值范围；（）求qmn面积的最小值【分析】（）把m点坐标代入抛物线解析

26、式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（）（i）由（）的方程，可求得n点坐标，利用勾股定理可求得mn2，利用二次函数性质可求得mn长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点e，则可求得e点坐标，利用sqmn=sqen+sqem可用a表示出qmn的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案【解答】解：（）抛物线y=ax2+ax+b过点m（1，0），a+a+b=0，即b=2a，y=ax2+ax+b=ax

27、2+ax2a=a（x+）2，抛物线顶点q的坐标为（，）；（）直线y=2x+m经过点m（1，0），0=21+m，解得m=2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0（*）=（a2）24a（2a+2）=9a212a+4，由（）知b=2a，且ab，a0，b0，0，方程（*）有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；（）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0，即x2+（1）x2+=0，（x1）x（2）=0，解得x=1或x=2，n点坐标为（2，6），（i）由勾股定理可得mn2=（2）12+（6）2=+45=20（）2，1a，21，mn2随的增大而减小

28、，当=2时，mn2有最大值245，则mn有最大值7，当=1时，mn2有最小值125，则mn有最小值5，线段mn长度的取值范围为5mn7；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点e，抛物线对称轴为x=，e（，3），m（1，0），n（2，6），且a0，设qmn的面积为s，s=sqen+sqem=|（2）1|（3）|=，27a2+（8s54）a+24=0（*），关于a的方程（*）有实数根，=（8s54）2427240，即（8s54）2（36）2，a0，s=，8s540，8s5436，即s+，当s=+时，由方程（*）可得a=满足题意，当a=，b=时，qmn面积的最小值为+【点评】本题为二次函数的综合应用

29、，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识在（1）中由m的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得n点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出qmn的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大10在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（xa1），其中a0（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点p（x0，m）和q（1，n）在函数y1的图象

30、上，若mn，求x0的取值范围【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；（3）根据二次函数的性质，可得答案【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，2），得（a+1）（a）=2，解得a1=2，a2=1，函数y1的表达式y=（x2）（x+21），化简，得y=x2x2；函数y1的表达式y=（x+1）（x2）化简，得y=x2x2，综上所述：函数y1的表达式y=x2x2；（2）当y=0时（x+a）（xa1）=0，解得x1=a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（a，0）时，a2+b=0，即b=a2

31、；当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=a2a；（3）当p在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由mn，得0x0；当时p在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由mn，得x01，综上所述：mn，所求x0的取值范围0x01【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏11定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于a，b两点，点p在该抛物线上（p点与a、b两点不重合），如果abp的三边

32、满足ap2+bp2=ab2，则称点p为抛物线y=ax2+bx+c（a0）的勾股点（1）直接写出抛物线y=x2+1的勾股点的坐标（2）如图2，已知抛物线c：y=ax2+bx（a0）与x轴交于a，b两点，点p（1，）是抛物线c的勾股点，求抛物线c的函数表达式（3）在（2）的条件下，点q在抛物线c上，求满足条件sabq=sabp的q点（异于点p）的坐标【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；（2）作pgx轴，由点p坐标求得ag=1、pg=、pa=2，由tanpab=知pag=60，从而求得ab=4，即b（4，0），待定系数法求解可得；（3）由sabq=sabp且两三角形同底，可知点q到x轴的距离

33、为，据此求解可得【解答】解：（1）抛物线y=x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点a（0，0），如图，作pgx轴于点g，点p的坐标为（1，），ag=1、pg=，pa=2，tanpab=，pag=60，在rtpab中，ab=4，点b坐标为（4，0），设y=ax（x4），将点p（1，）代入得：a=，y=x（x4）=x2+x；（3）当点q在x轴上方时，由sabq=sabp知点q的纵坐标为，则有x2+x=，解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），点q的坐标为（3，）；当点q在x轴下方时，由sabq=sabp知点q的纵坐标为，则有x2+x=，解得：x1=2+，

34、x2=2，点q的坐标为（2+，）或（2，）；综上，满足条件的点q有3个：（3，）或（2+，）或（2，）【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点b的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键12如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 a、b两点，与y轴交于点c，ob=oc点d在函数图象上，cdx轴，且cd=2，直线l是抛物线的对称轴，e是抛物线的顶点（1）求b、c的值；（2）如图，连接be，线段oc上的点f关于直线l的对称点f恰好在线段be上，求点f的坐标；（3）如图，动点p在线段ob上，过点p作x轴的垂线分别与bc交于点m

35、，与抛物线交于点n试问：抛物线上是否存在点q，使得pqn与apm的面积相等，且线段nq的长度最小？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，说明理由【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由ob=oc，可用c表示出b点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；（2）可设f（0，m），则可表示出f的坐标，由b、e的坐标可求得直线be的解析式，把f坐标代入直线be解析式可得到关于m的方程，可求得f点的坐标；（3）设点p坐标为（n，0），可表示出pa、pb、pn的长，作qrpn，垂足为r，则可求得qr的长，用n可表示出q、r、n的坐标，在rtqrn中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次

36、函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得q点的坐标，【解答】解：（1）cdx轴，cd=2，抛物线对称轴为x=1ob=oc，c（0，c），b点的坐标为（c，0），0=c2+2c+c，解得c=3或c=0（舍去），c=3；（2）设点f的坐标为（0，m）对称轴为直线x=1，点f关于直线l的对称点f的坐标为（2，m）由（1）可知抛物线解析式为y=x22x3=（x1）24，e（1，4），直线be经过点b（3，0），e（1，4），利用待定系数法可得直线be的表达式为y=2x6点f在be上，m=226=2，即点f的坐标为（0，2）；（3）存在点q满足题意设点p坐标为（n，0），则pa=n+1，pb=pm=

37、3n，pn=n2+2n+3作qrpn，垂足为r，spqn=sapm，qr=1点q在直线pn的左侧时，q点的坐标为（n1，n24n），r点的坐标为（n，n24n），n点的坐标为（n，n22n3）在rtqrn中，nq2=1+（2n3）2，时，nq取最小值1此时q点的坐标为；点q在直线pn的右侧时，q点的坐标为（n+1，n24）同理，nq2=1+（2n1）2，时，nq取最小值1此时q点的坐标为综上可知存在满足题意的点q，其坐标为或【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（

38、2）中用f点的坐标表示出f的坐标是解题的关键，在（3）中求得qr的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大13如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，对称轴与x轴交于点d，点e（4，n）在抛物线上（1）求直线ae的解析式；（2）点p为直线ce下方抛物线上的一点，连接pc，pe当pce的面积最大时，连接cd，cb，点k是线段cb的中点，点m是cp上的一点，点n是cd上的一点，求km+mn+nk的最小值；（3）点g是线段ce的中点，将抛物线y=x2x沿x轴正方向平移得到新抛物线

39、y，y经过点d，y的顶点为点f在新抛物线y的对称轴上，是否存在点q，使得fgq为等腰三角形？若存在，直接写出点q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x3），从而可得到点a和点b的坐标，然后再求得点e的坐标，设直线ae的解析式为y=kx+b，将点a和点e的坐标代入求得k和b的值，从而得到ae的解析式；（2）设直线ce的解析式为y=mx，将点e的坐标代入求得m的值，从而得到直线ce的解析式，过点p作pfy轴，交ce与点f设点p的坐标为（x，x2x），则点f（x，x），则fp=x2+x由三角形的面积公式得到epc的面积=x2+x，利用二次函数的性质可求得x

40、的值，从而得到点p的坐标，作点k关于cd和cp的对称点g、h，连接g、h交cd和cp与n、m然后利用轴对称的性质可得到点g和点h的坐标，当点o、n、m、h在条直线上时，km+mn+nk有最小值，最小值=gh；（3）由平移后的抛物线经过点d，可得到点f的坐标，利用中点坐标公式可求得点g的坐标，然后分为qg=fg、qg=qf，fq=fq三种情况求解即可【解答】解：（1）y=x2x，y=（x+1）（x3）a（1，0），b（3，0）当x=4时，y=e（4，）设直线ae的解析式为y=kx+b，将点a和点e的坐标代入得：，解得：k=，b=直线ae的解析式为y=x+（2）设直线ce的解析式为y=mx，将点e

41、的坐标代入得：4m=，解得：m=直线ce的解析式为y=x过点p作pfy轴，交ce与点f设点p的坐标为（x，x2x），则点f（x，x），则fp=（x）（x2x）=x2+xepc的面积=（x2+x）4=x2+x当x=2时，epc的面积最大p（2，）如图2所示：作点k关于cd和cp的对称点g、h，连接g、h交cd和cp与n、mk是cb的中点，k（，）tankcp=od=1，oc=，tanocd=ocd=kcp=30kcd=30k是bc的中点，ocb=60，oc=ck点o与点k关于cd对称点g与点o重合点g（0，0）点h与点k关于cp对称，点h的坐标为（，）km+mn+nk=mh+mn+gn当点o、n

42、、m、h在条直线上时，km+mn+nk有最小值，最小值=ghgh=3km+mn+nk的最小值为3（3）如图3所示：y经过点d，y的顶点为点f，点f（3，）点g为ce的中点，g（2，）fg=当fg=fq时，点q（3，），q（3，）当gf=gq时，点f与点q关于y=对称，点q（3，2）当qg=qf时，设点q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=点q1的坐标为（3，）综上所述，点q的坐标为（3，）或（3，）或（3，2）或（3，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到km+mn

43、+nk取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为qg=fg、qg=qf，fq=fq三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键14如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点a（1，0），b（4，0），交y轴于点c；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点d为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点d使sabc=sabd？若存在请直接给出点d坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线bc绕点b顺时针旋转45，与抛物线交于另一点e，求be的长【分析】（1）由a、b的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点d到x轴的距离，即可求得d点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得d点坐标；（3）由条件

44、可证得bcac，设直线ac和be交于点f，过f作fmx轴于点m，则可得bf=bc，利用平行线分线段成比例可求得f点的坐标，利用待定系数法可求得直线be解析式，联立直线be和抛物线解析式可求得e点坐标，则可求得be的长【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过点a（1，0），b（4，0），解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）由题意可知c（0，2），a（1，0），b（4，0），ab=5，oc=2，sabc=aboc=52=5，sabc=sabd，sabd=5=，设d（x，y），ab|y|=5|y|=，解得|y|=3，当y=3时，由x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时d点坐标为（

45、1，3）或（2，3）；当y=3时，由x2+x+2=3，解得x=2（舍去）或x=5，此时d点坐标为（5，3）；综上可知存在满足条件的点d，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，3）；（3）ao=1，oc=2，ob=4，ab=5，ac=，bc=2，ac2+bc2=ab2，abc为直角三角形，即bcac，如图，设直线ac与直线be交于点f，过f作fmx轴于点m，由题意可知fbc=45，cfb=45，cf=bc=2，=，即=，解得om=2，=，即=，解得fm=6，f（2，6），且b（4，0），设直线be解析式为y=kx+m，则可得，解得，直线be解析式为y=3x+12，联立直线be和抛物线解析式可得，

46、解得或，e（5，3），be=【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得d点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线be的解析式是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度15如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点a（4，0）、b（0，3），抛物线y=x2+2x+1与y轴交于点c（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点p（x，y）是抛物线y=x2+2x+1上的任意

47、一点，设点p到直线ab的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点p的坐标；（3）若点e在抛物线y=x2+2x+1的对称轴上移动，点f在直线ab上移动，求ce+ef的最小值【分析】（1）由a、b两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；（2）过p作phab于点h，过h作hqx轴，过p作pqy轴，两垂线交于点q，则可证明phqbao，设h（m，m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的p点的坐标；（3）设c点关于抛物线对称轴的对称点为c，由对称的性质可得ce=ce，则可知当f、e、c三点一线且cf与ab垂直时ce+ef最小，由c

48、点坐标可确定出c点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得ce+ef的最小值【解答】解：（1）由题意可得，解得，直线解析式为y=x+3；（2）如图1，过p作phab于点h，过h作hqx轴，过p作pqy轴，两垂线交于点q，则ahq=abo，且ahp=90，phq+ahq=bao+abo=90，phq=bao，且aob=pqh=90，pqhboa，=，设h（m，m+3），则pq=xm，hq=m+3（x2+2x+1），a（4，0），b（0，3），oa=4，ob=3，ab=5，且ph=d，=，整理消去m可得d=x2x+=（x）2+，d与x的函数关系式为d=（x）2+，0，当x=时，d有

49、最小值，此时y=（）2+2+1=，当d取得最小值时p点坐标为（，）；（3）如图2，设c点关于抛物线对称轴的对称点为c，由对称的性质可得ce=ce，ce+ef=ce+ef，当f、e、c三点一线且cf与ab垂直时ce+ef最小，c（0，1），c（2，1），由（2）可知当x=2时，d=（2）2+=，即ce+ef的最小值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、轴对称的性质等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造相似三角形是解题的关键，在（3）中确定出e点的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中16如图，已知二次函数y=x

50、24的图象与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，c的半径为，p为c上一动点（1）点b，c的坐标分别为b（3，0），c（0，4）；（2）是否存在点p，使得pbc为直角三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接pb，若e为pb的中点，连接oe，则oe的最大值=【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得b点坐标，令x=0可求得c点坐标；（2）当pb与相切时，pbc为直角三角形，如图1，连接bc，根据勾股定理得到bc=5，bp2=2，过p2作p2ex轴于e，p2fy轴于f，根据相似三角形的性质得到=，设oc=p2e=2x，fp2=oe=x，得到be=3x，cf=2x4，于是得到

51、fp2=，ep2=，求得p2（，），过p1作p1gx轴于g，p1hy轴于h，同理求得p1（1，2），当bcpc时，pbc为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）如图3中，连接ap，根据ob=oa，be=ep，推出oe=ap，可知当ap最大时，oe的值最大，【解答】解：（1）在y=x24中，令y=0，则x=3，令x=0，则y=4，b（3，0），c（0，4）；故答案为：3，0；0，4；（2）存在点p，使得pbc为直角三角形，当pb与相切时，pbc为直角三角形，如图（2）a，连接bc，ob=3oc=4，bc=5，cp2bp2，cp2=，bp2=2，过p2作p2ex轴于e，p2fy轴于f，则cp2fbp2e，=，设oc=p2e=2x，cp2=oe=x，be=3x，cf=2x4，=2，x=，2x=，fp2=，ep2=，p2（，），过p1作p1gx轴于g，p1hy轴于h，同理求得p1（1，2），当bcpc时，pbc为直角三角形，过p4作