第五章频域分析法(用)

1、第五章频域分析法频率法,5.1频率特性,一、基本概念,系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。,稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频特性。,稳态输出的相位与输入相位之差,称为相频特性。,一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入,其稳态输出可写为,Ac-稳态输出的振幅-稳态输出的相角,二、求取频率特性的数学方法,RC网络的传递函数为,如果输入正弦电压信号,其拉氏变换,所以系统的输出为,查拉氏变换表，得Uc(s)的原函数uc(t),式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。,幅频特性和相频特性,幅频和相频特性曲线,只要把传递函数式中的s以j置换，就可以得到频率特性，即,RC网络的频率特性,将

2、(j)以模幅式表示，则,故幅频特性,相频特性,频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图,动态数学模型,三、频率特性图示法,1.直角坐标图,幅频特性：纵坐标为M，线性分度；横坐标为，线性分度。,相频特性：纵坐标为，线性分度；横坐标为，线性分度。,2.极坐标图,频率特性,幅相特性：以频率作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复平面上。,当频率从零到无穷变化时，矢量(j)的端点在复平面上描绘出一条曲线，即为幅相特性曲线，又称奈奎斯特曲线。,O,j,1,惯性环节的幅相特性曲线,3.对数坐标图伯德图(H.W.Bode),对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。,对数频率特性曲线的横坐

3、标表示频率，并按对数分度，单位是1/s。,对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。,对数幅频特性定义为,对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。,采用对数坐标图的优点是：,(1)可以将幅值的乘除转化为加减。(2)可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。(3)扩大了研究问题的视野。在一张图上，既画出频率特性的中、高频段特性，又能画出其低频特性，而低频特性对分析、设计控制系统来说是极其重要的。,对数幅频和对数相频特性曲线,5.2典型环节的频率特性,一、比例环节(放大环节),传递函数：G(s)=K,频率特性:G(j)=K,幅频

4、特性：,相频特性：,对数幅频特性：,伯德图,幅相曲线,二、积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,幅相曲线,伯德图,三、微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅相曲线,伯德图,四、惯性环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅相曲线,近似对数幅频特性：,当时，略去则得,扩展为只要，则L()=0。,显然在转折频率处，近似精度最低。其最大误差为,特征点：,五、一阶微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,特征点：,幅相曲线,六、振荡环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,特征点：,对数

5、相频特性：,幅相曲线,根据幅频特性和相频特性公式计算出频率特性,1,O,j,渐近对数幅频特性：,当n时，即/n1时，则略去/n，近似取,在低频段的渐近特性是一条与横轴相重合的直线。,当n时，即/n1时，则略去1和近似取,这是一条在处过横轴且斜率为-40dB/十倍频程的直线。,为转折频率,没有考虑阻尼比的影响。,在转折频率处渐近特性与精确特性线误差为,对于不同的阻尼比，振荡环节的精确对数幅频特性,对数相频特性：,七、二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅相曲线:,二阶微分环节的伯德图,八、一阶不稳定环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,幅

6、相特性:,一阶不稳定环节的伯德图,九、延迟环节,数学表达式：,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,幅相特性曲线,伯德图,伯德图,5.3控制系统的开环频率特性,系统的开环频率特性曲线分为：开环幅相特性曲线和开环对数频率特性曲线。,一、开环幅相特性曲线的绘制,设系统的开环传递函数由若干个典型环节相串联,其开环频率特性,所以，系统的开环幅频和相频分别为,1.开环幅相特性曲线的绘制,例某0型单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为，试绘制系统的开环幅相曲线。,解：,当=0时G(j0)=K0,当=时G(j)=0-180,0型系统幅相特性曲线,系统的开环幅相曲线,例某单位负反馈控

7、制系统，系统开环传递函数为，试绘制系统的开环幅相特性曲线。,解：,当=0时G(j0)=-90,当=时G(j)=0-270,开环幅相特性曲线,各型系统幅相特性曲线的概略图,例某单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为，试绘制系统的开环幅相特性曲线。,解：,当=0时G(j0)=K0,当=时G(j)=0(90-270)=0-180,取T1、T2大于1，1T3时，系统的开环幅相特性曲线为,系统的开环幅相曲线,2.系统开环幅相特性的特点,当频率=0时，其开环幅相特性完全取决于比例环节K和积分环节个数。,0型系统起点为正实轴上一点,I型及I型以上系统起点幅值为无穷大,相角为-90。,当频率=时，若nm(即传

8、递函数中分母阶次大于分子阶次)，各型系统幅相曲线的幅值等于0，相角为-(n-m)90。,G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，其交点坐标可由下列方法确定。,(a)令G(j)=-。解出与负实轴交点处对应的频率x的值。再将x代入|G(j)|中，求得与负实轴交点的模值。,(b)令()=0解出x，再将x代入u(x)中，求得与负实轴交点的坐标。,二、伯德图的绘制,系统的开环幅频和相频,系统的开环对数幅频和对数相频特性,开环对数幅频,开环对数相频,系统开环对数幅频等于各环节对数幅频之和；系统开环对数相频等于各环节对数相频之和。,解决这方面的问题要求掌握：,(1)正问题能熟练地绘制系统的伯德图。即已知

9、系统的开环传递函数，在半对数坐标纸上绘制出系统开环对数频率特性。,(2)反问题会求传递函数。即已知对数幅频特性曲线（或实验曲线），能反求其传递函数。,解决正问题的方法与绘制对数幅频特性曲线的步骤：,1.确定出系统开环增益K，并计算。,2.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率标注在半对数坐标的横轴上。,3.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgKdB的点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20dB/十倍频程。当=0,=1,=2时，斜率分别是(0，-20，-40)/十倍频程。,4.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯性环节加-

10、20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减。,5.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m)dB/十倍频程。,6.若系统中有振荡环节，当1时，则有,这意味着，当开环对数幅频20lgA()30dB时，对应的闭环对数频率特性为：20lgM()=0dB和()=0,如果A()1时，则有,这说明，当开环对数幅频20lgA()-25dB时，闭环幅频和相频特性可近似用开环幅频和相频代替。,所以，一般查图的取值范围为-25dB20lgA()30dB,例单位负反馈系统的开环传递函数为试应用尼柯尔斯图，画出闭环幅频特性曲线。,解：,首先做出系统的开环伯德图,根据

11、伯德图查出不同对应的20lgA()和()值。,在尼柯尔斯图中，查出对应的20lgM()和()值，从而做出系统的闭环幅频特性图。,系统的闭环幅频特性图,二、非单位反馈系统的闭环频率特性,尼柯尔斯图是根据单位反馈系统做出来的。对于非单位反馈系统，经过适当变换后，仍可应用各种图线求闭环频率特性曲线。,三、闭环频域性能指标,闭环频率特性曲线的几个特征值：峰值Mr,频带b,相频带p和零频幅比M(0)。,1峰值Mr是指幅频特性M()的最大值。Mr大，表明闭环系统对某个频率的正弦输入信号反应强烈，有共振倾向。这意味着系统的平稳性差，阶跃响应将有大的超调量。一般要求Mr1.5M(0)。对于二阶系统，当0.70

12、7时，系统具有峰值，有其明确的数学表达式，且是的单值衰减函数。,2峰值频率r是指幅频特性最大值Mr所对应的频率值。r大，表明系统的快速性好。对于二阶系统，。,3闭环系统的带宽b定义为幅频特性下降到0.707M(0)时所对应的频率。一般情况下，系统的阶跃响应速度与b成正比，调节时间与b成反比，因此，在保证系统的合理时域指标的前提下，总是希望系统有较大的带宽。,对于一阶系统，若传递函数为,系统带宽频率,系统调节时间,对于二阶系统，若传递函数为,系统幅频特性,根据带宽频率定义，可以得到,当=0.707时，,根据调节时间,因此，,4相频宽p指相频特性G(j)等于-/2时所对应的频率。p较高，说明输入信

13、号频率较高、变化较快时，输出才能落后/2。这意味着系统反应迅速，快速性好。,5M(0)指零频率(=0)时的振幅比，具有一定幅值Ar的零频输入信号，即直流信号或常值信号，如M(0)=1，则表示系统阶跃响应的终值等于输入，静差为零。而M(0)1，表明系统有静差。所以M(0)的数值与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，M(0)越阶近于1，系统的稳态精度越高。,频带b大，峰值Mr小，M(0)1，则系统的品质好，这是由频率特性分析系统性能品质的重要准则。,四、时域性能指标的估算,利用一些统计公式和图线，可以由闭环幅频M()曲线直接估算出阶跃响应的性能指标%和ts。,时域性能指标的估算公式为,或,5.6系

14、统开环频率特性三频段的概念,对于单位负反馈系统来说，其闭环传递函数表达式为,由该表达式可以看出,系统的结构和参数惟一地取决于开环传递函数G(s)。而对于非单位负反馈系统，经过等效变换也可以得到单位负反馈的结构形式。,型系统开环对数幅频三频段曲线如图所示,一、低频段与系统稳态精度的关系,低频段通常是指对数幅频在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益的大小决定。,系统开环对数幅频低频段的斜率愈小，位置愈高，对应于系统积分环节的数目愈多，开环增益K值愈大。故其闭环系统在满足稳定的条件下，其稳态误差愈小，系统的稳态精度愈高。,因此,可以得出如下结论：,二、中频段与系统动态品质的关系,中频段是指系统开环对数幅频曲线20lg|G(j)|在截止频率c附近的区段。,系统对数幅频特性曲线中频段斜率小于-60，则很难使闭环系统稳定；若等于-40，所占频率区间不宜过宽，则闭环系统可能稳定，即使稳定，其相稳定裕度也较小，系统的平稳性较差；如果中频段斜率为-20，且占据较宽的频段区间，一般说来，不仅可以保证系统稳定，而且可以使相稳定裕度增大，取得较好的平稳性。同时以提高截止频率来保证系统要求的快速性。,工程实践中得出如下结论：,三、高频段与系统抗干扰能力的关系,高频段是指曲线在中频段以后的区段。,因此,系统开环对数幅频在高频