2010年数学试题分类汇编江苏卷

1、20102010 年数学试题分类汇编江苏卷年数学试题分类汇编江苏卷 一、填空题 1、设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意，都有，则称 S 为封闭集。下列命x,ySxy,xy,xyS 题： 集合 Sabi|（为整数， 为虚数单位）为封闭集；a,bi 若 S 为封闭集，则一定有；0S 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.STCT 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 2、设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数 a=_. 3、（本小题满分 12 分） 设a为实数，函数 22 , x f xexa xR。 ()求 f x的单调区间与极值

2、； ()求证：当ln2 1a 且0 x 时， 2 21 x exax。 4、（本小题满分 16 分） 设)(xf是定义在区间), 1 ( 上的函数，其导函数为)( xf。如果存在实数a和函数)(xh，其中 )(xh对任意的), 1 ( x都有)(xh0，使得) 1)()( 2 axxxhxf，则称函数)(xf具有性质)(aP。 (1)设函数)(xf 2 ln(1) 1 b xx x ，其中b为实数。 (i)求证：函数)(xf具有性质)(bP； (ii)求函数)(xf的单调区间。 (2)已知函数)(xg具有性质)2(P。给定 1212 ,(1,),x xxx设m为实数， 21 )1 (xmmx，

3、 21 )1 (mxxm，且1, 1， 若|)()(gg|0) 6 和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同。若 x0, 2 ，则f(x)的取值范围是 。 25、观察下列等式： cos2a=2 2 cos a-1; cos4a=8 4 cos a- 8 2 cos a+ 1; cos6a=32 6 cos a- 48 4 cos a+ 18 2 cos a- 1; cos8a=128 8 cos a- 256 6 cos a+ 160 4 cos a- 32 2 cos a+ 1; cos10a= m 10 cosa- 1280 8 cos a+ 1120 6 cos a+

4、n 4 cos a+ p 2 cos a- 1 可以推测，m n + p = 26、已知为第三象限的角， 3 cos2 5 ,则tan(2 ) 4 . 27、定义在区间 2 0 ,上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的长为_。 28、已知为第二象限的角， 3 sin 5 a ,则tan2 . 四、解答题 29、（本小题满分 12 分） 设ABC是锐角三角形，, ,a b c分别是内角, ,A B C所对边长，并且 22 sinsin() sin() sin

5、 33 ABBB 。 ()求角A的值； ()若12,2 7AB ACa A，求, b c（其中bc） 。 30、（本小题满分 14 分） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角 ABE=，ADE=。 (1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少 时，-最大？ 五、填空题 31、在等比数列 n a中,若公比q=4,且

6、前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 n a 32、函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_ 33、设an是等比数列，公比2q ，Sn为an的前 n 项和。记 * 2 1 17 ,. nn n n SS TnN a 设 0 n T为数列 n T的最大项，则 0 n= 。 34、若数列 n a满足：对任意的nN ，只有有限个正整数m使得 m an成立，记这样的m的个数为 () n a ，则得到一个新数列 () n a 例如，若数列 n a是1,2,3, n ，则数列() n a 是 0,

7、1,2,1,n ，已知对任意的Nn ， 2 n an，则 5 ()a ， () ) n a 六、解答题 35、（本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 312 2aaa，数列 n S是公差为d的等差数列。 （1）求数列 n a的通项公式（用dn,表示） ； （2）设c为实数，对满足nmknm且3的任意正整数knm,，不等式 knm cSSS都成立。求 证：c的最大值为 2 9 。 七、填空题 36、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1 124 22 yx 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦 点的距离是_ 37、已知椭圆 2 2

8、 :1 2 x cy的两焦点为 12 ,F F,点 00 (,)P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y,则| 1 PF|+ 2 PF|的取值范 围为_，直线 0 0 1 2 x x y y与椭圆 C 的公共点个数_。 38、若双曲线 2 x 4 - 2 2 y b =1(b0)的渐近线方程式为 y= 1 x 2 ，则等于 。 39、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， 且 BF2FD uu ruur ，则C的离心率为 . 八、解答题 40、（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

9、设 k 为非零实数，矩阵 M= 10 0k ,N= 01 10 ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分 10 分。 41、（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知圆 =2cos 与直线 3cos+4sin+a=0 相切，求实数 a 的值。 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。 42、（本小题满分 10 分） 设 a、b 是非负实数，求证： 3322 ()abab ab。 解析

10、 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分 10 分。 43、.选做题选做题本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答。若多做， 则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A B O C A D （本小题满分 10 分） AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C，若 DA=DC，求证： AB=2BC。 以下是答案 一、填空题 1、 解析：直接验证可知正确. 当 S 为封闭集时，因为 xyS，取 xy，得 0S，正确 对于集合 S0

11、，显然满足素有条件，但 S 是有限集,错误 取 S0，T0,1，满足,但由于 011T，故 T 不是封闭集，错误STC 2、1 解析 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1. 3、 4、解析 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨 论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 （1）(i)( )fx 2 22 121 (1) (1)(1) b xbx xxx x 1x 时， 2 1 ( )0 (1) h x x x 恒成立， 函数)(xf具有性质)(bP； (ii)（方法一）设 2 22 ( )1()1 24 bb xx

12、bxx ，( )x与)( xf的符号相同。 当 2 10, 22 4 b b 时，( )x0，)( xf0，故此时)(xf在区间), 1 ( 上递增； 当2b 时，对于1x ，有)( xf0，所以此时)(xf在区间), 1 ( 上递增； 当2b 时，( )x图像开口向上，对称轴1 2 b x ，而(0)1， 对于1x ，总有( )x0，)( xf0，故此时)(xf在区间), 1 ( 上递增； （方法二）当2b 时，对于1x ， 222 ( )121(1)0 xxbxxxx 所以)( xf0，故此时)(xf在区间), 1 ( 上递增； 当2b 时，( )x图像开口向上，对称轴1 2 b x ，方

13、程( )0 x的两根为： 22 44 , 22 bbbb ，而 22 2 442 1,(0,1) 22 4 bbbb bb 当 2 4 (1,) 2 bb x 时，( )x0，)( xf0，故此时)(xf在区间 2 4 (1,) 2 bb 上递减； 同理得：)(xf在区间 2 4 ,) 2 bb 上递增。 综上所述，当2b 时，)(xf在区间), 1 ( 上递增； 当2b 时，)(xf在 2 4 (1,) 2 bb 上递减；)(xf在 2 4 ,) 2 bb 上递增。 (2)（方法一）由题意，得： 22 ( )( )(21)( )(1)g xh x xxh x x 又)(xh对任意的), 1

14、( x都有)(xh0， 所以对任意的), 1 ( x都有( )0g x，( )g x在(1,)上递增。 又 1212 ,(21)()xxmxx。 当 1 ,1 2 mm时，且 112212 (1)(1),(1)(1)xmxm xxm xmx， 综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1） 。 （方法二）由题设知，( )g x的导函数 2 ( )( )(21)g xh x xx，其中函数( )0h x 对于任意的 ), 1 ( x都成立。所以，当1x 时， 2 ( )( )(1)0g xh x x，从而( )g x在区间), 1 ( 上单调递增。 当(0,1)m时，有 12111 (1)(1)

15、mxm xmxm xx， 12222 (1)(1)mxm xmxm xx，得 12 ( ,)x x，同理可得 12 ( ,)x x，所以由( )g x的单 调性知( )g、( )g 12 ( (), ()g xg x， 从而有|)()(gg|0，所以 m f(2 )=0，故正确；经分析，容易得出也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。 9、 二、解答题 10、（1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC。 由BCD=900，得 CDBC， 又 PDDC=D，PD、DC平面 PCD， 所以 BC平面 PCD。 因为 PC平面

16、 PCD，故 PCBC。 （2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F。 易知 DF= 2 2 ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。 （方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 ABDC，BCD=900，所以ABC=900。

17、从而 AB=2，BC=1，得ABC的面积1 ABC S。 由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 。 因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PDDC。 又 PD=DC=1，所以 22 2PCPDDC。 由 PCBC，BC=1，得PBC的面积 2 2 PBC S。 由 A PBCP ABC VV ， 11 33 PBC ShV A ，得2h ， 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。 11、（1） （方法一）（方法一）由题设知(3,5),( 1,1)ABAC ，则 (2,6),(4,4).ABACABAC 所以| 2 10

18、,| 4 2.ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。 （方法二）（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则: E 为 B、C 的中点，E（0，1） 又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2、AD=2 10； （2）由题设知：OC =(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt 。 由(OCtAB)OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt ， 从而511,t 所以 11 5 t 。 或者： 2 AB OCtOC ，(3,5),AB 2 11 5| AB OC t OC 12、(1

19、） （方法一）（方法一）由题设知(3,5),( 1,1)ABAC ，则 (2,6),(4,4).ABACABAC 所以| 2 10,| 4 2.ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。 （方法二）（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则: E 为 B、C 的中点，E（0，1） 又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2、AD=2 10； （2）由题设知：OC =(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt 。 由(OCtAB)OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt ， 从而51

20、1,t 所以 11 5 t 。 或者： 2 AB OCtOC ，(3,5),AB 2 11 5| AB OC t OC 三、填空题 13、解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2， 圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，的取值范围是（-13，13） 。 | 1 13 c c 14、【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：x+y+m=0(a,0) ，解得或-1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0） ， 22 |a-1| () +2=(a-1) 2 a=3a=3 因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。

21、3+0+m=0m=-3x+y-3=0 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆 问题的能力。 15、解析考查流程图理解。 24 12223133,输出 25 122263S 。 16、14.12 【解析】 程序运行如下: 1,2,4,5,6,8,9,10,12xxxxxxxxx, 输出 12。 【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，根据判断条件，要么几步后就会输出结果，要么就 会出现规律，如周期性，等差或等比数列型. 17、 5 4 【解析】当 x=10 时，y= 1 10-1=4 2 ，此时|y-x|=6； 当 x=4 时，y= 1

22、4-1=1 2 ，此时|y-x|=3；当 x=1 时，y= 11 1-1=- 22 ，此时|y-x|= 3 2 ； 当 x= 1 2 时，y= 115 -1=- 224 （），此时|y-x|= 3 1 4 ，故输出 y 的值为 5 4 。 【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。 18、 19、【答案】0.4 【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9xyxy 联合解得0.4y . 20、0128 【解析】由题意知，所求概率为 2 42 5 C0.80.2 =0.128。 【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学

23、们的分析问题、解 决问题的能力。 21、 31 62 p 解析考查古典概型知识。 22、 【解析】易见 123 ,A A A是两两互斥的事件，而 123 5524349 ( )| 10111011101122 P BP B AP B AP B A。 【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在 123 ,A A A是两两互斥的事件，把事件 B 的概率进行转化 123 ( )|P BP B AP B AP B A，可 知事件 B 的概率是确定的. 23、解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.80.9=0.

24、72， P（X=5）=0.20.9=0.18， P（X=2）=0.80.1=0.08， P（X=-3）=0.20.1=0.02。 由此得 X 的分布列为： X1052-3 P0.720.180.080.02 （2）设生产的 4 件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件。 由题设知4(4)10nn，解得 14 5 n ， 又nN，得3n ，或4n 。 所求概率为 334 4 0.80.20.80.8192PC 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。 24、 3 -,3 2 【解析】由题意知，2，因为x0, 2 ，所以 5 2x-, 666 ，由三角函数图象知

25、： f(x)的最小值为 3 3sin(-)=- 62 ，最大值为3sin=3 2 ，所以f(x)的取值范围是 3 -,3 2 。 25、962 【解析】因为 1 22 , 3 82 , 5 322 , 7 1282 ,所以 9 2512m ；观察可得400n ， 50p ，所以 m n + p =962。 【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。 26、 27、解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2的长即为 sinx 的值， 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 2 3 。线段 P1P2的长为 2 3 28、 24 7

26、 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了 基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为为第二象限的角,又 3 sin 5 , 所以 4 cos 5 ， sin3 tan cos4 ,所 2 2tan24 tan(2 ) 1tan7 四、解答题 29、 30、解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）tan tan HH AD AD ，同理： tan H AB ， tan h BD 。 ADAB=DB，故得 tantantan HHh ，解得： tan4 1.24 124 tantan1.24 1.20 h H

27、 。 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 （2）由题设知dAB，得tan,tan HHhHh dADDBd ， 2 tantan tan() () 1tantan() 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd () 2() H Hh dH Hh d ， （当且仅当()125 12155 5dH Hh时，取等号） 故当55 5d 时，tan()最大。 因为0 2 ，则0 2 ，所以当55 5d 时，-最大。 故所求的d是55 5m。 五、填空题 31、 n-1 4 【解析】由题意知 111 41621aaa，解得 1 1a ，所以通项 n a n-1 4。 【命

28、题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。 32、解析考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为： 2 2(), kkk yaaxa当0y 时，解得 2 k a x ， 所以 1135 ,164 121 2 k k a aaaa 。 33、4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。 2 11 2 1 17 1 ( 2) 1 ( 2) 1( 2)17( 2)16 1212 ( 2)12( 2) nn nn n nn aa T a 116 ( 2)17 12( 2) n n 因为 16 ( 2)

29、 ( 2) n n 8，当且仅当( 2)n=4，即 n=4 时取等号，所以当 n0=4 时 Tn有最大值。 【温馨提示】本题的实质是求 Tn取得最大值时的 n 值，求解时为便于运算可以对( 2)n进行换元，分子、 分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. 34、 六、解答题 35、解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证 的能力。满分 16 分。 （1）由题意知：0d ， 11 (1)(1) n SSndand 21323213 233()aaaaSSSS， 222 111 3()(2 ) ,adaad 化简，得： 22 1111 20

30、,aaddad ad 22 (1), nn Sdndnd Sn d， 当2n 时， 22222 1 (1)(21) nnn aSSn dndnd ，适合1n 情形。 故所求 2 (21) n and （2） （方法一） 222222222 mnk SScSm dn dc k dmnc k， 22 2 mn c k 恒成立。 又nmknm且3， 22 2222 2 9 2()()9 2 mn mnmnk k ， 故 9 2 c ，即c的最大值为 2 9 。 （方法二）由 1 ad及 1 (1) n Sand，得0d ， 22 n Sn d。 于是，对满足题设的knm,，mn，有 2 222222

31、 ()99 () 222 mnk mn SSmn ddd kS 。 所以c的最大值 max 9 2 c。 另一方面，任取实数 9 2 a 。设k为偶数，令 33 1,1 22 mknk，则knm,符合条件，且 22222222 331 ()(1)(1) (94) 222 mn SSmnddkkdk。 于是，只要 22 942kak，即当 2 29 k a 时， 22 1 2 2 mnk SSdakaS。 所以满足条件的 9 2 c ，从而 max 9 2 c。 因此c的最大值为 9 2 。 七、填空题 36、d=2，MF=4。 解析考查双曲线的定义。 4 2 2 MF e d ，d为点 M 到

32、右准线1x 的距离，d=2，MF=4。 37、 2,2 2 ,0 【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 12max (|)2 PFPF ， 当 P 在椭圆顶点处时，取到 12max (|)PFPF 为 ( 21)( 21) =2 2 ，故范围为 2,2 2 .因为 00 (,)xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部，则直线 0 0 1 2 x x y y 上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个. 38、1 【解析】由题意知 1 22 b ，解得 b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 39、 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、 方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析 1】如图， 22 |BFbca, xO y B F 1 D D 作 1 DDy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc, 即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由|