北京师大附中高三数学练习（4套）2020.9（通用）

1、北师大附中高三数学练习1 2020.81(+ +)的值为（ ）A1 B0 C D12= 1（0）成立的条件是（ ）A= B0 C D3若 (1 + 5x)n的展开式中，各项系数之和为an，(7x2 + 5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn，的值为（ ）A B C D4()的值等于（ ）A B C D5下列四个命题： = 0； = 0； 不存在； 设f (x ) =，则f (x ) = 0.其中不正确的是（ ）A B C D6下列函数在x = 0处连续的是（ ）Af (x ) = Bf (x ) = lnxCf (x ) = Df (x ) =7设函数f (x ) =为R上的连续函数，则a

2、等于（ ）A2 B1 C0 D18的值为（ ）A0 B C2 D不存在9已知数列an满足Sn =an1，那么(a2 + a4 + + a2n)的值为（ ）A B C2 D1210如图，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形边上再连接正方形，无限重复，设正方形的面积S1，S2，S3，三角形的面积为T1，T2，T3，当S1的边长为2时，这些正方形和三角形的面积总和为（ ）A10 B11 C12 D1311(an) = b，则a + b = .12已知Sn是公差为d0的等差数列an的前n项和，bn是公比为1d的等比数列，若b1 = a1，b2 = a1a2，b3 = a2a3，则= .13已知数列a

3、n的前n项和Sn =ban + 1，其中b是与n无关的常数，且0b1，若Sn存在，则 Sn = .14已知=，则的值是 .答案：1A； 2C； 3D；4A； 5C； 6A；7B； 8A； 9D；10A； 1110； 12；131； 14（提示：= 2， =.）.北京师大附中高三数学练习（2）2020.91设函数f (x )在x = x0处的导数不存在，则曲线y = f (x )（ ）A在点x0，f (x0)处的切线不存在 B在点x0，f (x0)处的切线可能存在C在点x0处间断 D不存在2已知函数y = x3 + ax2a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为（ ）A0 B3 C0或3

4、D非以上答案3设f (x )为可导函数，且满足=1，则过曲线y = f (x )上，点 (1，f (1)处的切线斜率为（ ）A2 B1 C1 D24函数y = 2x33x212x + 5在区间0，3上的最大值和最小值依次是（ ）A12，15 B5，15 C5，4 D4，15已知函数f (x ) = x3 + mx2 + (m + 6) x + 1既存在极大值又存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）A(1，2) B(，3)(6，+)C(3，6) D(，1)(2，+)6当x0，2时，函数f (x ) = ax2 + 4 (a1)x3在x = 2时取得最大值，则a的取值范围是（ ）A，+ B0，+

5、C1，+ D，+7曲线3x2y + 6 = 0在x =处的切线的倾斜角是（ ）A B C D8曲线y =x32在点 (1，)处切线的倾斜角为（ ）A30 B45 C60 D909已知y = 2x3ax + c在(，+)上的单调递增，则（ ）Aa0且cR Ba0且cR Ca0且c = 0 Da0且c010函数f (x ) = x3 + ax2 + bx + c，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f (x )是（ ）A增函数 B减函数 C常数 D既不是增函数也不是减函数11函数f (x ) = x42x2 + 5在区间2，3上的最大值与最小值分别是（ ）A5、4 B13、4 C68、4 D68

6、、512已知函数f (x ) = x3 + ax2 + (a + 6)x + 1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）A1a2 B3a6 Ca3或a6 Da1或a213已知函数f (x ) = x3 + ax2 + bx + a2在x = 1处有极值为10，则f (2 )等于 .14二次函数y = x2 + 2ax + b在1，+上单调递增，则实数a的取值范围是 .15某质点的运动方程是S = t3(2t1)2，则在t = 1 s时的瞬时速度为 .16函数y = 3x22lnx的单调减区间为 .17已知f (x ) = x3 + bx2 + cx + d在(，0)上是增函数，在0，2上是

7、减函数，且方程f (x ) = 0有三个根，它们分别为，2，.（1）求c的值；（2）求证：f (1 )2.18已知函数f (x ) = x44x3 + ax21在区间0，1单调递增，在区间1，2单调递减.（1）求a的值；（2）若点A (x0，f (x0)在函数f (x )的图像上，求证点A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上；（3）是否存在实数b，使得函数g (x ) = bx21的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.19有一块边长为6 m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池.

8、（1）写出以x为自变量的容积V的函数解析式V (x )，并求函数V (x )的定义域；（2）指出函数V (x )的单调区间；（3）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？北京师大附中高三数学练习2（答案）题 号123456789101112答 案BCDBBDCBAACC1318； 141，+； 151； 16(0，)；17（1）(x) = 3x2 + 2bx + c， f (x )在(，0)上是增函数，在0，2上是减函数， x = 0时，f (x )取到极大值. (0 ) 0， c = 0.（2） f (2 ) = 0， d =4 (b +2)，(x ) = 3x2 + 2bx

9、 = 0的两个根分别为x1 = 0，x2 =， 函数f (x )在0，2上是减函数， x2 =2. b3， f (1 ) = b + d + 1 = b4 (b +2) + 1 = 73b2.18（1）由函数f (x ) = x44x3 + ax21在区间0，1单调递增，在区间1，2单调递减， x = 1时，取得极大值， (1 ) = 0，( x ) = 4x312x2 + 2ax， 412 + 2a = 0 a = 4.（2）点A (x0，f (x0)关于直线x = 1的对称点B的坐标为 (2x0，f (x0)，f (2x0) = (2x0)44(2x0)3 + 4 (2x0)21= (2x

10、0)2(2x0)221=4+ a1 = f (x0)， A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上.（3）函数g (x ) = bx21的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，等价于方程x44x3 + 4x21 = bx21恰有3个不等实根，x44x3 + 4x21 = bx21 x44x3 + (4b)x2 = 0. x = 0是其中一个根， 方程x44x3 + (4b)x2 = 0有两个非零不等实根， b0且b4.19（1）设蓄水池的底面边长为a，则a = 62x，则蓄水池的容积为V (x ) = x (62x)2.由 得函数V (x )的定义域为x(0，3).（2）由

11、V (x ) = x (62x)2 = 4x324x2 + 36x，得(x ) = 12x248x + 36.令(x ) =12x248x + 360，解得x1或x3；令(x ) =12x248x + 360，解得1x3.故函数V (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间为(1，3).（3）令(x ) =12x248x + 36 = 0，得x = 1或x = 3（舍去）.此时a = 4，并求得V (1 ) = 16，由V (x )的单调性知，16为V (x )的最大值，故蓄水池的底边为4m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是16 m3.北京师大附中高三数学练习（3）一、选择题：1（04天津）

12、函数y = 2sin (2x)（x0，）为增函数的区间是（ ）A0， B， C， D，2过抛物线y = x2上的点M（，）的切线的倾斜角是 （ ）A300 B450 C600 D9003若f (x ) = ax3 + bx2 + cx + d（a0）为增函数，则（ ）Ab24ac0 Bb0，c0 Cb = 0，c0 Db23ac04函数f (x ) = x36bx + 3b在(0，1)内有极小值，则（ ）A0b1 Bb1 Cb0 D0b5方程6x515x4 + 10x3 + 1 = 0的实数解的集合中（ ）A至少有2个元素 B至少有3个元素C至多有1个元素 D恰好有5个元素6两曲线y = x2

13、 + ax + b与2y =1 + xy3相切于点(1，1)处，则a，b值分别为（ ）A0，2B1，3C1，1D1，17若f (x ) =在x = 0处可导，则a，b的值应为（ ）Aa = 2，b = 1 Ba = 1，b = 2 Ca =1，b =1 Da = 2，b =18设函数f (x ) =，则f (x )（ ）A在(，+)上单调增加 B在(，+)上单调减少C在(1，1)上单调减少，其余区间单调增加D在(1，1)上单调增加，其余区间单调减少9已知f (x )在a，b上连续，(a，b)内可导，且当x(a，b)时，有(x)0；又已知f (a )0，则（ ）Af (x )在a，b上单调增加，

14、且f (b )0Bf (x )在a，b上单调减少，且f (b )0Cf (x )在a，b上单调增加，且f (b )0Df (x )在a，b上单调减少，但f (b )正负号无法确定10设y =，则=（ ）A2x B(2 + 4x2) C(2x + x2) D(2 + 2x2)yAx111若函数y =的图像如图所示，则a的范围是（ ）A(，1) B(0，3) C(1，3) D(2，3)二、填空题：12垂直于直线2x6y + 1 = 0且与曲线y = x3 + 3x25相切的直线方程是_.13质量为5kg的物体运动的速度v = (18t3t2) m/s在时间t = 2秒时所受外力为_N.14已知偶函

15、数f (x )在(0，+)内满足 (x )0，f (0)0，则 = _.15若函数f (x ) = x33xa在区间0，3上的最大值、最小值分别为M、N，则MN的值为 .三、解答题：16是否存在这样的k值，使函数f (x ) = k2x4x3kx2 + 2x +在(1，2)上递减，在(2，)上递增.0yx17设函数y = x3 + ax2 + bx + c的图象如图所示，且与y = 0在原点相切，若函数的极小值为4，（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间。18设抛物线y = 4x2与直线y =3x的交点为A、B，点M在抛物线的AB弧上运动，设达到最大值时，点M的坐标为(p，h)（1）过

16、点(p，h)的切线方程；（2）证明：若与直线AB平行的直线截抛物线y = 4x2的弦为CD，则CD被直线x = p平分.19用总为长14.8m的钢条制成一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。20已知函数f (x ) = kx33 (k +1) x2k2 + 1（k0）.（1）若f (x )的单调减区间为(0，4)，求k的值；（2）当xk时，求证：23.北京师大附中高三数学练习3（答案）：题号1234567891011答案CBDDCDACDBC二、填空题：123x + y + 6 = 0； 1330；14； 155

17、0提示：13速度对时间的导数为加速度，即a =，F = ma.三、解答题：16解析：f (x ) = 4k2x32x22kx + 2，由题意，当x（1，2）时，(x )0当x(2，+)时，(x )0，由函数(x )的连续性可知(2 ) = 0即32k283 = 0得k =或k =.验证：当k =时，(x ) = x32x2x + 2 = (x +1)(x1)(x2).若1x2，(x )0，若x2，(x )0，符合题意，当k =时，(x ) =x32x2 +x + 2 =(x)(x2)(x)，显然不合题意综上所述，存在k =，满足题意.17解析：（1）函数的图象经过（0，0）点 c = 0，又图

18、象与x轴相切于（0，0）点，= 3x2 + 2ax + b. 0 = 302 + 2a0 + b，得b = 0 y = x3 + ax2，= 3x2 + 2ax.当xa时，0；xa时，0， 当x = a时，函数有极小值4. ，得a = 3（2）=3x26x0，解得0x2， 递减区间是（0，2）18依题，过M点MAB面积最大时的曲线切线与y = 3x平行，且=2x， 由2p = 3，得p =，此时h = 4()2 =.故过点M的切线方程为：y= 3 (x +)，即 12x4y +25 = 0.（2）略.19解：设底面一边长为x m，另一边长为(0.5 + x)m，高为h，则：则各棱长之和为：4x

19、 + 4 (0.5 + x ) + 4h = 14.8.解得：h = 3.22x. V = x (0.5 + x )(3.22x ) = 2x3 +x2 +x. =6x2 +x +.由= 0，解得x = 1或x =（舍）.又x1时，0，x1时，0，故x = 1时，Vmax = V (1) = 1.8.此时高为3.221 = 1.2.所以，高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m320【解】（1）0的解集为（0，4），故0和4是3kx26 (k + 1)x = 0的两根， 所以， k = 1.（2）要证，只要证 令，则当时， g (x )在(1，+)上递增， g (x )g (1 ) = 0，

20、即g (x )0成立，原不等式得证.北京师大附中高三数学练习（4）2020.9.171舍随机变量的期望值和方差都存在，则必有（ ）AE0 BE0 CD0 DD02设B (n，p)，若有E= 12，D= 4，则n，p的值分别为（ ）A18和 B16和 C20和 D15和3某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为（1）；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为（2）；则完成（1）、（2）这两项调查宜采用的抽样方式依次是

21、（ ）A分层抽样法、系统抽样法 B分层抽样法、简单随机抽样法C系统抽样法、分层抽样法 D简单随机抽样法、分层抽样法4某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，3，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，3，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： 7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； 5，9，100，107，111，121，180，195，

22、200，265； 11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； 30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A、都不能为系统抽样 B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样 D、都可能为分层抽样5一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成了一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.012ppp6若p为非负实数，随机变量的概率分布如图，则E的最大值为 ，D的最大值为 .7某公司有5万元资

23、金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）.8（05重庆理18）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望E.9（05湖南理18）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点

24、互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（I）求的分布列及数学期望；（II）记“函数f (x ) = x23x + 1在区间2，+上单调递增”为事件A，求事件A的概率.10（05山东理18）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.（I）求袋中原有白球的个数；（II）求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.11（05全国II理19）甲、乙两队进行一场排球

25、比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，令为本场比赛的局数，求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）.12（05广东18）葙中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s：t，现从葙中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回葙中，并继续从葙中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数.（I）求的分布列；（II）求的数学期望.北京师大附中高三数学练习4 （答案）题 号1234答 案CABD55600件； 6E= p +

26、1（0p；D=p2p +11.74560元.8【解】：解法1：（I）P = 1= 1=，即该顾客中奖的概率为.（II）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.且 P (= 0) =； P (= 10) =；P (= 20) =； P (= 50) =；P (= 60) =.故有分布列：010205060P从而期望E = 0+ 10+ 20+ 50+ 60= 16.9解：（I）分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3，由已知A1，A2，A3相互独立，P (A1) = 0.4，P (A2) = 0.5，P (A3) = 0.6.客人游览的景点

27、数的可能取值为0，1，2，3，相应地，客人没有游览所景点数的可能值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P (= 3) = P (A1A2A3) + P ()= P (A1)P (A2)P (A3) + P ()P ()P ()= 20.40.50.6 = 0.24，P (= 1) = 10.24 = 0.76，所以的分布列为13P0.760.24所以的分布列为：E= 10.76 + 30.24 = 1.48.（II）解法1：因为f (x ) = (x)2 + 1，所以函数f (x ) = x23x + 1在区间，+上单调递增.要使f (x )在2，+上单调递增，当且仅当2，即.从而P (A ) = P () = P (= 1) = 0.76.解法2：的可能取值为1，3.当= 1时，函数f (x ) = x23x + 1在区间2，+上单调递增，当= 3时，函数f (x ) = x29x + 1在区间2，+上不单调递增，所以P (A ) = P (= 1) =