《直线和平面所成的角与二面角》课件

1、9.7二面角的平面角(第一课时),二面角的定义,二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角.,二面角的画法:,平 卧 式,直 立 式,定义： 一个平面垂直于二面角l的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,O为垂足，则AOB叫做二面角的平面角。,二面角的平面角定义探索,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,平面角是直角的二面角叫做直二面角,相交成直二面角的两个平面,叫做互相垂直的平面.,用二面角的定义直接判断,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A

2、.ABP B.ACP C.都不是,2.已知棱长都为1的四面体PABC，求面PAB与面ABC的所成角。,二面角的平面角求法探索,问题1:二面角的平面角就是其中一个平面内的直线与另一个平面的所成角吗?,问题2:其中一个平面内的直线满足什么样条件的直线与另一个平面的所成角就是二面角的平面角?,二面角的平面角求法,a,用三垂线法求二面角平面的关键:找或作PO,我们把PO叫做二面角的“撑柱子”.,例 题 1:用三垂线法找二面角的平面角,D,1,C,1,B,1,A,1,D,C,B,A,例3:三棱锥pABC中，PA平面ABC，PA3，AC4，PBPCBC,求二面角APCB的大小。,P,A,B,C,F,E,例

3、 题 2,随 堂 练 习,2、如图， AB=AC=2a,BC=0.5a,将等腰三角形纸片沿BC上的高AD折成600的二面角,求二面角A-BC-D的大小.,二面角平面角的小结,1.二面角的定义;,2.二面角的平面角的求法;,谁能小结一下用三垂线求二面角的过程？其中关键是什么？,一找：找二面角的平面角，用三垂线定理求的关键在于找“撑柱子”；,二证：证明找到的角就是二面角的平面角；,三求：求出找到的平面角的大小，这里用到平面几何的一些定理。,A,O,D,例1 已知锐二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 l 的大小。,解：,过 A作 AO于O，过 A作 AD

4、 l 于D，连OD,则由三垂线逆定理得 OD l,AO=2 ，AD=4, AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离,ADO就是二面角 l 的平面角,sinADO=, ADO=60,二面角 l 的大小为60 ,在Rt ADO中，,AO AD,l,二面角B-BC-A,二面角A-BC-D,21,二面角B-AD-C,1,1,设AB=1，则,AE=3OE,练习：,例1 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。,=,=,62 + 42 + 82 + 268cos120.,=,36 + 16 +

5、 64 - 48 =,68,解：,(cm),注：,按此继续,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,由左侧进入下一环节,二面角,A,O,D,例1、已知锐二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 l 的大小。,解：,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD,则由三垂线定理得 AD l,AO=2 ，AD=4,ADO就是二面角 l 的平面角, ADO=60,二面角 l 的大小为60 ,在RtADO中，,作,证,计算,17,结论,例

6、2已知在一个60的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于AB的线段，又知AB4cm，AC6cm，BD6cm，求CD的长。,A,B,C,D,E,变：如图二面角l中，CAl于A，BDl于B，又知AB4cm，AC6cm，BD6cm，CD，求二面角l的大小。,E,如图在60的二面角l中CAl于A， BDl于B，又知AC6cm，BD6cm， CD，求CD在棱l上的射影AB的长。,例1 在三棱锥ABCD中，侧面ABC底面BCD， ABBCBD1，CBACBD120 。 ， 求二面角ABDC的大小。,同学们思考以下问题:,1.由已知条件怎样找垂线? 2.通过垂线怎样找二

7、面角的平面角.,观察总结:图中的红色部分有什么特点?,E,G,例2. 如图示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点.求 二面角 的大小.,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,P,F,E,分析:利用三垂线定理寻找二面角 的平面角,关键是如何在一个半平 面找一个点,向第二个半平面做垂 线,往往要结合所给的几何体, 找 垂直关系。,由于AB平面AD1,BD1在平面AD1上的射影为AD1，过点P作PFAD1于F,则PF平面ABD1,过F作FEBD1于E，连结PE，PEF即为二面角A_BD1_P 的平面角。,观察总结:计算在哪个图形中进行的?,练习1：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角 形，平面SAC平面ABC,SASC , M为AB的 中点证明ACSB; 求二面角SCMA的大小.,分析：证明线线垂直的思路如何？ 用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平面角？,M,E,F,练习2:三棱锥pABC中，PA平面ABC， PA3，AC4，PBPCBC, 求二面角APCB的大小。,P,A,