第二章基本方程

1、主讲人 张镭 教授 2012.9.,边界层气象学,2,第二章 基本方程,第一节 基本统计方法 变量的空间、时间和总体平均，协方差、相关及运动学通量、求和符号。 第二节 基本方程组 状态方程、质量方程、动量守恒方程、水汽守恒方程和热量守恒方程 第三节 平均、脉动方程和方差方程 第四节 闭合问题,四、湍流协方差和方差方程,有关温度、速度等平均方程中，均含有 等协方差项。 方差方程提供湍流动能和湍流强度信息， 协方差方程描述湍流通量。 I. 协方差方程 1 湍流动量通量方程 将u方程两边乘以uk，并取雷诺平均得：,将指数i和k的位置互换后，将两个方程相加，合并相关项，写成通量的形式，并求雷诺平均：

2、方程左端最后一项与连续方程合并写成通量形式：,气压项 粘滞项： 所以 最后，动量通量方程,各项的物理意义 第10项可简写为 尺度分析表明，科氏力项6、气压扩散项7和分子扩散项9通常小于其它项，可略。,2.湍流水汽通量方程 将湿度扰动方程乘u，求雷诺平均： 将速度扰动方程乘q，求雷诺平均：,略去科氏力项、气压扩散项和分子扩散项，并设q=后，将上面两个方程相加： 3. 湍流热通量方程,II. 方差方程 1 脉动速度方差方程（湍流动能方程） 以2ui乘以速度脉动方程：,利用乘积的微分规则做类似 的变换，并对整个方程求雷诺平均： 右端最后一项的雷诺平均为零； 左端最后一项可写成 耗散项,则 I II

3、III 第II项速度方差的分子扩散，它含有方差的曲率，从混合层10-6s-2到近地层10-2s-2，乘以后，量级10-11-10-7m2s-3；第III项，如穿过一个直径为1cm的湍涡，其湍涡速度变化为0.1m/s，则穿过这个湍涡的瞬时切变为10s-1，对于更小的湍涡，这个切变就更大了。该值平方乘以后，其值为10-6-10-2m2s-3之间，混合层典型值10-4-10-3m2s-3。 定义粘滞耗散率：,气压扰动项： 右端最后一项为气压再分配项，由扰动的连续方程可知这一项为零，此项不能改变总方差（三个方差分量之和），但它能从含有大能量分量中提取能量分配到小能量分量中，使湍流趋于各向同性，所以此项

4、也叫返回各向同性项。最终： 科氏力项：,科氏力不产生湍流动能，只能把能量从一个水平方向再分配到另一个水平方向，且这一项总比其它项小3个量级，即使这一项在方差和协方差方程中不为零，也往往被忽略不计。 重新整理，简化后的方差收支方程为： *2.湿度方差方程 从比湿扰动方程入手： 两边乘以2q，利用乘积的微分规则，并求雷诺平均得：,类似速度方差方程的处理，将最后一项改写，最后得： 3.脉动位温方差方程,第四节 闭合技术,一、闭合问题 1. 在湍流方程组中，未知量的个数大于方程的数量，方程组不闭合。 前述方程中，平均方程至少含有一个湍流二阶相关矩。而在引入湍流二阶项的方程中，又出现了三阶矩，方程组仍不

5、闭合。 2. 处理闭合问题：研究在哪一阶相关矩处截断，以及如何利用已知量来近似表示未知量。,如，1阶闭合：保留1阶方程，2阶矩被近似。 有些闭合假设只利用特定相关矩方程中的一部分方程，如1/2阶闭合。 3.局部闭合：空间任一点的未知量是用同一点已知量的值和（或）梯度来参数化的。 一般为2、3阶闭合。 非局部闭合：空间任一点的未知量是用空间许多点的已知量的值和（或）梯度来参数化的。 基本是1阶闭合。,二、参数化规则 无论哪一阶闭合，都要把未知湍流项作为已知量和参数的函数进行参数化。 已知量，方程被保留下来的任何量。 参数，一般为常数，在实验基础上确定的。 参数化本身是对本质的一种近似。有时由于真

6、正的物理过程尚未发现，应用参数化。或者已知的物理过程太复杂，如果经费或计算机能力有限，可应用参数化使问题变得简单。,未知量的参数化，应该在物理上是合理的。此外，还应遵循如下规则： （1）与未知量有相同的量纲 （2）有相同的张量特性 （3）有相同的对称性 （4）在坐标系任意变换下是不变的量 （5）在伽利略（即惯性或牛顿）变换下是不变量 （6）满足相同的收支方程和约束,三、闭合方案 1、0 阶闭合 0阶闭合即没有保留湍流脉动相关项。这种方法在边界层中应用很少，只有在湍流运动不占重要地位的某些大气区域内，才采用0阶闭合。 有时在求某些问题的解析解时，也用0阶闭合。,2、 1阶闭合和K理论 保留平均量的方程，二阶矩量如 等用已知量参数化。设任一变量A，类似分子传导现象有： Kji, 单位m2/s，- K理论或梯度输送理论。 仅适用于小涡输送，在大尺度湍涡中往往失败。 典型的湍流交换系数有三种：湍流动量交换系数Km，湍流热量交换系数KH和湍流水汽交换系数KE。三者量级相同，中性时，KH=KE=1.35Km。,3. 1.5阶和2 阶闭合 1.5阶闭合，保留平均风、温度、湿度一类方程，同时保留这些变量的方