刹车距离与二次函数—y=ax2与y=ax2+c图象和性质.ppt

1、九年级数学(下)第二章二次函数,2、3刹车距离与二次函数 y=ax2与y=ax2+c图象和性质,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2. 当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右 侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,你知道两辆汽车在

2、行驶时为什么要保持一定距离吗？,汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。,那么刹车距离与什么因素有关？,影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数,有研究表明，汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：,刹车距离与二次函数,想一想P42,比较函数 与 的图象,想一想P42,完成下表：,在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象(先想一想,在函数(2)中,v可以取任何值吗?为什么?),实践出真知,36,72,这两个二次函数图像有什么相同和不同？,如果行车速度是60km/h,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？,相同点：,开口方向,

3、顶点,增减性,不相同点：,形状,V/(km/h),s,-20,0,20,40,80,100,120,140,128,100,72,64,36,16,32,60,144,200,288,观察图象,回答问题串,相同点： (1)它们都是抛物线的一部分； (2)二者都位于y轴的右侧. (3)函数值都随x值的增大而增大.,(1)两个图象有什么相同与不同?,不同点： (2)的图像在(1)的图象的内侧. (2)的s比(1)中的S增长速度快 .,在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象,做一做P44,(1)完成下表：,(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象,函数y=ax2(a0)的图象和性质,y=

4、2x2,y=x2,二次函数y=2x2的图象是什么形状？,抛物线,二次函数y=2x2的图象与y=x2的图象有什么相同和不同？,相同点：,2、开口方向,3、对称轴,4、顶点,5、增减性,不相同点：,1、 抛物线,形状,二次项系数a0,开口都向上; 对称轴都是y轴;增减性也 相同.,顶点都是 原点(0,0).,二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.,(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,只是开口 大小不同.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?,二

5、次项系数a0,开口都 向下;对称轴都是y轴;增 减性与也相同.,顶点都是 原点(0,0).,二次函数y=-2x2的 图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.,(4)二次函数y=-2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=-x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,只是开口 大小不同.,请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减

6、小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,4. 越大,开口越小, 越小,开口越大.,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最

7、大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象.,议一议P45,二次函数y=2x+1的图象与二次函数y=2x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,函数y=2x2+1的图象是什么形状? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=2x2的图象有什么相同和不同?,y,o,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,

8、3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y=2x2+1,我思，我进步,议一议P45,5,y=2x2+1,y=2x2,二次函数y=2x2+1 与y=2x2 的图象有什么关系？,二次函数y=2x2+1的图象可以由y=2x2的图象向上平移一个单位得 到,函数,y=2x2+1,y=2x2,开口方向,向上,向上,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0，0）,（0，1）,二次函数y=2x2+1 与y=2x2 的图象形状相同，只是位置不同。,y = 2x 2 -1呢?,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样?,二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都

9、是 y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).,二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.,二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同; 最大值不同: 分别是1和0.,想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?,我思，我进步,在同一坐标系中作出二次函数y=3x-1的图象与二次函数y=3x的图象.,议一义P45,二次函数y=3x一l的图象与二次函数y=3x的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是

10、什么?,0.25.,0.5.,0.75.,1.,y,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2,你知道 函数y=3x2-1的大致图象和位置吗?,我思，我进步,议一义P45,0.25.,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2-1,二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到,0.25.,0.5.,0.75.,1.,y,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2,y=3x2-1,二次函数y=3x2-1与y=3x2 的图象有什么关系？,二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一个单位得到,函数,y=

11、3x2-1,y=3x2,开口方向,向上,向上,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0，0）,（0，-1）,二次函数y=3x2-1与y=3x2 的图象形状相同，只是位置不同。,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样?,二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.,顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).,二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.,二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,位置不同;

12、 最大值不同: 分别是0和-1.,请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.,二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？,二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象 当c 0 时 ，向上平移c个单位得到. 当c 0 时 ，向下平移-c个单位得到.,函数,y=ax2+c,y=ax2,开口方向,a0时,向上,a0时,向下,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0,0）,（0,c）,a0时,向上,a0时,向下,上正下负,我思，我进步,议一义P45,0.25.,0.5.,0.75.,1.,y,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2,y=-3x2,函数,y=-3x2,

13、y=3x2,开口方向,向上,向下,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0，0）,（0，0）,二次函数y=3x2与y=-3x2的图像有什么关系？,两图象关于x轴对称，也关于原点对称,二次函数y=3x2与y=-3x2的图像有什么相同点和不同点？,相同点：,形状,对称轴,顶点坐标,不同点：,开口方向,增减性,二次函数y=ax2与y=-ax2的图象有什么关系？,形状相同，开口相反,相同的对称轴y轴,相同的顶点 （0，0）,二次函数y=ax2与y=ax2的图象既关于x轴对称，又关于原点对称。,增减性有区别,2,二次函数y=ax2+c的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,

14、顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1. 如图，请找出下列函数所对应的图象： 1). 图象为 2). 图象为 3). 图

15、象为 4). 图象为,2. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 得到的. 它的对称轴是 , 顶点坐标是 ,在x0时.y值随x的增大而 ； 与x轴有 交点。,y轴,沿Y轴向上平移5个单位,（0，5）,增大,2个,小试牛刀,心动不如行动,3.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向 _ 平移 个单位. 4.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为 . 5.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ） _（在，不在）y=ax2+a的图象上. 6. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则 K_,下,1,y=-3x2-2,

16、在,0.5,小试牛刀,心动不如行动,7. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）,B,小试牛刀,心动不如行动,函数y=ax2+a与y= （a0)在同一坐标系 中的大致图象是（ ）,y,A.,C.,D.,D,小试牛刀,心动不如行动,9、某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.,y,小试牛刀,心动不如行动,二次函数y=ax+c与=ax的关系,1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(

17、大或小)值. (4)a0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y 都随 x的增大而增大. a0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x 的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0. 3.联系: y=ax+c(a0) 的图象可以看成y=ax的图象沿y轴整体平 移|c|个单位得到的.(当c0时向上平移;当c0时,向下平移).,回味无穷,二次函数y=ax2与y=ax2+C的图象有什么关系？,二次函数y= ax2+C的图象可以由 y=ax2 的图象向上（C 0)平移|C|个单位或向下(C0)平移|C|个单位得到,函数,y=ax2+C,y=ax2,开口方向,a0时,向上,a0时,向下,对称轴,y轴,y轴