复数与复平面

1、,复变函数与积分变换,以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。,研究对象,复变函数的起源,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。,复变函数的起源,1、16世纪意大利米兰学者Cardan在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。,复变函数的起源,2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔

2、，他在几何学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。,复变函数的起源,2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在几何学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。,复变函数的起源,3、数系中发现一颗新星虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。,复变函数的起源,4、瑞士数学大师欧拉（17071783）说；“一切形如，-1，-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这

3、类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”,复变函数的起源,5、法国数学家达朗贝尔在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+ib的形式（a、b都是实数。 6、法国数学家棣莫佛（16671754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。,7、欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在微分公式（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。,复变函数的起源,8、挪威的测量学家成塞尔在1779年试图给于

4、这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。,复变函数的起源,9、德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。,复变函数的起源,复变函数的起源,10、高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合。,复变函数的起源,统一于表示同一复数的代数式和三角式两种

5、形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。,经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。,复变函数的起源,随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，

6、并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。,复变函数的起源,复变函数的应用,1、系统分析、信号分析； 2、流体力学； 3、反常积分； 4、量子力学； 5、相对论； 6、应用数学。,第一章 复数与复变函数,第一讲 复数及复平面,学习要点,掌握复数的意义及代数运算,掌握复平面与复数的表示方法,掌握复数的乘幂与方根,1 复数及其代数运算,1. 复数的概念,复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part),一般, 任意两个复数不能比较大小。,复数相等,2. 四则运算,z1=x1+iy1与

7、z2=x2+iy2的和、差、积和商为：,z1z2=(x1x2)+i(y1y2),z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。,共轭复数的性质,定义 若z=x + iy , 称z=x - iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),3. 共轭复数,解：,2 复数的几何表示,1. 点的表示,横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。,2. 向量表示法,z=0时，幅角无意义。,幅角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加p。,当z落于第三象限时，减p .,根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式,3. 三角表示法,可以用复数的模与辐角来表示非零复数z,4. 指数表示法,例1,例2,例3,例1,解：,例2,解：,例2,解：,例3,证明：,例3,证明：,3 复数的乘幂与方根,1. 复数的乘积与商,利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法,定理：,对除法，有,将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,乘法的几何意义,例1,解：,2. 复数的