新课标版高考数学复习题库考点23双曲线

1、 考点 23 双曲线 考点 23 双曲线 1.（2010安徽高考理科5）双曲线方程为 22 21xy，则它的右焦点坐标为（ ） （A） 2 ,0 2 （B） 5 ,0 2 （C） 6 ,0 2 (D) 3,0 【命题立意】本题主要考查双曲线方程及其中系数的几何意义，考查考生对双曲线方程的理解认知水 平 【思路点拨】方程化为标准形式确定半实轴长a和半虚轴长b由 22 cab求c 确定右焦点坐标 【规范解答】选 C.双曲线方程为 22 21xy，即 22 xy -1, 1 1 2 1a ， 2 2 b ，得 2222 26 1() 22 cab， 它的右焦点坐标为 6 ,0 2 ，故 C 正确.

2、2.（2010浙江高考理科8）设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点.若在双 曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的 渐近线方程为（ ） （A）340 xy （B）350 xy （C）4 30 xy （D）5 40 xy 【命题立意】本题考查圆锥曲线的相关知识，考查双曲线的基础知识，解题的关键是熟练掌握双曲线的 定义、渐近线的求法. 【思路点拨】本题利用条件 212 PFFF及双曲线的定义，构造三角形解题. 【规范解答】选 C.由题意作图如下. 212 | | 2PFFFc

3、.作 F2QPF1于 Q，则 2 F Q为线段 1 FP的垂直平分 线， 且 2 | 2F Qa. 1 | | 2FQPQb， 2 44 (,) bab Pc cc .代入双曲线方程得 2 22 22 44 ()() 1 bab c cc ab ， 即 2224 22 (4)16 1 bca a c .把 222 abc代入得 2224222 (3)16()baaaab， 即 2222 (169)()0abab， 22 1690ab， x y O 1 F 2 F P Q 2c 2a 2b 2b 4 3 b a ，渐近线方程为 4 3 yx ，即430 xy. 【方法技巧】 （1）涉及到圆锥曲线

4、上的点到焦点的距离时用定义解题比较方便.（2）求双曲线的渐近线时 可令 22 22 0 xy ab ，解出渐近线方程. 3.（2010辽宁高考理科9）设双曲线的个焦点为 F，虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲 线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） (A) 2 (B)3 (C) 31 2 (D) 51 2 【命题立意】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了两直线垂直的条件，双曲线的离心率. 【思路点拨】 【规范解答】选 D.不妨设双曲线方程为焦点 F（c,0）,虚轴端点 B（0，b）,则渐近 线方程为 b yx a ，直线 BF 的斜率 0 0 bb k cc ,()1 bb

5、 ac ,即 2 ,bac 22 ,caac两边同时除以 2 a可得 2 10ee ，解得 5 1 2 e . 4.（2010浙江高考文科10）设 O 为坐标原点， 1 F, 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab （a0，b0）的焦点， 若在双曲线上存在点 P，满足 1 FP 2 F=60，OP=7a,则该双曲线的渐近线方程为（ ） （A）x3y=0 （B）3xy=0 （C）x2y=0 （D）2xy=0 【命题立意】本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何 性质、渐近线方程以及斜三角形的解法，属中档题. 【思路点拨】本题先利用双曲线的定义式 12

6、| 2PFPFa及相关三角形知识，可解出, ,a b c间的关系， 再求渐近线方程. 【规范解答】选 D.如图所示，作点 P 关于原点的对称点P，则四边形 12 PFP F为平行四边形， 12 | |P FPF，| 2| 2 7P POPa. 00 121 60 ,120FPFPFP 00 121 60 ,120FPFPFP. 在 1 PFP中，由余弦定理，得 222 1111 | 28PFP FPFP Fa， 1112 | | 2PFP FPFPFa， 2 12 | 8PFPFa.与 12 | 2PFPFa联立解得 12 | 4 ,| 2PFa PFa，在 12 PFF中， 0 1212 6

7、0 ,| 2FPFFFc 0 1212 60 ,| 2FPFFFc，由余弦定理得 2222 41648caaa， 22 3ca， 22 2ba，2 b a ， 渐近线方程为20 xy. 5.（2010天津高考理科5）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是 y=3x,它的 x y P 2 F 1 F P O 一个焦点在抛物线 2 24yx的准线上，则双曲线的方程为 ( ) （A） 22 1 36108 xy （B） 22 1 927 xy （C） 22 1 10836 xy （D） 22 1 279 xy 【命题立意】考查双曲线、抛物线的方程和几何性质. 【思

8、路点拨】根据双曲线的渐近线方程和焦点列方程组，求出 2 a和 2 b. 【规范解答】选 B.由题意可得 所以双曲线方程为 22 1 927 xy . 6.（2010福建高考理科7）若点 O 和点 F（-2，0）分别为双曲线的中心和左焦 点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP 的取值范围为（ ） (A)32 3,) (B)32 3,) (C) 7 ,) 4 (D) 7 ,) 4 【命题立意】本题主要考查求解双曲线的方程以及以平面向量为背景的最值的求解,属中档题. 【思路点拨】先求出双曲线的方程，设 P 为动点，依题意写出OP FP 的表达式，进而转化为求解条件最 值的问题，利用二次函

9、数的方法求解. 【规范解答】选 B. 22 14,3, aa双曲线的方程为 2 2 1 3 x y.设 000 ,3P xyx， 则 22 22 00 00 11 33 即 xx yy， 22 22 00 00 11 33 即 xx yy， 2 000 2 OP FPxxy 2 00 4 21 3 xx 2 0 437 344 x.又 0 3x，当 0 3x时， min 32 3 OP FP. 7.（2010海南高考理科T12） 已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交 于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(- 12,-15),则 E 的方

10、程为（） （A） 22 1 36 xy （B） 22 1 45 xy （C） 22 1 63 xy （D） 22 1 54 xy 【命题立意】本小题主要考查了直线和圆锥曲线的位置关系. 【思路点拨】根据题意可先设出双曲线的方程，然后列方程组进行求解. 【规范解答】选 B.由于 AB 的中点为 N(- 12,-15)，所以直线l的斜率 150 1 123 k ，所以直线l的方程 为3yx.由于 F(3,0)是 E 的焦点，可设双曲线的方程为 22 1(0) 9 xy a aa ， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由 因为 AB 的中点为 N(- 12,-15)，所以 12 6

11、 24 92 a xx a ，解得4a ，故选 B. 【方法技巧】先根据题意设出双曲线的方程，再利用根与系数的关系，列出两根之和满足的等式，然后利 用中点坐标求出参数，进而解决相关的问题. 8.（2010福建高考文科3）若双曲线 2 x 4 - 2 2 y b =1(b0)的渐近线方程式为 y= 1 x 2 ，则等 于 . 【命题立意】本题考查双曲线的渐近线方程. 【思路点拨】焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 b yx a . 【规范解答】双曲线的渐近线方程为 【答案】1 【方法技巧】1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的 1 换成 0， 即可得两条直线

12、的方程， 如双曲线 22 22 1 (0,0) xy ab ab 的渐近线方程为 22 22 0 (0,0) xy ab ab ， 即x a b y； 双曲线 22 22 1 (0,0) yx ab ab 的渐近线方程为 22 22 0(0,0) yx ab ab ， 即 a yx b . 2.如果双曲线的渐近线为0 b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0( 2 2 2 2 b y a x . 9.（2010天津高考文科3）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是3yx， 它的一个焦点与抛物线 2 16yx的焦点相同，则双曲线的方程为 . 【命题立意】考

13、查双曲线、抛物线的方程和几何性质. 【思路点拨】根据双曲线的渐近线方程和焦点，列方程组，求出 2 a和 2 b. 【规范解答】由题意可得 所以双曲线方程为 22 xy 1 412 . 【答案】 22 xy 1 412 10.（2010江苏高考6）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1 124 22 yx 上一点 M 的横坐标为 3， 则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为_. 【命题立意】本题考查双曲线上点的坐标的求法，双曲线的焦点坐标以及两点间距离公式的应用. 【思路点拨】 【规范解答】15MM由题意知，点的坐标为 （3，）15MM由题意知，点的坐标为 （3，）,双曲线的右焦点坐标为 F2

14、（4，0）. 由两点间的距离公式得 2222 22121 ()()(34)(150)4.MFxxyy 2222 22121 ()()(34)(150)4.MFxxyy 【答案】4 11.（2010北京高考理科3）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2，焦点与椭圆 22 1 259 xy 的焦 点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ，渐近线方程为 . 【命题立意】本题考查双曲线与椭圆的基础知识. 【思路点拨】先由椭圆方程求出焦点坐标，再利用离心率求a，利用 22 bca求b.令 22 22 0 xy ab 求 渐近线方程. 【规范解答】由题知双曲线的焦点为( 4,0),(4,0)，4c

15、 ，离心率2 c e a ，2a， 22 2 3bca ，双曲线方程为 22 1 412 xy .令 22 0 412 xy ，得渐近线方程为 【答案】 （4，0） 求 M 的坐标求右焦点坐标利用两点的距离公式求解 12.（2010山东高考理科21） 如图，已知椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 2 ，以该椭圆上 的点和椭圆的左、 右焦点 12 ,F F为顶点的三角形的周长为4( 21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， 设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为 （1）求椭圆和双曲线的标准方程. （2）设直线 1 PF， 2

16、PF的斜率分别为 1 k， 2 k，证明 12 1k k . （3）是否存在常数，使得ABCDAB CD恒成立？ 若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【命题立意】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线 的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试 题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题（3） 是一个开放性问题，考查了考生的观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】 (1)根据离心率和周长构造含有cba,的方程组，可求出椭圆的方程，再根据双曲线为等轴双 曲线，且顶点是该椭圆的焦点可求双曲线的方程.（2）设出点 P 的坐标，再将 21,k k用点

17、P 的坐标表示， 并利用点 P 在双曲线上进行化简.（3）设直线 AB 的斜率为k，则由（2）的结果可将直线 CD 的斜率用k 表示，然后写出直线 AB 与 CD 的方程，利用弦长公式将AB与CD表示出来，最后将用k表示出来， 通过化简可判断是否为常数. 【规范解答】 （1）由题意知，椭圆离心率为 c a 2 2 ，得2ac.又22ac4( 21)，所以可解得 2 2a ，2c ，所以 222 4bac，所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy ，所以椭圆的焦点坐标为 （2，0）.因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 22 1 44 xy . （2）设点 P

18、（ 0 x， 0 y） ，则 1 k= 0 0 2 y x ， 2 k= 0 0 2 y x ，所以 12 k k 0 0 2 y x 0 0 2 y x = 2 0 2 0 4 y x .又点 P（ 0 x， 0 y）在双曲线上，所以有 22 00 1 44 xy ，即 22 00 4yx，所以 12 k k 2 0 2 0 4 y x =1. （3）假设存在常数，使得ABCDAB CD恒成立，则由（2）知 12 1k k .设直线 AB 的斜率 为 k，则直线 CD 的斜率为所以直线 AB 的方程为(2)yk x，直线 CD 的方程为 1 , k 由方程组 22 (2) 1 84 yk x

19、 xy ， 消 y 得： 2222 (21)8880kxk xk.设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 则由根与系数的关系得： 2 12 2 8 , 21 k xx k 2 12 2 88 , 21 k x x k . 所以|AB|= 22 1212 1()4kxxx x= 2 2 4 2(1) 21 k k .同理可得 |CD|= 2 2 4 2(1) 2 k k . 又因为ABCDAB CD，所以有 = 2 2 333 2 84 2(1) k k ，所以存在常数 3 2 8 ，使得ABCDAB CD恒成立. 【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题 1.基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形)是否存在或某一结论是否成立. 2.基本策略：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出 矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.或者将该问题涉及的几何 式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的. 13.（2010广东高考理科20） 已知双曲线 2 2 1 2 x y的左、右顶点分别为 A1,A2，点 P 11 ( ,)p x y， 11 ( ,)Q xy是双曲线上不同的两个动点， （1）求直线 A1P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程式.