人教大纲版高考数学题库考点22简单多面体与球

1、 考点 22 简单多面体与球考点 22 简单多面体与球 1.（2010四川高考理科11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面 ，垂足为B，BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC,AD 分别与球面交于点M，N，那么M,N两点间的球面距离 是（ ） （A） 17 arccos 25 R （B） 18 arccos 25 R （C） 1 3 R （D） 4 15 R 【命题立意】 本题考查了两点间的球面距离（即求弧长） 问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识， 考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力. 【思路点拨】 欲求M,N两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求MON的弧度数，

2、进而转化为求 线段MN的长度.题目中所给条件大多集中在BCD内， 故探求MN与CD的数量关系. 【规范解答】选 A . 连结BM，AB为球O的直径， BMAC， 在Rt ABC中， 22 2 ,5ABR BCR ACABBCR 由射影定理可得 2 2 5 5 BC BCCM CACMR CA .则 4 5 5 AMACCMR. 同理，连结BN,则ABMABN,则ANAM,又ACAD, MNCD. 4 5 MNAM CDAC , 即 44 55 MNCDR. 在三角形MON中, OM=OM=R, 4 5 MNR利用余弦定理可得： 222 17 cos= 225 OMONMN MON OM ON

3、， 17 arccos 25 MON , M,N 两 点 间 的 球 面 距 离 为 . 17 Rarccos 25 2.（2010全国卷理科12） 已知在半径为 2 的球面上有 A， B， C， D 四点， 若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为（ ） (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考 生的空间想象能力及推理运算能力. 【思路点拨】当ABCD时体积最大，选择合适的底和高，利用三棱锥体积公式求解. 【规范解答】选 B.方法一： 当ABCD时，

4、体积最大，如图： 过CD作平面PCD，使ABPCD 平面, 交AB与点P,设点P到CD的距离为h, 则有 1112 22 3323 PCDABCD h VSABh 四面体 ,当直径通过 AB与CD的中点时, 22 max 2 212 3h,故 max 4 3 3 V. 方法二：如图：当异面直线AB与CD间的距离最大，且ABCD时， 四面体ABCD的体积最大，分别取AB与CD的中点E，F， 连结EF，此时球心O为线段EF的中点，则 222 22 212 3EFOAAE . 1114 3 2 2 32 3323 A BCDECD VSAB . 3 （2010湖北高考理科13） 圆柱形容器内盛有高度

5、为 8 cm 的水，若放入三个相同的球 （球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是 _cm. 【命题立意】本题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力 【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为 8cm 的水的体积即为 3 个球的体积和。 【规范解答】设球的半径为r，则圆柱形容器的高为 6r，容积为 23 66rrr，高度为 8cm 的水的体 积为 2 8 r，3 个球的体积和为 33 4 34 3 rr，由题意 3 6 r- 2 8 r= 3 4 r解得4r . 【答案】4 4. （2010江西高考文科）长方体 1111 ABCDABC D

6、的顶点 均在同一个球面上， 1 1ABAA，2BC ，则A，B两点间 的球面距离为 . 【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识，考查多面体与球体的内接 问题，考查球面距离问题，考查空间想象力 1 A 1 B 1 C 1 D A D CB 【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径，再求球心角，最后由弧长公式求两点间的球面距离. 【规范解答】设球的半径为R，则 . 1 , 2)2(112 222 1 RACR设球心为O，则 2 1 12 1 1 2 2 cos 2 2 2 22 R ABR AOB，所以, 3 AOB所求 A,B 两点间的球面距离为. 3 【答案】 3 5. （2010上海高考理

7、科2）如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O,剪去 AOB,将剩余部分沿 OC,OD 折叠，使 OA,OB 重合，则以 A（B）,C,D,O 为顶点的四面体的体积 为 【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法 【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状，再由体积公式求体积 【规范解答】折叠后的图形如图所示, ,BOOC AOOD，( )A B OCOD 平面. AO为四面体( )A BCOD的高， A AO OO OC CO OD D 2 2 1 1 3 3 1 1 A AO OS S 3 3 1 1 O OC CD DC CD DO O-

8、 -A A 四四 面面 体体 V V 3 3 2 28 8 2 22 22 22 22 22 2 2 2 1 1 3 3 1 1 【答案】 8 2 3 【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后，变与不变的量一般在折线同侧的量（包括角和距离）不 变，跨过折线的量要改变 6.（2010上海高考文科6）已知四棱锥PABCD的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA 底面 ABCD，且8PA ，则该四棱锥的体积是 【命题立意】本题考查棱锥的体积公式的应用，属容易题 【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解 【规范解答】 111 6 6 896 333 ABCDP ABCD VShSPA 正方形四棱锥底 =

9、96. 【答案】96 7. （2010上海高考文科20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架， 总计耗用 9.6 米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底 面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）; (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑 骨架等因素）. 【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值、几何体的三 视图等相关知识. 【思路点拨】 （1）建立S关于r的函数，根据函数的性质求最值；

10、 （2）确定几何体的有关数据后，按三视图的要求画图 【规范解答】 （1）设圆柱形灯笼的高为h，则4(42 )9.6rh，所以1.22hr 所以 22 22(.22 )SSSrrhrrr 侧底 (1.2-2r) 2 2.43rr(00.6)r 所以，当4 4 . . 0 0 ) )3 3( (2 2 4 4 . . 2 2 r r时 S 有最大值 最大值为5 51 1. . 1 1) )4 4 . . 0 0( (3 34 4 . . 0 04 4 . . 2 2 2 2 （平方米） （2）由（1）知0.3r 时，0.6h 其正视图与侧视图均为边长是 0.6 的正方形，俯视图是半径为 0.3 的

11、 圆如图： 8. （2010重庆高考文科20）如题图，四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，PAABCD 底面，2PAAB， 点E是棱PB的中点. （1）证明：AEPBC 平面； （2）若1AD ，求二面角BECD的平面角的余弦值. 【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查余弦定理及其应用，考查空间向 量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合 的思想，考查转化与化归的思想. 【思路点拨】 （1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直， （2）作出二面角的平面角，再利用三角函数、 余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐

12、标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函 数值. 【规范解答】 方法一：（1） 如图所示，由PAABCD 底面得PAAB.又 PAAB知PAB为等腰直角三角形，而点E是棱PB的中点， 所以AEPB. 由题意知BCAB，又AB是PB在面ABCD内的射影，由三垂线定理得 BCPB， 从 而BCPAB 平面， 故BCAE。 因 为AEPB， AEBC，PB BC=B 所以AEPBC 平面. （2）由（1）知BCPAB 平面，又ADBC，得ADPAB 平面，故ADAE.在Rt PAB中， 2PAAB，所以 22 11 1 22 AEPBPAAB， 所以在Rt DAE中， 22 2DEAEA

13、D.在Rt CBE中， 22 2CEBEBC， 又2CD ，所以CDE为等边三角形.取CE的中点F,连结DF,则DFCE. 因1BEBC，且BCBE，则EBC为等腰直角三角形，连结BF，则BFCE， 所以BFD为所求的二面角的平面角.连结BD，在BFD中， 6 sin 32 DFCD ， 12 22 BFCE, 22 3BDBCCD，所以 222 cos 2 DFBFBD BFD DF BF 3 3 ，故二面角BECD的平面角的余弦值为 3 3 . 方法二：（1）以A为坐标原点， 射线,AB AD AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系Axyz.如图所示. 设(0, ,0)D

14、a，则B,0,0)2(，C( 2, ,0)a，P)2(0,0,，E) 2 2 ,0, 2 2 (。于是 22 AE(,0,) 22 ，BC(0, ,0)a ，PC( 2, ,2)a ，则0,0AE BCAE PC uu u r uu u ruu u r uu u r ， 所以,AEBC AEPC uu u ruu u r uu u ruu u r ，故AEPBC 平面. （2） 设平面 BEC 的法向量为 1 n ，由（） 知，AEBEC 平面，故可取 1 22 nEA0 22 （， ，）.设 2 ) 2 - 平 面 DEC 的 法 向 量 2222 ,nxyz （）， 则 22 0,0nDC

15、nDF u u r uuu ru u r uuu r ， 由AD1 ， 得 D）,1,00（，DE0 C）,1,02（， 从而）,0,02（DC ， 22 DE, 1, 22 （-），故 2 222 0 22 0 22 x xyz ，所以 2 0 x ， 22 2zy， 可取 2 1y ，则 2 012n （ ， ， ），从而 12 12 12 3 cos, 3 n n n n n n . 【方法技巧】 （1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题. 9. （2010重庆高考理科9） 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，PAABCD 底面， 6P

16、AAB，点E是棱PB的中点. （1）求直线AD与平面PBC的距离； （2）若3AD ，求二面角AECD的平面角的余弦值. 【命题立意】 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三垂线定理等， 考查线面距离的求法、 二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、 运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想方法、转化与化归的能力. 【思路点拨】 （1）把直线到平面的距离转化为点到平面的距离， 寻找过此点与平面垂直的直线；（2）作出二面角的平面角， 再根据三角函数、余弦定理等求解. 【规范解答】方法一：（1）如图 1，在矩形ABCD中， ADBC，从而AD平面PBC，故求直线

17、AD与平面PBC的距离就是点A到平面PBC的距离.因 为PAABCD 底面，所以PAAB， 由PAAB知PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点.故AEPB，又在矩形ABCD中， BCAB，而AB是PB在底面ABCD上的射影，由三垂线定理得BCPB，从而BCPAB 平面， 故BCAE，从而AEPBC 平面，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.在Rt PAB中， 6PAAB，所以 22 11 3 22 AEPBPAAB，即直线AD与平面PBC的距离是3. （2） 过点D作DFCE，交CE于F，过点F作FGCE，交AC于点G，则DFG为所求二面 角 的 平 面 角 . 因 为BCPAB

18、平面， 又ADBC， 得ADPAB 平面， 故ADAE， 从 而 22 6DEAEAD，在Rt CBE中， 22 6CEBEBC，又因为6CD ，所以 CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且 3 2 sin 32 DFCD . 因为AEPBC 平面，故AECE，又FGCE，知 1 2 FGAE且FGAE，从而 3 2 FG ，且 G点为AC的中点.连结DG，则在Rt ADC中， 22 113 222 DGACADCD.所以 222 6 cos 23 DFFGDG DFG DF FG . 方法二：（I）如图 2，以A为坐标原点， 射线,AB AD AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立空间

19、直角坐标系Axyz.设(0, ,0)Da， 则( 6,0,0)B， 6, ,0Ca， 66 (0,0 6),(,0,) 22 PE, 因此 66 (,0,),(0, ,0) 22 AEBCa , ( 6, ,6)PCa ， 则0,0AE BCAE PC uu u r uu u ruu u r uu u r ， 所以AEPBC 平面， 又因为ADBC， 所以AD 平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为3AE . （ 2 ） 因 为 AD3AD ， 则(0, 3,0),( 6, 3,0)DC， 设 平 面AEC的 法 向 量 为 1111 ( ,)nx y z ，

20、则 11 0,0nACnAE u r uuu ru r uu u r ，又 66 ( 6, 3,0),(,0,) 22 ACAE ，所以 11 11 630 66 0 22 xy xz ， 所以 1111 2 ,yx zx ，取 1 2x ，则 1 (2, 2, 2)n .2,2) 设平面EDC的法向量 2222 (,)nxyz ，则 22 0,0nDCnDE u u r uuu ru u r uuu r .又 66 ( 6,0,0),(,3,) 22 DCDE ，所以 2 222 0 66 30 22 x xyz ，所以 222 0,2xzy，取 2 1y ， 则 2 (0,1,2)n .所

21、以 12 12 12 6 cos, 3 n n n n n n u r u u r u r u u r u r u u r， 所以二面角AECD的平面角的余弦值 为 6 3 . 【方法技巧】 （1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题，并 体会法向量在求空间角中的作用. 10. （2010江西高考文科）如图，BCD与MCD 都是边长为 2 的正三角形， 平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，2 3AB . （1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小； （2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值. 【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面

22、面 垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算， 考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。 【思路点拨】本题主要有两种方法，方法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解； （2）对二面角的求法思路， 一般是分三步“作” ，“证” ，“求”. 其中“作”是关键， “证” 是难点.方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求 解. 【规范解答】方法一：（1）如图：取CD中点O，连结,OB OM， 则OBCD，OMCD. D M C B A 又平面MCD 平面BCD,则MO平面BCD，所以MOAB，

23、A，B，O，M共面.延长AM，BO相交于E，连结 CE,DE,则AEB就是AM与 平面BCD所成的角. OB=MO=3，MOAB，则 1 2 EOMO EBAB ，3EOOB，所以2 3EBAB，故45AEB . （2）CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形. 作BFEC于F，连结AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为. 因为BCE=120，所以BCF=60. sin603BFBC ， tan2 AB BF ， 2 5 sin 5 所以，所求二面角的正弦值是 2 5 5 . 方法二：取CD中点O，连结OB，OM，则OBCD，OM

24、CD，又平面MCD 平 面BCD, 则MO平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空 间直角坐标系如图. OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，M（0，0，3） ， B（0，-3，0） ，A（0，-3，23） ， （1）设直线AM与平面BCD所成的角为. 因AM （0，3，3） ，平面BCD 的法向量为(0,0,1)n .则有 32 sincos, 26 AM n AM n AMn ，所以45 . （2）( 1,0, 3)CM ，( 1,3,2 3)CA . 设平面ACM的法向量为 1 ( , , )nx y z ，由 1 1 nC

25、M nCA 得 30 32 30 xz xyz . y x M D C B O A z 解得3xz，yz，取 1 ( 3,1,1)n .又平面BCD的法向量为(0,0,1)n ， 则 1 1 1 1 cos, 5 n n n n nn 设所求二面角为，则 2 12 5 sin1 () 55 . 11. （2010江西高考理科）如图，BCD与MCD都是边长为 2 的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，2 3AB （1）求点A到平面MBC的距离； （2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 【命题立意】本题考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间中点面距离

26、，考 查二面角的求解以及几何体的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间 想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。 【思路点拨】本题主要有两种方法， 方法一：几何法（1）将点面距离问题转化为体积相等的问题，降低直接求解的难度；（2）对二面角的求 法思路， 一般是“作” ，“证” ，“求”. 其中“作”是关键， “证”是难点. 方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量，借助于法向量求解，使问题变得简单. 【规范解答】方法一：（1）取CD中点O，连结,OB OM， 则3,OBOMOBCD MOCD 又平面MCD 平面BCD，则MOBCD 平面， 所以MO/AB

27、，MO/平面ABC ,M O到平面ABC的距离相等 作OHBC于H，连结MH，则MHBC 求得 3 sin60 2 OHOC ， 22 315 ( 3)() 22 MH 设点A到平面MBC的距离为d，由 A MBCMABC VV 得 11 33 MBCABC SdSOH 即 1 1151 13 22 2 3 3 223 22 d ，解得 2 15 5 d （2）延长,AM BO相交于E，连结CE，DE，CE是平面 ACM与平面BCD的交线 由（1）知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形 作BFEC于F，连结AF，则,AFECAFB就是二面角 AECB的平面角，设为 因为120BCE ，所以

28、60BCF 2sin603BF , 2 5 tan2,sin 5 AB BF 方法二：取CD中点O，连结,OB OM，则,OBCD OMCD 又平面MCD 平面BCD，则MO 平面BCD以O为原点， 直线 OC,BO,OM 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图3OBOM，则各点坐标分别为 ).32 , 3, 0(),0 , 3, 0(),3, 0 , 0(),0 , 0 , 1 (ABMC （ 1 ） 设),(zyxn 是 平 面 MBC 的 法 向 量 ， 则)3, 3, 0(),0 , 3, 1 (BMBC.由BCn 得 ; 03yx由BMn 得 . 0 33zy取),32 , 0

29、, 0().1 , 1, 3(BAn 则. 5 152 5 32 n nBA d (2).32 , 3, 1(),3, 0 , 1(CACM设平面 ACM 的法向量为),( 1 zyxn 由CAnCMn 11 , 得 0323 03 zyx zx 解得,3zyzx取).1 , 1 , 3( 1 n又平面 BCD 的法向量为).1 , 0 , 0( 2 n 所 以. 5 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn设 所 求 二 面 角 为,则 . 5 52 sin 12. （ 2010 四 川 高 考 理 科 18 ） 已 知 正 方 体 ABCDA B C D 的棱长为 1，点M是棱AA

30、的中点， 点O是对角线BD的中点. （1）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线； （2）求二面角MBCB的大小； （3）求三棱锥MOBC的体积. 【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、 二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决 数学问题的能力，转化与化归的数学思想. 【思路点拨】方法一：几何法. 问题（1） ，分别证明OM AA ，OM BD 即可. 问题（2） 首先利用三垂线定理，作出二面角MBCB的平面角， 然后通过平面角所在的直角三角形， 求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题. 问题（3）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，OBC和OA D 都在平面BCD A 内，且 OBCOA D SS ，故 M OBCM OA DO MA D VVV ，利用三棱锥的体积公式很快求出 O MA D V . 方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解. 【规范解答】方法一：（1）连结AC.取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK. 点M是棱 AA 的中点，点O是 BD 的中点， 由AAAK ，得OM AA . ,AKBD AK BB ，且 BDBB=B AKBDD B 平面. AK BD .OM BD . 又OM与异面直线 AA 和 BD 都相交， 故OM为异面直线 AA 和 BD