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文档简介

1、第五章,微分的逆运算问题,不定积分,第一节,逆向思维又一例 原函数与不定积分,一、原函数与不定积分的概念,二、直接求不定积分,主要内容：,2. 变速直线运动的瞬时速度,1. 切线的斜率,回顾导数概念的两个现实原型,一、原函数与不定积分的概念,已知曲线的切线如何求曲线、已知运动速度如何求路程？,由导数(或微分)求原来函数的运算是一 种逆向思维过程.,已知曲线求切线、已知位移求速度引入了 导数.,思考,例如,分段函数,一个函数的原函数是不是只有一个呢？,什么样的函数存在着原函数呢？,定理,这就是说,连续函数一定有原函数.,如果函数 f (x)在区间I上连续，则 f (x) 在区间I上存在原函数 F

2、(x) .,此定理也叫原函数存在定理 .,初等函数在其有定义的区间上存在原函数.,例如,定义域,以下的例子中 为任意常数,一个函数的原函数是不是只有一个呢？,导数为零的函数为常数函数,由前例我们可得到以下结论,证,（ 为任意常数）,同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个.,设G(x)也是 f (x) 一个原函数，,同一函数的原函数有无穷多个,那么如何表示这种求原函数的运算？,不定积分,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,积分曲线,解,解,不定积分 = 一个原函数+任意常数,例1 设曲线通过点(0,0)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的余弦值，求此曲线方程.,设曲线方程为,根据题意知,已知切线如何求函数的曲线？,分析与提示：,由此我们想到求符合已知条件的原函数.,解,由曲线通过点( 0 , 0 ),因此所求曲线方程为,根据题意知,二、基本公式,求微分与求不定积分是互逆的运算,由导数公式,可得:,熟记基本公式,熟记基本公式,熟记基本公式,三、不定积分的线性运算法则,代数和的不定积分,不定积分的代数和,该定理根据不定积分的定义可以证明.,被积函数中的非0常数可以提到积分符号外边.,分析与提示：,一、第一换元积分法,考虑,提示与分析：,变形被积函数，用凑微分法求解.,熟练后可以省略

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