第5节乘法公式和全概率公式.ppt

1、例1,设 为任意两个事件，且,则下列选项必成立的是( ),B,1996年数3选择题第5题,二、 乘法公式,条件概率,即 若 ，则,将 的位置对调，有,若 ，则,即 若 ，则,(1),(2),推广：,(1)设 为事件，且 则有,(2)设 为 个事件， 且,则有,例1,已知,则,解：,由乘法公式可知，,例2,某工厂有一批零件共100个，其中有10个次品,后不放回，求两次都取正品的概率。,从这批零件中随机抽两次，每次抽取一件，取,解：,正品的事件为 ，,设 为第 次抽到正品( )，则两次都取,100,10,例3,甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件,是乙厂生产的，而在这300个零件中，有1

2、89个是,件是乙厂生产的合格品的概率是多少？,解：,为合格品，,设 为乙厂生产的零件，,合格品，现从1000个零件中任取一个，问这个零,189个是 合格品,300个乙厂 生产的零件,甲、乙共生 生产1000个,若改为“发现它是乙厂生 产，问它是合格品的概率 是多少？”,问这个零件是乙厂生产的合格品的概率是 多少？,发生,在 中作为结果;,在 中作为条件;,例4,现有十把钥匙，其中两把能开锁，随机取一,把试开，若不能打开，放到一边，再随机取一,把，问：,(1) 一次就打开的概率；,(2) 第二次才打开的概率；,(3) 两次内打开的概率；,(4) 第三次才打开的概率。,解：,设,“第 次打开”,例

3、5,甲、乙两人进行击剑的防守训练，规定一方,进攻时，另一方只能防守不能还击，当一个回,合后，若防守一方未被击中，则改由它方进攻(,若防守一方被击中，则训练中止)。现决定甲先,向乙进攻，且击中乙的概率为0.2；若一个回合,后，乙未被击中，则乙向甲进攻，击中甲的概,率为0.3；若此回合中甲未被击中，则又由甲向,乙进攻，乙被击中的概率为0.4。求在上述几个,回合中下列事件的概率：,(1) 甲被击中的概率；,(2) 乙被击中的概率；,解：,设,“第一回合中甲击中乙”,“第二回合中乙击中甲”,“第三回合中甲击中乙”,据题意，,(1) 甲被击中只能发生在第一回合甲没击中乙，,而在第二回合中甲被乙击中，故“

4、甲被击中”,因此，,(2) 乙被击中有两种情况：,第一回合乙被甲击中；,第一回合甲没击中乙，于是进入第二回合，,此回合中乙没击中甲，而进入第三回合，在第,三回合中乙被甲击中；,因此“乙被击中”,故,例6 (卜里耶模型),箱中有 只黑球， 只红球，随机取出一只，把原,球放回，并加进与抽出球同色的球 只，再取第,二次，这样下去共取了 次球，问前 次取到黑,球，后 次取到的红球概率是多少？,解：,设 表示第1次取到黑球，,表示第2次取到,黑球，,表示第 次取到黑球，,表示第 次取到红球，,表示第 次取到,红球，,因此,这是一个很一般的抽球模型，特别取 ，则,是有放回抽球。取 ，则是不放回抽球；,此模

5、型可以作为描述传染病的模型。,三、全概率公式和贝叶斯公式,用来计算比较复杂事件的概率,加法公式,乘法公式,互斥,综合应用,(一) 全概率公式,例如,市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70 %，,乙厂占30 %，甲厂产品的合格率是95 %，乙厂,的合格率是80%，若用事件 分别表示甲、,的产品是合格品的概率。,乙两厂的产品， 表示产品为合格品，求买到,80%是 合格品,70 %,30 %,95%是 合格品,解：,根据题意，,表示甲厂生产的合格品，,互不相容，,表示乙厂生产的合格品，,80%是 合格品,70 %,30 %,95%是 合格品,将公式一般化，就得到,全概率公式,1. 样本空间的划分, 设

6、为试验 的样本空间，,为 的一组事件。若,则称 为样本空间 的一个划分。,的一个划分，那么，对每次,若 为样本空间,试验，事件 中必,有一个且仅有一个发生。,完备事 件组,2. 全概率公式,设试验 的样本空间为 ， 为 的事件，,为 的一个划分，且,则,证明：,加法公式,乘法公式,证毕。,全概率公式的来由, 不难由上式看出:,“全”部概率 被分解成了许多部分之和。,它的理论和实用意义在于：,在较复杂情况下直接计算 不易，但 总是,伴随着某个 出现，适当地去构造一组两两互,以简化计算。,斥的 ，用所有的,之和计算 ，往往可,例1 有三个箱子，分别编号为1，2，3，1号箱装,有1个红球4个白球，2

7、号箱装有2个红球3个白球,3. 全概率公式举例,3号箱有3个红球，某人从三箱中任选一箱，从,中任意摸出一球，求取得红球的概率？,解：,设事件 表示从第 号箱,摸出一球( )，,事件 表示摸出的球是红球，,由全概率公式得,注意：,全概率公式的使用要具备一个前提条件，这个,前提条件是 必须是样本空间 的一,个划分。,例2 假定在中年男子当中超重的人数占总人数的,30%，正常体重的人数占总人数的50%，体重偏,瘦的人数占总人数的20%。超重的中年男子患,动脉硬化的概率是0.3，正常的中年男子患动脉,硬化的概率是0.1，偏瘦的中年男子患动脉硬化,的概率是0.01，求从中年男子中任选一人，该人,恰好得动

8、脉硬化的概率？,解：,设事件 表示选出的人是超重的男子，,事件 表示选出的人是正常的男子，,事件 表示选出的人是偏瘦的男子，,事件 表示选出的人患有动脉硬化，,由全概率公式得,例3,配工从两箱中任选一箱，从箱子中先后随机地,取两个零件(不放回抽样)，求：,(1) 先取出的一件是一等品的概率；,(2) 在先取出的一件是一等品的条件下，第二次,有两箱同型号的零件， 箱内装50件，其中一,等品10件； 箱内装30件，其中一等品18件，装,取出的零件仍是一等品的概率。,解：,设,“先取出的产品是一等品”，,“从 箱取出一件产品”，,“从 箱取出一件产品”，,(1) 由全概率公式，有,“第二次取出的产品是一等品”，,(2) 由条件概率的定义和全概率公式，有,1987年数3考研真题第十四题(解答题),例4,解：,袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个,是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球,设,“第一个人取得黄球”，,“第一个人取得白球”，,“第二个人取得黄球”，,由题意，有,由全概率公式，有,1997年数1考研真题第5题(填空题),小结：,1) 全概率公式主要用在一个事件 的发生有各种可能,即第一种原因 可能导致事件 发生，,的原因 ，这里 互不相容。,第二种原因 可能导致事