阅读与思考函数概念的发展历程

1、函数概念的纵向发展，(1)几何概念下的函数的早期函数概念，在17世纪，伽利利奥(意大利，15641642)几乎自始至终都包含函数或变量之间关系的概念，用文字和比例语言表达函数之间的关系。笛卡尔(法国，15961650)表达了1673年前后函数之间的关系。我们已经注意到一个变量对另一个变量的依赖性，但是因为我们当时没有意识到需要提炼一般函数的概念，直到牛顿和莱布尼茨在17世纪后期建立微积分，数学家们才知道函数的一般意义，并且他们中的大多数被研究为曲线。(2)函数代数概念下的函数概念18世纪，1718年，约翰伯努利(John BernoulliJohann，Rui，16671748)在莱布尼茨的函

2、数概念的基础上明确地定义了函数的概念：由任何形式的变量和常数组成的量，而伯努利把由变量x和常数以任何方式组成的量称为“x的函数”，它在函数概念中表示为任何形式。包括代数公式和超越公式。18世纪中叶，欧拉(LEuler，Rui，17071783)给出了一个至今仍被使用的非常形象的功能符号。欧拉的定义是，一个变量的函数是一个由这个变量和一些数字组成的解析表达式，也就是说，任何形式的常数。他把约翰伯努利给出的函数定义称为解析函数。此外，它被分为代数函数(独立变量之间的唯一代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数和用变量的无理数表示的函数)，还考虑了“任意函数”(代表任意曲线的函数)。不难看出，欧拉给

3、出的函数定义比约翰伯努利给出的定义更普遍、更广泛。(3)19世纪函数概念对应关系下的函数1822年，傅立叶(法国，17681830)发现有些函数可以用曲线、一个公式或多个公式表示，从而结束了函数概念是否只能用一个公式表示的争论，将对函数的理解推向了一个新的高度。1823年，柯西(法国，17891857)定义了它们。1837年，狄利克雷(德国，18051859)认为如何建立X和Y之间的关系是无关紧要的。他扩展了函数的概念，指出：“对于X在一定区间内的每一个确定值，Y都有一个或多个确定值，那么Y就称为X的函数。”狄利克雷的函数定义、等到康托(Cantor，Germany) 18451918)在数学

4、中占有重要地位时，Veblen (Veblen，USA，18801960)用“集合”和“对应”的概念给出了现代函数的定义。(4)现代函数集合论概念下的函数，1914年，福斯多夫在集合论的框架下用“序对”来定义函数。其优点是避免了“变量”和“对应”的模糊概念，但缺点是引入了“序对”的模糊概念。1921年，库拉托夫斯基用集合的概念定义了“序对”，即序对，这使得豪斯多夫的定义非常严格。在1930年，新的现代函数被定义为：如果总是有一个由集合N确定的元素Y对应于集合M的任何元素X，则称之为在集合M上定义一个函数，表示为y=f(x)。元素X被称为独立变量，元素Y被称为因变量。经过300多年的锤炼和改造，函数概念的定义已经形成了函数的现代定义形式，但这在20世纪40年代，狄拉克函数被发现是为了物理学研究的需要。它在一点上不是零，但是它在整条直线上的积分等于1，这在函数和积分的原始定义下是不可思议的