(状元之路)函数的单调性与最大(小)值.ppt

1、第二节函数的单调性与最大(小)值,考点精讲 1函数的单调性 (1)单调函数的定义：,(2)单调区间的定义： 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间 (3)判断函数单调性的方法： 根据定义；根据图像；利用已知函数的增减性；利用导数；,复合函数单调性判定方法：在复合函数yf(g(x)中，若ug(x)在区间a，b上是单调增(减)函数，yf(u)在区间g(a)，g(b)上(或在区间g(b)，g(a)上)是单调增(减)函数，那么复合函数yf(g(x) 在区间a，b上一定是单调函数，它的增减性如下表 规律：“同增异减”,2函

2、数的最值,考点精练 1下列说法正确的是() A定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1x2，有f(x1)f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数 B定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对 x1，x2(a，b)，使得当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数 C若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，则f(x)在I1I2上也一定为增函数 D若f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，则x1x2,答案：D,答案：B,答案：B,4如果函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围是() A

3、3，) B(，3 C(，3 D3，) 解析：f(x)x22(a1)x2的对称轴为x1a， f(x)在(，1a上是减函数，要使f(x)在区间(，4上是减函数，则只需1a4，即a3. 答案：B,5函数yf(|x2|)，若yf(x)在定义域R上是减函数，则函数yf(|x2|)的单调减区间是() AR B(2，) C(2，) D(，2) 解析：已知yf(x)在R上是减函数，令u|x2|， 当x2时，ux2是增函数； 当x2时，ux2是减函数 由复合函数的单调性可知yf(|x2|)的单调减区间是(2，). 答案：B,因此，a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数； 当a0

4、时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数,同理，当a0时，f(x)在(1,1)上为增函数 综上可知，a0时，f(x)在(1,1)上为减函数； a0时，f(x)在(1,1)上为增函数,解后反思：证明函数单调性的常用方法：定义法；导数法,解后反思：由函数的单调性求解析式中参数的取值范围是函数单调性的逆向问题其求解方法是利用单调性定义或导数法转化为不等式恒成立问题求解,题型三求函数的单调区间 例3 求出下列函数的单调区间： (1)f(x)x24|x|3； (2)f(x)|x24x3|； (3)f(x)log2(x21),(2)先作出函数yx24x3的图像，由于绝对值的作用

5、，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图像如图所示 由图可知，函数的增区间为1,2，(3，)，减区间为(，1)，(2,3,(3)由x210，得函数的定义域为x|x1或x1 令u(x)x21，则u(x)的图像如图所示 由图像知，u(x)在(，1)上是减函数，在(1，)上是增函数 而f(u)log2u是增函数 故f(x)log2(x21)的单调增区间是(1，)， 单调减区间是( ，1),解后反思：注意(1)、(2)两个函数都含有绝对值，故可将其转化为分段函数并作出图像求解；(3)中的函数为函数ylog2u，ux21的复合函数，要注意其定义域,题型四抽象函数单调性的证明及应用 例4 函数f(x)对

6、任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.,解析：(1)设任意x1，x2R，且x1x2， 则x2x10.f(x2x1)1. f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1) f(x2x1)f(x1)1f(x1) f(x2x1)10， f(x1)f(x2)，即f(x)是R上的增函数,解后反思：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0；若是增函数，则f(x1)f(x2)x1x2.函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽

7、象的函数符号，化为一般的不等式(或方程)求解，必须在定义域上(或给定范围内)进行,(3)由题意，得当x0时，f(x)1；当x1时，f(x)2；当x2时，f(x)4；当x3时，f(x)5；当x4时，f(x)6；当x5时，f(x)5. 又f(x)2x与f(x)x2是增函数，f(x)10 x是减函数，所以f(x)的最大值为6.,解后反思：求函数的最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择相应的方法因此，对所给函数解析式特征的分析尤为重要从思路和方法而言，求函数的最值与值域是相同的,方法技巧 1根据函数的单调性的定义，证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是： (1)设x1、x2

8、是该区间上的任意两个值，且x1x2； (2)作差f(x1)f(x2)，然后变形； (3)判定f(x1)f(x2)的符号； (4)根据定义作出结论 2求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义、利用图像和单调函数的性质，还可以利用导数的性质,3求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图像法：先作出函数在给定区间上的图像，再观察其最高、最低点，求出最值 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 (4)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 (5)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值,答案：A,答案：B,答案：D,4已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)f(1x)f(1x)，则F(x)是R上的() A增函数 B减函数 C先减后增的函数 D先增后减的函数 解析：方法一：令f(x)x， 则F(x)f(1x)f(1x)1x(1x)2x，为减函数,方法二：f(1x)可看作是yf(u)与u1x复合而成的，且yf(u)为增函数，u1x为减函数， yf(1x)为减函数 同理可得