数学北师大版九年级下册兰兰-《二次函数》中考复习.ppt

1、二次函数中考复习,本溪市第二十六中学 兰 兰,定义：一般地，形如y=axbxc （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ）的函数叫做二次函数.,定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式,一、二次函数的定义,练习：1.找到下列函数中的二次函数。,2.当m_时,函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数？,1，函数 （其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时， （1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数；,当 时，是二次函数；,当 时，是一次函数；,当 时，是正比例函数；,考考你,2，函数 当m取何值时，,（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？,（1

2、）若是二次函数，则 且 当 时，是二次函数。,（2）若是反比例函数，则 且 当 时，是反比例函数。,小结：,二、二次函数的图象及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,a0,开口向上,a0,开口向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,（0，c）,（0，c）,小结：,2,2,2,开 口 向 下,开 口 向 上,y轴 (直线x=0),直线x=

3、h,( 0,0 ),( 0,k ),( h,0 ),( h,k ),当 | a | 的值越大时，抛物线开口越小； 当 | a | 的值越小时，抛物线开口越大。 只要a相同，抛物线的形状（开口大小和开口方向）就相同。,点评：二次函数的几种表现形式及图像,(顶点式),(一般式),如图,抛物线y=ax2+bx+c, 请判断下列各式的符号： a 0; c 0; b2 - 4ac 0; b 0;,x,y,O,基础演练,变式1：若抛物线 的图象如图，则a= .,变式2：若抛物线 的图象如图，则ABC的面积是 。,小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决

4、定对称轴;,2、下列各图中可能是函数 与 ( )的图象的是( ),小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象,3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是_ 对称轴是_。,画二次函数的大致图象:先配成顶点式，再按照以下步骤画： 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线 当然，细画抛物线应该按照：列表（在自变量的取值范围内列）、描点（要准）、连线（用平滑的曲线）三步骤来画。,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),特别注意：在实际问题中画函数的图像时要注意

5、自变量的取值范围，若图像是直线，则画图像时只取两个界点坐标来画（包括该点用实心点，不包括该点用空心圈);若是二次函数的图像，则除了要体现两个界点坐标外，还要取上能体现图像特征的其它一些点来画,3、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_ 对称轴是_。,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),增减性:,当 时,y随x的增大而减小 当 时,y随x的增大而增大,最值:,当 时,y有最 值,是,小,函数值y的正负性:,当 时,y0 当 时,y=0 当 时,y0,x3,x=-2或x=3,-2x3,4、二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）

6、,C,2、已知抛物线顶点坐标（h, k）和一个普通点，通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0)和另一个普通点,通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),三、求抛物线解析式的三种方法,练习,x=-2,(-2，-1),0,3、根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，

7、且最高点 的纵坐标是3 。,4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,开口方向、大小: 向上a0 向下ao,对称轴与y轴比较 : 左侧ab同号 右侧ab异号,与y轴交点 : 交于正半轴co 负半轴c0，过原点c

8、=0.,- 与1比较,- 与-1比较,与x轴交点个数,令x=1，看纵坐标,令x=-1，看纵坐标,令x=2，看纵坐标,令x=-2，看纵坐标,四、有关a，b，c及b2-4ac符号的确定,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,o,y,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x

9、,y,o,快速回答：,典型例题1. 如图,是抛物线y=ax2+bx+c的图像，则a 0;b 0;c 0;a+b+c 0; a-b+c 0;b2-4ac 0;2a-b 0;,=,由形定数,典型例题2. 已知a0，c0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（ ）,A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限,A,由数定形,1.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( ),B,2.二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y0时，对应的x取值范围 是 .,-3x1,.,-3,-3,点击中考:,D,3、若抛物线y=ax2+3x+1

10、与x轴有两 个交点，则a的取值范围是 ( ) A.a0 B.a C.a D.a 且a0,1、已知抛物线 yx-mx+m-1.,(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_；,= 1,(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_；,(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_。,(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_.,1,= 2,= 0,练习：,结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。,五、二次函数抛物线的平移,温馨提示： 二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.,0,2,2,4,-2,-4,-2,4,

11、2,6,2,x,y,y=x2-1,y=x2,y=x2,向下平移 1个单位,y=x2-1,向左平移 2个单位,y=(x+2)2,y=(x+2)2,y=(x+2)2-1,(0,0),(-2,-1),y=(x+2)2-1,上下左右平移抓住 顶点的变化,例：,平移法则：左加右减，上加下减,练习 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。,下,3,右,3,左,1,上,2,（3）由二次函数y=x2的图象经

12、过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.,y=x2-5x+6,（4）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x_ 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. （5）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x=_ 时，y有最 值，是 .,y=2(x-3)2,直线x=3,(3，0),3,3,y= -3(x+1)2,(-1，0),直线x=-1,-1,大,0,（6）将抛物线y=2x23先向上平移3单位，就得到函数 的图象，再向 平移_ 个单位得到函数y= 2（x-3）2的

13、图象.,y=2x2,右,3,上下左右平移,抓住顶点的变化!,记住：,六、二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,归纳如下：,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,具体这样理解：1、 当a0, 0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1x2时，y

14、0,即ax2+bx+c0 ; 当x1xx2时，y0, 即ax2+bx+c0.,2、当a0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x10,即ax2+bx+c0 ;当xx2时，y0, 即ax2+bx+c0.,3、 当a0, =0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当xx1（或xx2）时，y0,即ax2+bx+c0 ; 当x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能有ax2+bx+c0.,y

15、0,4、当a0.,y0,5、当a0, 0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y0 .,y0,无论 x 取何值，都不可能有y0。,例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1,(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。,（2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。,（3）指出（2）的图像中，使y0时， x的取值范围及使y0时， x的取值范围,2、求抛物线 与y轴的交点坐标; 与x轴的两个交点间的距离. x取何值时，y0?,1、不论x为何值时，函数y=a

16、x2+bx+c（a0 ）的值永远为正的条件是_,a0, b-4ac0,-3,1,6,(-1,8),-1,练习,3、(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.,(2)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,1,1,16,(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是.,（-2、0）（5/3、0）,4.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是

17、 x1=1.3 ,x2=,5.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ ）,-3.3,B,6.根据下列表格的对应值: 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24 C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26,C,(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；,7、利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.解法1：,(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；,由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另

18、一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).,(4).确定方程x2+2x-10=3的解;,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.,(2). 作直线y=3；,(1).原方程可变形为x2+2x-13=0；,利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.,(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；,由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).,(4).确定方程x2+2x-10=3

19、的解;,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.,(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；,解法2,1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.,七、二次函数基础知识的综合运用,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,3、如图， 已知抛物线 y=ax+bx+3 （a0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与