二次根式经典复习资料

1、第七讲 二次根式的运算 式子 (0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4)(0) 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等例题求解【例1】 已知，则= (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手 注： 二次根式有如下重要性质： (1)

2、，说明了与、一样都是非负数； (2) (0)，解二次根式问题的途径通过平方，去掉根号有理化； (3) ，揭示了与绝对值的内在一致性著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题 提示：【例2】 化简，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题) A B CD思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式提示：原式= （C） 【例3】计算： （1）； （2）； （3）；（4） 思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此

3、为解题的突破口（1）原式= （2）原式=（3）考虑一般情形原式（4）【例4】 (1)化简； (北京市竞赛题)(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算 (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨 （1）把4+2万与42分别化成一个平方数化简，原式此外，由于4+2与42是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式(2) 原式(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题原式 【例5】 已知，求的值(山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方

4、的角度试一试原式可化为：即，因此有，得；，得；，得。故。学历训练1如果，那么= 2已知，那么的值为 (成都市中考题)提示：原式3计算= (天津市选拔赛试题)原式4若 ab0，则等式成立的条件是 (淄博市中考题)，即故，因此， ，5如果式子 化简的结果为，则x的取值范围是( B ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx 0 (徐州市中考题)6如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ） A B C D7已知，则的值为( D ) A B C D8已知，那么的值等于（ ）A B C D3 9计算： (1)； （2）； （3）；（4） (“希望杯”邀请赛试题) 10(1)已知与的小数部分分别是a

5、和b，求ab3a+4b+8的值； (2)设，n为自然数，如果成立，求n11如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响 （1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：，) (贵阳市中考题)12已知，那么= (杯全国初中数学联赛题)13若有理数x、y、z满足，则= (北京市竞赛题)14设，其中a为正整数，b在0，1之间，则=

6、15正数m、n满足，则= (北京市竞赛题)16化简等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 (全国初中数学联赛题)17若，则等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题) A B C1 D118若都是有理数，那么和 ( ) (“希望杯”邀请赛试题) A都是有理数 B一个是有理数，另一个是无理数 C都是无理数 D有理数还是无理数不能确定19下列三个命题： 若，是互不相等的无理数，则+是无理数； 若，是互不相等的无理数，则是无理数； 若，是互不相等的无理数，则是无理数其中正确命题的个数是( ) A 0 B1 C2 D3 (全国初中数学联赛试题)提示：是有理数；答案A是有理数； 是有理数。20计算：（

7、1）； （2）； （3）；(4) ； (5) 提示：（1）原式；（2）原式； （3）先看通项故原式（4）原式； （5）原式21(1)求证；(2)计算（“祖冲之杯”邀请赛试题）提示：（1）因为，所以原式左边=右边（2）设，则原式22(1)，求的值；(2)设x、y都是正整数，且使，求y的最大值 (上海市竞赛题)提示：(1)注意到，原可化为： 故=（2）设，23试将实数改写成三个正整数的算术根之和(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)提示：题目的意思是：，因此配方使=故 24求比大的最小整数 (西安交通大学少年班入学试题)提示：设，则，那么 ，即 ，由于，故， 同减，得，同乘得，即故比大的最小

8、整数为 。二次根式的计算与化简（提高篇）1、已知是的小数部分，求的值。2、化简（1） （2） （3）3、当时，求的值。4、先化简，再求值：，其中。5、计算：6、已知，先化简,再求值。7、已知：，求的值。8、已知：，求代数式的值。9、已知，化简10、已知，化简求值11、已知的值。 已知，求的值 12、计算及化简：. . . . 13、已知：，求的值。14、已知的值。2006年中考复习之二次根式的运算知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。精典例题：

9、【例1】计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。答案：（1）；（2）；（3）2002；（4）；（5）1【例2】化简：分析：将和分别分母有理化后再进行计算，也可将除以变 为乘以，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：原式0【例3】已知，求的值。 分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且、的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故必然简洁且不含根式，的值也可以求出来。解：由已知得：， 原式探索与创新：【问题一】比较与的大小；与的大小；与的大小；猜想与的大小关系，并证明你的结论。分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。 1.7321.4140.318，1.41410. 41

10、4 同理：， 根据以上各式二次根式的大小有理由猜测： 证明： 又 【问题二】阅读此题的解答过程，化简：（）解：原式 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。分析：此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对值，绝对值再化简出来这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。解：（1）；（2）化简时，忽视了0的条件；（3）跟踪训练：一、选择题：1、下列各式正确的是（ ）A、B、（0，0）C、的绝对值是D、2、下列各式中与（）是同类二次根式的是（ ） A、 B、 C、 D、3、下列等式或说法中正确的个数是（ ）；的一个有理化因式是；。A、0个 B、1个 C、2个 D、3个4、已知，则与的关系是（ ） A、 B、 C、 D、5、下列运算正确的是（ ）A、 B、C、 D、二、填空题：1、比较大小： ； 。2、计算： ； ； ； ； ； 。 ；