《线性代数》教案

1、武昌理工学院理论课程教案2018 2019学年第一学期课 程 名 称 线 性 代 数 学 院 信 息 工 程 学 院 系 （部） 数 学 课 部 授课专业班级 造价1701、1702 主 讲 教 师 杜 洪 艳 职 称 教 授 选 用 教 材 线 性 代 数 教务处制表第十次课 线性方程组的解一、教学目标1让学生理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；2使学生掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法；3培养学生的抽象思维能力及分析问题解决问题的能力。二、教学重点、难点教学重点为行初等变换求线性方程组通解的方法；教学难点为齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方

2、程组有解的充要条件。三、教学形式探究式。四、教学内容及方法上课前蓝墨云班课点名3.3.1 解线性方程组1.概念导入由实际问题导入线性方程组的概念，让学生意识到线性方程组求解的问题与我们的实际生活及工作息息相关。引例：某商场衬衫专柜销售S、M、L、XL四种型号的某品牌衬衫。四种型号衬衫的售价分别为260元、270元、280元、300元。已知当天共售出衬衫26件，营业额为4100元。并已知L好衬衫的销售量为S号与XL号衬衫销售量的总和，L号衬衫的销售量收入也为S号与XL号衬衫销售量收入的总和。试问当天每种型号的衬衫分别售出几件？解：设S、M、L、XL号衬衫销售量分别为x1、 x2、 x3、 x4，

3、根据题意得 x1+x2+ x3+ x4=26260x1+270x2+280x3+300x4=4100x1-x3+ x4=0260x1-280x3+300x4=0谷歌搜索最早期的搜索原理也就是解庞大的线性方程组，这样的搜索速度非常慢。现在很多智能算法使得运算速度明显加快，搜索一个词汇几秒钟就会出现很多ip地址，但是搜索出来的地址也往往与我们希望的并不相符。人工智能、机器学习发展的瓶颈是什么，为什么目前的人工智能看起来更像人工智障？现在的机器学习，往往试图通过样本学习得出问题的最优解，往往这需要庞大的算力支撑，当算力不够，它在短时间得出的解决方法经常不是最优的。随着科技的进步，谷歌已经拥有了由72

4、 量子比特处理器构成的芯片，若用该芯片支撑量子计算机，如今所有的密码都可以被瞬间暴力破解，传统加密方式在量子计算机面前根本没有意义，解一个庞大的线性方程组更是方便。知识的学习往往带来社会的进步（知识前沿介绍，课程思政）。2.利用矩阵的行初等变换解线性方程组例：矩阵的行对换方程的对换 r2-3r1 r2-3r1r3+3r1 r3+3r1 利用蓝墨云班课互动提问，讲台上计算并点评1.矩阵的初等变换有几种？（复习提问）2. 求解本题需要用到哪几种初等变换？（复习提问）3.利用矩阵的初等变化求解该线性方程组。（自主学习）r3-r2 r3-r2x1+2x2+4x3=1x2-187x3=17-37x3=6

5、7.唯一解 -3767得 得 由上式可知方程组有唯一解。3.3.2 齐次线性方程组对应矩阵方程为。1、齐次线性方程组有非零解的条件利用蓝墨云班课互动提问1. 齐次线性方程组的解有几种情况？（复习提问）2. 齐次线性方程组满足什么条件有非零解？为什么（预习提问）齐次线性方程组必有零解定理 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R(A) n .特别地，当A 为方阵时1. 当A为方阵时，齐次线性方程组仅有零解的条件是什么？（复习提问）2.当A为方阵时，齐次线性方程组仅有零解的条件是什么？（复习提问），Ax = 0 仅有零解的充要条件：有非零解的充要条件：推论1让学生说明理由，用定

6、理说明理由（引导学生的逻辑思维能力） 若齐次线性方程组中方程的个数m少于未知数的个数n，则方程必存在非零解推论2 设齐次线性方程组中方程的个数m与未知数的个数n一样多，若其系数行列式不等于零，则方程必存在非零解3.3.3非齐次线性方程组的解，与增广矩阵（A,b）一一对应当常数项bi不全为0时, 称为非齐次线性方程组;当常数项bi全为0时, 为与之对应的齐次线性方程组, 也称作非齐次线性方程组的导出组. 任一线性方程组必满足以下三项之一：1. 任一非齐次线性方程组的解有哪几种情形？（思考题）2.（1） 无解；（2）有惟一解；（3）有无穷组解.“解线性方程组”常用消元法.消元过程中需反复用线性方程

7、组的初等变换. 而线性方程组的初等变换与其增广矩阵的初等变换一一对应阶梯形线性方程组的三种基本类型： x1-x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 leading variables 2x1+3x2 -x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 自由变量 例:阶梯阵的形状与线性方程组的解r2 = r1 = n x1-x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0 = 0无解 有唯一解 有无数解 解的数目 Ax = bAx = bA, b

8、A, b2x1+3x2 -x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 r2 r1r2 = r1 n 3.3.4 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性 定理 任一线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵与其增广矩阵的秩相等，即R(A)= R(A | b利用蓝墨云班课互动提问并展开讨论根据观察得出猜想，然后设法论证。（预习题提问，分析问题，解决问题的一般方法） ). 证 （反证法）若R(A)R(A|b) ，则方程组的增广阵化简的行阶梯形含形如( 0,0,L,0, b), b0的行向量，显然方程组无解，与已知矛盾. 线性方程组Ax=b 解的存在性判别法： 若R(A)R(AMb) ，则方程组无解

9、；若R(A)=R(AMb) = r=n时，则方程组有唯一解.若R(A)=R(AMb) = rn时，则方程组有无穷多解. 例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解.解 对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再判断和求解利用蓝墨云班课互动提问如何判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩？（预习题，引导学生思考解决问题的方式） 练习题：1. 若线性方程组无解，则数=_2. 求下列齐次线性方程组的通解3. 求线性方程组的，小结：指导学生对本节知识进行小结练习题：1. 求下列齐次线性方程组的通解2. 求线性方程组的通解复习题：12. 高斯消元法解线性方程组的特点是什么？用矩阵的初等变换来表示消元法必须注意什么？13. 如果方程组有无穷多组解，那么自由未知量应如何选取？14. 若线性方程组的方程个数小于未知量个数，即，且都小于矩阵的秩，问方程组是否一定有无穷多解？为什么？15. 设有个方程个未知量的线性方程组若系数行列式为，