估计非线性系统参数的一种方法_王伟

1、8卷 3 期撞 制与 决策19 9 3年5月Vo l。 S N o 。 3CO N T R O LA N D D E C IS IONM ya1 9 9 3估计非线性系统参数的一种方法王 伟 韩京清(中国科学院系统科学研究所 北京 , 01 0 08)摘 要 本文在文 1 建立的非线性系统状态观侧器的基础上 , 给出了几种具体的状态观测器 , 实现了文 幻提出的估计非线性系统参数的方法 . 仿真结果表明 , 只要状态观测器中配置的函数及选择的参数适当, 就可以利用这种方法解决某些非线性系统的参数估计间题。关键词非线性系统, 状态观测器 , 参数估计1引言参数估计问题是统计界和控制界共同感兴趣的

2、 间题之一。 对于线性模型 , 已经有了较为理想的估计方法 。 但是对于非线性模型, 人们只是从理论上给估计问题 以一定程度的解决 , 而要付诸实践 , 解决具体间题 , 还有相当大的距离 。 对此 , 文幻 提 出了一种估计方法。本文在文 1 建立的状态观测器的基础上, 通过几种具体的状态观测器来实现文【幻 提出的方法。 文中介绍了参数估计的方法 , 给出了一些具体 的非线性系统状态观测器 , 并进行了仿真研究。 仿真表明 , 若状态观测器中配置的函数和选择的参数得当 , 则这种方法具有较广的使用范围, 且便于工程上应用。2 问题的描述及参数估计的方法考虑非线性系统fl = lf (x :1

3、”几 (x :y=x , x : ), x : , c )x : R ,介任 盆, e R l(1 )其中 是未知参数. 假定人(x , , 两) 连续可微 , 且fa, / ra : 特 0此时系统 (D能观测 。 进一步假定2fa / 士: 护 0本文要解决的问题是如何通过观测量 y 来估计未知参数 :令 ax , 把系统(D 扩充成下面的形式!不1 fl (x 、 , x : )不, 一几(x , , x : , x 3 ),一 OLy(2 )(3 )。 据文 幻, 对于这类问题 , 可以(4 )然后通过建立系统(4)的状态观测器 , 将状态 x : 的估计牙: 作为参数 的估计。本课题

4、得到国家自然科学基金资助收稿 日期 : i ,z 一0 5一 i ,1 6 2控制与决策1 9 9 3 年3 非线性系统状态观测器的几种具体形式文l 给出了建立 非线性系统状态观侧器的方法及一般形式 . 现对 系统 ()4 给出几种具体的状态观测器 , 以便在此基础上实现 对未知参数的估计。由条件 (2 ) 、 ()3 知 , 系统 (4 ) 也是能观的, 据文1 , 对系 统()4 可以 建立如下形 式的状态观测器凡决几X 一 g,(:一 y )+fl(少,:)义lr月全!.1恤汤se全+ 几全 牙(5 )= 一 g :( :一 , )(, ,:,:)= 一 g : (x : 一 y )其

5、中 g (全: 一 刃 “ 1 , 2 , )3 是 份: 一 y 的函数, 它们的选择应该保证 误差系统而: 全, 一 分,= 一 g , (汤,一 y ) +f1 (y , 全: ) 一 lf (x : , x : )耘x : 一 x := 一 g : (二:几 (y , x : , 工3 ) 一 几(x : , x : , x : )代: =一 y ) +(6 )L缸: 一 x : 一 x : 一 g : (二:一 y )在原点渐近稳定.那 么究竞应如何选择 g (牙: 一 刃 i( 1 , 2 进行分析. 如果 关(i 一 1 , )2 关于 x i( 1 , 2 ,破!les矛龟妊五

6、 = 一 l: 七:=一 l: 七:=一 几七l, )3 呢 ? 首先对 g l( 一 1 , 2 , )3 是线性函 数的情形)3 的偏导数存在且连续, 则系统 6( ) 可以近似为+ fazxl一,txa+,rfa一叙(7 )其对应的形式特征多项式为l, + 1111:5 3+(l现取 l: , 使得且令一 lfa / 七:0, 一 fa, / xa : 一 矶/ xa :0毅 毅毅绘毅一)一 + ( ,一, : ) +, ,口.了、二O汽n八甘一 声、.毅黔: 。selr|a511-厂=. , ar,叭一 ar叭一, 、 : /3l: 一 叭/ ar :(毅毅, 了、afl机一af一,机

7、武l,一 武,afl一机 机一叭, 、 : 1 3l: )8 卷 3 期王伟等: 枯计昨线性来统参数的一种方法1 6 3则据 (8)式 , 得 (” 的形式特征方程为三3 +a , 牙2 + a Z 牙+l 二 o据文3 , 若取 11 , l: , 使 a , = 1. 57 , a : 二 2 . 1 5 , 则当几 , 几的变化不甚激烈时 , 可以保证系统()7在原点渐近稳定。这时 由(10 ) 得,1 一 醉+ 1 . : 5 (醉醉, : )1 , 3象一犷、一、(1 1 )1,=L戴, +“ 1 5 贰 武z, ) “ / 成)因而,若 11 , l: , l: 满足 (9) ,

8、(1 1 ) 式 , 可以得到 如下形式的“ 线性” 状态观测器人;一 z,( ,一 夕)(少,)X+五2L全壬边!一 z: (全,一 夕) +几(少, 主:, 主。)1)( 2二 一 l:(x ; 一 少)在此基础上 , 我们把“线性 ” 推广到非线性的情形 , 得到如下两种“ 非线性” 状态观测器.。A八凡fa l(一夕, 。 , a ) +(夕,全:)Jlestr X,lf飞L 一 乙全- 一 几f l(一古)+几(全壬)(1 3 )a,y , 。 ,y ,:,3:一少,a ,古)af l(份其中af l(x , “ , 古)!x s ig n (x ) ,!x 古1 4 )x子一户 l

9、x古,古O(/, fs t (,一 ) ,沙)+lf(少,2)了全牙:fs t:,舀) +几(夕,2,3(15 )了(汤 一 少牙份)、 fs t (,一 y ,古)Z壬其中!“g n x,xl古古016 )x / 舀,xI古(1 3、 15)中函数af l sf t在原点附近是线性的,= 1, 2,)3 可因为观测器 () (及所以其中的了(i以根据(9)和 (1 1 ) 式来决定。正是由于这样一些具体的状态观测器的建立 , 使得非线性 系统的参数估计成为可能。 事实上 , 按照 (14 ) 或( 1 6 ) 式来配置观测器中的函数 今 且根据(9) 和 (1 1 ) 式来决定参数 l, 可

10、以 保证误差系统(6) 在原点渐近稳定 , 从而主。 x 3 (一 : ) , 即可以将状态 岛作为参数 的估计 。上面对二阶系统含有一个参数 的估计问题做了讨论。 这种方法很容易推广到高阶系统含有多个参数 的估计间题 中去。 应该注意的是, 要估计的参数个数不能超过能够量测的量的个数 ,这是因为对于系统16 4技制决策1 9 9 3 年lx朴 lx几 X Xx,任一 ,x:任:Ll毛y二之r|一一R把c R,(1 7 )要使其能观侧 , 且能够估计出未知参数矢量 c , 则雅可比矩阵(afl / 七: ) . 、 . : 和 (:fa / 士). : 、 . :的秩应该满足ra n k (叭

11、/ ar : )、x , : n :r a n k (叭/ 含). : 、 , 。 =” :故必须有,:( , , ( n : 。这样若系统是可观侧的 , 且 ra n k( aft / 含). : 、 . : , 3 , 就可以 由上面的方法来估计相应的参数矢量。4 数值仿真现 利用非线性 系统状态观测器 (系统(1 )2、 (1 3 ) 和(1 5 ) 对一些 非线性系统的参数估计间题给出仿真结果。算例 1考虑非线性系统才不!介 一 0. 6x : 介一 0 , Zx 璧(18 )Lx:=0 . 0 5 x : x :十 c (x , + e o s x : )其中 是未知参数.根据系统的

12、量测y = x : , 对(81 ) 的扩充形式建立形式为(1 2 ) 的状态观侧器Jse、lwLr之工几。盆皿.,口 =一 l: (全, 一 y ) + 全: 一 。. 6 菇: 一 。. 2 犷= 一 z: (全: 一 , ) + 0 . 0 5 1, I全: + 全: (少 + c o s 全: )= 一 10 . (x 一 , )取 。 一 5 , 我们通过仿真验证 、, 一 5 . 根据(。) 式 , 取 , : 一 1 。. , 咭n (势. -一 ” J 一一 训 一 卜一 、 一 一 ” - 一0 一 、 七:一一J-.决定 l: 和 l: . 取(1 8 ) 的扩充形式及(1

13、 9 ) 的初值分别为(0 . 5 , 0 . 3 , 0 . 7 ) ; (o , o ,图 1 所示 , 从中可以看出 牙。 一 (5 ) .算 例 2 考虑系统(1 9 )势) , 根据 (1 1 ) 式七3 ”卜 一 o ) , 得仿真结果如不子1:-=x t+ 0 . ss in x :(2 0 )L工:5 10 9 ( x 、 +l) +c lo g ( x : +l )其中 是要估计的参数。 根据系统的量测 y =x , , 对 (2 )0 的扩充形式建立形式为 (13 ) 的状态观测器。内曲a,a ,:o nX二一 l: l(,一 y古)0.s气Jrl|f+ 全+i)es .二

14、昌勺白全二一 lf l( 一 yJ ) + 5 1 9 ( y+1 )+份1 9(牙+z )全!(2 1 ):a:,a ,0,0:= 一 l: fa l(主: 一 夕 , 。 , 古)取 一 3 。, 同时取 。 一 。. ; , ; 一 。. 。1 , 3 一 1。 . s ig n (势势) , 且 系统(2 。) 的扩充形式及 (2 1 )口 诵 : 口丢J的初值分别为(1 。, 7 , )9; (。, o , 0) , 得仿真结果如 图 2 所示 , 结果表 明汤: 收敛于 。8 卷 3 期王伟等: 枯计昨线性 系统参数的一种方法16 5050s一一. .口. , . . . , 一八

15、二夕品, 一一I.1.Jlr .一 115图一 55 010501 0255 0算例 1中观翻 t 含 1 肠图 2算例2 中观洲t 含 1 呱图 3算例 3 中观侧t 含 1 肠嗓声时的结果嗓声时的结果嗓声时的结果算例 3考虑非线性系统百l:0.7:杏一介 +肠介(2 2 )L工2 x x+cx其 中。 是要估计的参数 。 根据量侧 y lx , 对系统(2 2 ) 的扩充形式建立形为(1 5 ) 的状态观测器、夕|lesrtxla介、盆一 一 矛冲 fs t (全: 一 夕, 古) + 元 + 0 . 7沂: fs t 任, 一 , , , ) +沂: + 主: 主:(2 3 ) sf t

16、 (主: 一 , , 古)取 。 一 1 , 同时取 ; 一 。. 5 , ; 一 1 0 。 . s ing ( 势些) , 且系统( 2 2 ) 的扩充形式及 ( 2 3 ) 的摊分2 口汤 习别为( 0 . 5 , 0 . 2 , 0 . 4 ) ; ( o , o , o ) , 得仿真结果如图 3 所示 . 显然 全: 一 i ( =) .注 1 : 上图中“ 实线” 均表示状态 主: , 即未知参数的估计值 , “虚线 ”( 最终与水平坐 标轴重合 ) 表示误差系统的三个状态 。注 2 : 上述算例中积分均用改进的四 阶龙格 一库塔法 , 积分步长均为 。. 01 .仿真结果表 明

17、:只要观测器中的非线性函数和参数选择恰当( 通常 l : , 几 由1( l) 式决定, al一 1 。 . 。ig n ( 势势) , 此外( 1 3 ) 中 。 一 。. 7 , ; 一 。. 。1 ; ( 1 5 ) 中 。一 。. 5 ) , 估计的结果不会因名 。“S。观浦器选择不同而不同; 当初值在一定范围内变化时,估计的结果不会因初值的改变而改变。同时用这种方法还有较好的滤波效果 , 即若观侧量为 y x : + 武t) , 其 中武)t 是随机噪声, 通过对 。t( I) 。. 10 的仿真表 明, 结果与无噪声的情形是一样的 . 当噪声较大时 , 可以经“ 线性回归嘱出参数的

18、值 。参考文献1 韩京清, 非线住系统的状态观洲器 , 控创与决策, 第 5 卷 , 第 3 期 , 1 9 90 年, 57 一60z 韩京清, 处理非线性控侧系统的直接方法, 1 99 2 年全 国控翻理论及应用年会论文集 , 甫京3双国波, 正T 人E 最佳控创, 机彼工业出版社 , 1 9 86 年( 下 转 第 2 2 7 页)8卷3期立: 结构未知的静态重复主从对策中一种自适应鼓励 策略2 27高 群等A n A d a Pt iv e In e e n t iv e S t r a t e g y fo r S t a e k e lb e r g G a m e s w it

19、h U n k n o w n S t r u e t u r eG 口0 iL q u n , Z h a n gS 妙in g(N o 对卜e a s t e r n U n iev sr it y )A 加t献t : nI th is p a p e r , a n da 即tiv e a lg o r ith m 15 de v e lo 碑d t o a p p r o a eh t h e 11, x e a r o p tim a l iecn n it v e s tr a t。盯fo r ts a e k el b e r g g a me s 诫th u n k no w

20、ns t r u e t u re .丁卜ep or o f o f e o n v e 飞e n e e 15 g iev n . lA l ht e d is e u s s io n 15:ow 伪ncerae ,nsnend,on rmab a : e d o n tp t ,o f ta ng e n t h yp 吧印laal v e e t o r .K e y, or ds St a e k el 悦 gg mi e e n tiv etra te 盯 t a 叱e n t h yp e 动a en作者简介高立群1 949年生于沈阳 。 1 9 84 年于东北工学院 自控系研究

21、生毕业 , 1 9 8 7 年 1 9 89 年在荷兰 L 随lft 工业大学学 习 ,”90 年获博士学位, 现为东北大学 自控系副教授 。 研究方 向是对策理论及复杂系绕的辨识与控制 。张晌泣 1 9 25 年生于 山东省章丘县. 1 94 8 年毕业 于武汉大学机械系 , 1 9 5 7 年 1 9 5 9 年赴前苏联莫斯科大学数学力学系进修 , 现为东北大学自控 系教授、 博士导师 . 主要研究方向是对策理论及复 杂控制 系统结构 分析。(止接 第 1 6 5 页)A M e t h o d o f E s t im a t in g P a r a m e t e r s fo r N o n lin e r S y s t e m sW 口 n g 环er i , 万口 n ji ”gq 动g(T he In s t it u t e foSy s t 呱s 反ie 欣e , Ac ad e m ia Si o ie a )A 加tcar t : aB s in g o n ht e s ta t e o b s vre e r o f on 川ien r s ”te sm in 1 , w e g e t so m e eo nc r e te Ob se rv e r s o f n o n lin e r s 邓t sme a dn re a lize t