1_用matlab处理线性系统数学模型

实验二 用 MATLAB 处理线性系统数学模型 说明 一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。MATLAB 软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。采用 MATLAB 软件仿真的关键问题之一是在 MATLAB 软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。 实验目的 1了解 MATLAB 软件的基本特点和功能； 2掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在 MATLAB 环境下的表示方法及转换； 3掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法； 4 掌握在 SIMULINK 环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法； 5了解在 MATLAB 环境下求取系统的输出时域表达式的方法。 实验指导 一、被控对象模型的建立 在线性系统理论中，一般常用的描述系统的数学模型形式有： （1）传递函数模型有理多项式分式表达式 （2 ）传递函数模型零极点增益表达式 （3 ）状态空间模型（系统的内部模型） 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 1、传递函数模型有理多项式分式表达式 设系统的传递函数模型为 011.)()( assas bbbsRCsGnnmm 对线性定常系统，式中 s 的系数均为常数，且 an 不等于零。 这时系统在 MATLAB 中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定， 这两个向量常用 num 和 den 表示。 num=bm,bm-1,b1,b0 den=an,an-1,a1,a0 2 注意：它们都是按 s 的降幂进行排列的。分子应为 m 项，分母应为 n 项，若有空缺项 （系数为零的项） ，在相应的位置补零。 然后写上传递函数模型建立函数：sys=tf(num,den)。这个传递函数便在 MATLAB 平台 中被建立，并可以在屏幕上显示出来。 例 1-1： 已知系统的传递函数描述如下： 264201)(23sssG 在 MATLAB 命令窗口（Command Window）键入以下程序： num=12,24,0,20; den=2 4 6 2 2; sys=tf(num,den) 回车后显示结果： Transfer function: 12 s3 + 24 s2 + 20 - 2 s4 + 4 s3 + 6 s2 + 2 s + 2 并同时在 MATLAB 中建立了这个相应的有理多项式分式形式的传递函数模型。 举例 1-2：已知系统的传递函数描述如下： )523()164)(2sssG 其中，多项式相乘项，可借助多项式乘法函数 conv 来处理。 在 MATLAB 命令窗口 键入以下程序： num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6); den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5); sys=tf(num,den) 回车后显示结果： Transfer function: 4 s5 + 56 s4 + 288 s3 + 672 s2 + 720 s + 288 - s7 + 6 s6 + 14 s5 + 21 s4 + 24 s3 + 17 s2 + 5 s 同时在 MATLAB 中建立了这个有理多项式分式形式的传递函数模型。 湖南工学院教案计算机仿真技术实验 3 2传递函数模型 零极点增益模型 零极点增益模型为： 12mn(s-z).(s-z)G()=Kpp 其中：K 为零极点增益，z i 为零点，p j 为极点。 该模型 在 MATLAB 中，可用z,p,k矢量组表示，即 z=z1,z2,zm; p=p1,p2,.,pn; k=K; 然后在 MATLAB 中写上零极点增益形式的传递函数模型建立函数：sys=zpk(z,p,k)。 这个零极点增益模型便在 MATLAB 平台中被建立。 举例 1-3： 已知系统的零极点增益模型： )5(2)1( 36)ssG 在 MATLAB 命令窗口 键入以下程序： z=-3; p=-1,-2,-5; k=6; sys=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: 6 (s+3) - (s+1) (s+2) (s+5) 则在 MATLAB 中建立了这个零极点增益的模型。 3状态空间模型 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，如下： DuCxy BA 则在 MATLAB 中建立状态空间模型的程序如下： A=A; B=B; C=C; D=D; sys=ss(A,B,C,D) 4 二、不同形式模型之间的相互转换 不同形式之间模型转换的函数： （1）tf2zp ：多项式传递函数模型转换为零极点增益模型。 格式为：z,p,k=tf2zp(num,den) （2）zp2tf ： 零极点增益模型转换为多项式传递函数模型。 格式为：num,den=zp2tf(z,p,k) （3）ss2tf： 状态空间模型转换为多项式传递函数模型。 格式为：num,den=ss2tf(a,b,c,d) （4）tf2ss: 多项式传递函数模型转换为状态空间模型。 格式为：a,b,c,d=tf2ss(num,den) （4）zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型。 格式为：a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) （5）ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型。 格式为：z,p,k=ss2zp(a,b,c,d) 三、环节串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数的求取 1、串联 这里： 在 MATLAB 中求取整体传递函数的功能，采用如下的语句或函数来实现。 . G=G1*G2 G=series(G1,G2) num,den=series(num1,den1,num2,den2) 例 1-4 两环节 G1、G 2 串联，求等效的整体传递函数 G 3)(1s17)(ss 解：实现的程序： n1=2;d1=1 3; n2=7;d2=1 2 1; G1=tf(n1,d1); G2=tf(n2,d2); G=G1*G2 运行结果： 湖南工学院教案计算机仿真技术实验 5 Transfer function: 14 - s3 + 5 s2 + 7 s + 3 实现的程序： n1=2;d1=1 3;n2=7;d2=1 2 1;G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=series(G1,G2) 运行结果： Transfer function: 14 - s3 + 5 s2 + 7 s + 3 实现的程序： n1=2;d1=1 3;n2=7;d2=1 2 1;G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2); n,m=series(n1,d1,n2,d2) 运行结果： n = 0 0 0 14 m = 1 5 7 3 例 1-5 四环节 G1、G 2、 G3、G 4 串联，求等效的整体传递函数 G 321s127s 解：实现的程序： n1=2;d1=1 3;n2=7;d2=1 2 1;G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2); G=G1*G2*G1*G1 运行结果： Transfer function: 56 - s5 + 11 s4 + 46 s3 + 90 s2 + 81 s + 27 2、并联 两环节 G1(s)与 G2(s)并联，则等效的整体传递函数为 G(s)=G1(s)+G2(s) 6 在 MATLAB 中求取整体传递函数的功能，采用如下的语句或函数来实现。 G=G1+G2 G= parallel (G1,G2) num,den= parallel (num1,den1,num2,den2) 例 1-6 两环节 G1、G 2 并联，求等效的整体传递函数 G(s) 3)(1s17)(ss 解： 实现的程序： n1=2;d1=1 3;n2=7;d2=1 2 1;G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G1+G2 运行结果： Transfer function: 2 s2 + 11 s + 23 - s3 + 5 s2 + 7 s + 3 实现的程序: n1=2;d1=1 3;n2=7;d2=1 2 1;G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=parallel(G1,G2) 运行结果： Transfer function: 2 s2 + 11 s + 23 - s3 + 5 s2 + 7 s + 3 实现的程序: n1=2;d1=1 3;n2=7;d2=1 2 1; n,d=parallel(n1,d1,n2,d2) 运行结果： n = 0 2 11 23 d = 1 5 7 3 若 则 G(s)=G1(s)-G2(s) 相应的语句为 G=G1-G2 湖南工学院教案计算机仿真技术实验 7 例 1-7：程序如下 n1=2;d1=1 3;n2=7;d2=1 2 1;G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=G1-G2 运行结果： Transfer function: 2 s2 - 3 s - 19 - s3 + 5 s2 + 7 s + 3 3反馈：feedback 则 在 MATLAB 中采用如下的语句或函数来求取闭环传递函数 )(sG闭 环 G= feedback(G1,G2,sign) num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) G= cloop (G1, sign) numc,denc=cloop(num,den,sign) 这里，sign=1 时采用正反馈；当 sign= -1 时采用负反馈；sign 缺省时，默认为负反馈。 其中 G2；num2,den2；对应 H(s)。 只用于单位反馈系统。 例 1-8 ，已知 求闭环传递函数。 两环节 G1、 G2 分别为 81203)(1ss 52)(sG 解： a: 8 n1=3 100 ;d1=1 2 81;n2=2;d2=2 5; G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=feedback(G1,G2,-1) 结果； Transfer function: 6 s2 + 215 s + 500 - 2 s3 + 9 s2 + 178 s + 605 b: n1=3 100 ;d1=1 2 81;n2=2;d2=2 5; G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=feedback(G1,G2,1) 结果： Transfer function: 6 s2 + 215 s + 500 - 2 s3 + 9 s2 + 166 s + 205 num1=3 100 ;den1=1 2 81;num2=2;den2=2 5; num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,-1) 结果： num = 0 6 215 500 den = 2 9 178 605 举例 1-9 ，已知 求闭环传递函数。 两环节 G1、 G2 分别为 8103)(s1)(2sG 解 n1=3 100 ;d1=1 2 81;G1=tf(n1,d1);G2=1;G=feedback(G1,G2,-1) 结果： Transfer function: 3 s + 100 - s2 + 5 s + 181 湖南工学院教案计算机仿真技术实验 9 n1=3 100 ;d1=1 2 81;G1=tf(n1,d1);G=cloop(G1,-1) 结果： Transfer function: 3 s + 100 - s2 + 2 s + 81 以上语句对于零极点增益模型也是适用的 例 1-10： z=-3;p=-1;k=3;G1=zpk(z,p,k);z1=-4;p1=-2;k1=5;G1=zpk(z,p,k); G2=zpk(z1,p1,k1);G=G1*G2 Zero/pole/gain: 15 (s+3) (s+4) - (s+1) (s+2) GG=G1+G2 Zero/pole/gain: 8 (s+1.275) (s+3.725) - (s+1) (s+2) GGG=feedback(G1,G2,-1) Zero/pole/gain: 0.1875 (s+3) (s+2) - (s+3.25) (s+3.5) 以上运算中往往通分运算后不约简，可以再使用 minreal( )函数来实现约简，其格式为 G1= minreal(G) 举例 1-11 z=-3;p=-1;k=3;G1=zpk(z,p,k);z1=-1;p1=-2;k1=5;G1=zpk(z,p,k); 10 G2=zpk(z1,p1,k1);G=G1*G2 Zero/pole/gain: 15 (s+3) (s+1) - (s+1) (s+2) G1=minreal(G) Zero/pole/gain: 15 (s+3) - (s+2) 四、系统复杂连接时等效的整体传递函数的求取 1用 Siumlink 软件实现 传递函数的求取 Siumlink 软件是基于 Windows 的模型化图形输入的仿真软件，是 MATLAB 软件的拓展， 在 Siumlink 环境下输入系统的方框图则可以方便的得到其传递函数。 系统方框图的输入 在 MATLAB 命令窗口中输入 simulink，出现一个称为 Simulink Library Browser 的窗 口，它提供构造方框图（或其他仿真图形界面）的模块； 在 MATLAB 主窗口对 FileNewModel 操作，打开模型文件窗口，在此窗口上，构 造方框图。 湖南工学院教案计算机仿真技术实验 11 以下面的系统为例，介绍构造方框图的各模块录入方法和设置方法。 图中， 1sGs421263sGs314154sGs6 录入各传递函数方框 在 Simulink Library Browser 的窗口打开 SimulinkContinuou s 子库,将 Transfer Fcn 模块复制到（拽到）模型文件窗口，共复制 6 个方框，分别放到相应位置。传递函数是积分 环节的，也可以复制 Integrator 模块 录入相加点 在 Simulink Library Browser 的窗口打开 SimulinkMath 子库，将 Sum 模块复制到 （拽到）模型文件窗口，共复制复制到（拽到）模型文件窗口，共复制 3 个相加点，分别放 到相应位置。 12 录入输入点与输出点标记 打开 SimulinkSources 子库，将 In1 模块（输入点）复制到（拽到）模型文件窗口， 放到相应位置。 打开 SimulinkSinks 子库，将 Out1 模块（输出点）复制到（拽到）模型文件窗口， 放到相应位置。 连接各方框（环节） 在模型文件窗口上，按箭头方向从起点到终点按住鼠标左键，连接方框。 传递函数方框有信号的入点和出点标记，画图不方便时，可以修改原来的方向，右键点 击方框，在出现的浮动菜单上，作如下选择，即可实现方框旋转。 还可以对方框加阴影，改颜色，增加或取消修改名称注释及其位置等。其他模块也有这 些功能。 双击各模块，在参数设定窗口，设置模块参数。 对于方框，是确定该方框表示的具体传递函数。 湖南工学院教案计算机仿真技术实验 13 对于相加点，是确定图形标记是圆形还是方形，并确定有几个需要相加的输入信号及信 号极性。 输入点与输出点标记不用再设置。 在模型文件窗口构建得到的方框图如下: 14 将构建的方框图保存 自定文件名，保存在默认的目录下。文件名例如:cdhs 。 求取方框图表示的系统的传递函数 有理多项式形式 在 MATLAB 命令窗口（Command Window）键入以下程序： n,d=linmod(cdhs) 注： 中是自定的文件名。 结果： Returning transfer function model n = 0 0.0000 0 0.0000 12.0000 2.4000 0.0000 d =