对面积的曲面积

对面积的曲面积Tag内容描述：<p>1、一、概念的引入 二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法 四、小结 第二节 对面积的曲面积分 (第一类曲面积分) 一、概念的引入 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 二、对面积的曲面积分的定义 1.定义 2.对面积的曲面积分的性质 三、计算法 则 按照曲面的不同情况分为以下三种： 则 则 例1 解 解依对称性知： 例3 解 （左右两片投影相同） 例4 解 四、小结 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影 域上的二重积分计算. 1、 对面积的曲面积分的概念; （按照曲面的不同情况分为三。</p><p>2、一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 10.4 对面积的曲面积分 上页下页铃结束返回首页 上页下页铃结束返回首页 一、对面积的曲面积分的概念与性质 设为一物质曲面 其面密度为r(x y z) 求其质量 v物质曲面的质量问题 求质量的近似值 取极限求质量的精确值 S1 S2 Sn (Si也代表曲面的面积) 把曲面分成n个小块 下页 上页下页铃结束返回首页 把任意分成 n小块 S1 S2 Sn (Si也代表曲面的面积) 在Si上任意一点(i i i ) v对面积的曲面积分的定义 下页 则称此极限为函数 f(x y z) 在曲面上对面积的曲面 设曲面是光滑的 。</p><p>3、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念和性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,1.定义,其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量,2.对面积的曲面积分的性质,由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似,）线性性,）可加性,）。</p><p>4、第十一章,山东交通学院高等数学教研室,第四节 对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与 性质,二、对面积的曲面积分的计算法,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄片质量的思想, 采用,可得,求质,“分割，近似，求和，取极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,一、对面积的曲面积分的概念与性质,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,表曲面面积,f (x, y, z) 是定义在 上的一,。</p><p>5、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算方法,具有连续,求质,量 M.,一、对面积的曲面积分的概念与性质,1.引例:,曲面形构件的质量,设曲面形构件占有空间光滑曲面 ,面密度为,解决的方法:,(微积分方法),大化小, 常代变, 近似和, 求极限.,2.定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.其中, 。</p><p>6、8.3 曲面积分,8.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）,8.3.3 两类曲面积分之间的联系,8.3.2 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）,定义8.3.1,设为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 叫做被积,是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分。,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 在曲面上对面积,函数, 叫做积分曲面。,8.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。,则对面积的曲面积分存在。,在光滑曲面 上连续, 。</p><p>7、2,第四节 对面积的曲面积分,求质量 m .,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,采用“分割, 近似, 求和, 取极限” 的方法，,可得,一. 对面积的曲面积分的概念与性质,3,定义:,设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一个,有界函数, 若对 做任意分割和局部区域上任意取点,“乘积和式极限”,都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积的,曲面积分或第一类曲面积分.,记作,其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, 叫做积分曲面.,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,4, 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续, 则对面积的曲面,积分存在., 。</p><p>8、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念和性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,1.定义,其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量,2.对面积的曲面积分的性质,由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似,）线性性,）可加性,）。</p><p>9、第五节 对面积的曲面积分,一. 对面积的曲面积分的物理背景,二. 对面积的曲面积分的定义和性质,三. 直角坐标系下对面积的曲面积分的计算,一. 对面积的曲面积分的物理背景,分割 近似 求和 取极限 .,二. 对面积的曲面积分的定义和性质,三. 直角坐标系下对面积的曲面积分的计算,解,解,解,例。</p><p>10、第五节 对面积的曲面积分,二、对面积曲面积分的计算法,一、曲面面积,（第十章 第四节）,G 表示的几种几何形体以及其上的积分：,二重积分,三重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,几何形体上的积分,重积分,对弧长的（第一类）曲线积分,对面积的（第一类）曲面积分,当几何形体G为一光滑曲面 时,相应的积分,对面积的曲面积分(或第一类曲面积分),若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分,记为,计算对面积的曲面积分,化为二重积分,？,曲面面积元素,对应的投影区域为,一、曲面的面积,曲面块,切平面块,当 很小时，,则有,的面积元素：,切平(曲)。</p><p>11、第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,1.定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点。</p><p>12、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算方法,具有连续,求质,量 M.,一、对面积的曲面积分的概念与性质,1.引例:,曲面形构件的质量,设曲面形构件占有空间光滑曲面 ,面密度为,解决的方法:,(微积分方法),大化小, 常代变, 近似和, 求极限.,2.定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.其中, 。</p><p>13、第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分,第十章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲。</p><p>14、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念和性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,1.定义,其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量,2.对面积的曲面积分的性质,由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似,）线性性,）可加性,）。</p><p>15、二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,定理 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(1) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(4),(3) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,第四节 对面积的曲面积分,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,求质,量 M.,定义:,设 为光滑曲面,取一点,若此极限存在,对面积的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积。</p><p>16、对面积的曲面积分,第四节,一、对面积的曲面积分的概念及性质,1.定义,设函数 f (x,y,z)在光滑曲面上有界，,将曲面任意分成 n 块小曲面,每一小曲面的面积记作,在每一小曲面Si 上,作和式,如果上述和式的极限存在，,并且与曲面的分法及,点Pi 的的取法无关，,则称此极限值为函数 f (x,y,z),记作,任取一点,在曲面上对面积的曲面积分，,即,可以证明当 f (x,y,z) 在光滑曲面上连续时，,函数 f (x,y,z) 在曲面上对面积的曲面积分存在,2. 对面积的曲面积分的性质,对面积的曲面积分还有其它与对弧长的曲线积分,特别地，,完全类似的性质,按照曲面的不。</p><p>17、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念和性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,1.定义,其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量,2.对面积的曲面积分的性质,由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似,）线性性,）可加性,）。</p><p>18、第三节 曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第八章,定义:,设为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 在曲面上对面积,函数, 叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分。</p><p>19、1,第四节 对面积的曲面积分,求质量 m .,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,采用“分割, 近似, 求和, 取极限” 的方法，,可得,一. 对面积的曲面积分的概念与性质,2,定义:,设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一个,有界函数, 若对 做任意分割和局部区域上任意取点,“乘积和式极限”,都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积的,曲面积分或第一类曲面积分.,记作,其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, 叫做积分曲面.,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,3, 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续, 则对面积的曲面,积分存在., 。</p>