多元函数的极值

多元函数的极值Tag内容描述：<p>1、外文文献EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES1. Stationary PointsDefinition 1.1 Let and . The point a is said to be:(1) a local maximum iffor all points sufficiently close to ;(2) a local minimum iffor all points sufficiently close to ;(3) a global (or absolute) maximum iffor all points ;(4) a global (or absolute) minimum iffor all points ;(5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum.Definition 1.2 Let and . The point a is sai。</p><p>2、作业讲评 (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要问题 记号混乱 (2) 求全导数时用y=f (x)代入后按一元函数求导. 没错, 但不符合要求. 解: 记号, 如: 而 将混淆; 使用各种各样的不当 13(3)求 14(2) 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 其中f具有二阶连续偏导数, 求 (因f具有二阶连续偏导数, 所以 看清题目要求,不要少做题. 第八章 第六节 二 元 函 数 的 极 值 一、二元函数的极值 二、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、最小二乘法 本节的教学要求 掌握二元函数的极值判别条件, 会求解简 单的二元函数极值问题 了解条件极值。</p><p>3、高等数学（下） 河海大学理学院 第八节 多元函数的极值及其求法 高等数学（下） 一、极值 1、定义 高等数学（下） (1 ) (2 ) (3 ) 例1 例 例 高等数学（下） 2、多元函数取得极值的条件 证 高等数学（下） 高等数学（下） 定义 使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点. 驻点极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意 ： 在在 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 处取极值但处取极值但 ( 0, 0 )( 0, 0 )不是驻点不是驻点. . 高等数学（下） 高等数学（下） 高等数学（下） 解 高等数学（下） 高等数学（下） 解 高等数学（下） 高等数学（下） 求。</p><p>4、目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的Taylor公式与极值问题 4.1多元函数的Taylor公式 4.2无约束极值、最大值与最小值 4.3有约束极值，Lagrange乘数法 第四节 第五章 1 目录 上页 下页 返回 结束 4.1 多元函数的Taylor公式 本节中，我们把一元函数的Taylor公式、极值与 最大最小值的问题推广到多元函数的情形。另外，4， 5节中的向量都写成列向量。 首先，复习一元函数的Taylor公式： Taylor公式，是用(x-x0)的n次多项式对f(x)进行（ 近似）逼近。 其中 2 目录 上页 下页 返回 结束 定义4.1 对于n元函数 设是定义在区域 内连续, 则称 f 是。</p><p>5、第八节 多元函数的极值 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 极值点必须是函数定义域的内点. (1) 例如1 (2) (3) 2、多元函数取得。</p><p>6、第八节 多元函数的极值及其求法 v一、问题的提出 v二、多元函数的极值和最值 v三、条件极值拉格朗日乘数法 v四、小结 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 1、定义 (1) (2) (3) 例1 例 例 2、多元函数取得极值的条件 证 仿照。</p><p>7、第七章多元函数微分学第八节多元函数的极值,榜叹势吠续匡貌织懒悍辜冤促樱厘瑟渐阐泄湃谬刃郎哥贵覆乎层周抚寞博第八节多元函数的极值第八节多元函数的极值,二元函数极值的定义,一、多元函数的极值,极值是局部特性,技蒙储疆酗胃似枢慨杏氖咽桌安蔡岳砸番贞傻脓可惦痹忠寺揭乞娄凌隘忱第八节多元函数的极值第八节多元函数的极值,(1),(2),(3),溶云侥碌疗鲍一西溢摸瞒橡骸捻朔牡馋王官矮壁鞋栈艾晌湛驭这薛盗逸懦。</p><p>8、1,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,2,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,3,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,4,5,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点。</p><p>9、第八节 多元函数的极值 及其求法,一、多元函数的极值,二、多元函数的最大（小）值,三、条件极值,有极大值；,一、多元函数极值（一元函数极值的推广）,有定义，,的某邻域,则称函数在,则称函数在,有极小值.,设函数,在点,1.极值的定义,极大值、极小值统称为极值 .,使函数取得极值的点称为极大值点 .,例1,例2,例3,极小值点,2、多元函数取得极值的条件,定理1（必要条件）,在该点的偏导数必然为零：,一元可导函数有极值的必要条件：,在 处有极值，则,证,必要条件,极大值,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极。</p><p>10、7.2 多元函数的极值,数学系 贺 丹,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,习,题,5.7,（,P58,）,作,5(2)；6(1)；7(1)(4)；10；12；14；15；18。,业。</p><p>11、多元函数取得极值的条件,无约束问题,取得极值的条件,必要条件,若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数，且 P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则,驻点,充分条件,若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一,阶及二阶偏导数，又,令,则,时具有极值，且当A0,时有极小值。,0时没有极值,不能确定,n元函数取得极值的条件？,梯度,具有偏导数，,Hesse矩阵,必要条件,若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值点，则,一阶条件,二阶条件,二阶充分条件,证明:,所以,约束问题,取得极值的条件,对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出La。</p><p>12、第八章 多元函数极值,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,(1),(2),(3),2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,注意：,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,解,3、多元函数的最值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,求最值的一般方法,设 f ( x , y ) 在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若 f ( x , y ) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值,将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值。</p><p>13、第七讲 多元函数的极值及其应用,内容提要 1.多元函数的极大值与极小值； 2.最值问题； 3.条件极值。 教学要求 1.理解多元函数极值和条件极值的概念； 2.掌握多元函数极值存在的必要条件； 3.了解二元函数极值存在的充分条件； 4.会用拉格朗日乘数法求条件极值； 5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 单的应用问题。,一、多元函数的极值和最大值、最小值,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数 的最大值.,1、二元函数极值的定义,与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关，,下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题.,。</p><p>14、8.8 多元函数的极值,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,问题的提出,播放,8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的必要条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点（或者临界点）.,8.8。</p><p>15、第6章：多元函数微分学,内容提要,6.4 二元函数的极值 6.4.1 无条件极值 6.4.2 条件极值,6.4.1 无条件极值,极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点.,定义6.7 设二元函数z =f (x, y)在(x0,y0)点的某个 邻域 内有定义,如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极小值,点 称为极小值点;如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极大值,点 称为极大值点.,1. 极值的概念,6.4.1 无条件极值,1. 极值的概念,例如:函数z=x2+y2在点(0,0) 取到了极小值, (0,0) 点为该函数的极小值点.,分析：该方程所表示的图形？,首先用平面z。</p><p>16、2019/6/29,多元函数,第八章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的极值及其求法,2019/6/29,多元函数,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/6/29,多元函数,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必。</p><p>17、实验11 多元函数极值与一元函数极值的比较,内容提要 本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们的理解。 实验步骤 1. 方向导数 我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导数就可能不存在，请看下面的例子。,多元函数极值与一元函数极值的比较,例 1 （1）证明：函数在原点处连续，而且在原点处的偏导数fx和fy 都存在（即沿x轴和y轴方向导数都存在），但原点处。</p><p>18、实验11 多元函数极值与一元函数极值的比较,内容提要 本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们的理解。 实验步骤 1. 方向导数 我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导数就可能不存在，请看下面的例子。,多元函数极值与一元函数极值的比较,例 1 （1）证明：函数在原点处连续，而且在原点处的偏导数fx和fy 都存在（即沿x轴和y轴方向导数都存在），但原点处。</p>