极限运算法则

极限运算法则Tag内容描述：<p>1、1、函数极限运算法则 定理4 若均存在，则 1) 2) （k为常数 ） 3) 当时， 第六节 极限运算法则 证明1）设 取=min1,2 当00). 解： 1）m=n, 原式 2）mn, 原式 3）mn，原式=. 例 解 (无穷小因子分出法) 练习 3、复合函数极限运算法则(P37) 定理 设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y= f (x), 在x0某个去心邻域, 若 且(x) l , 则复合函数y= f (x)在 xx0时 的极限为 说明: 又称变量代换法 1. 2. 幂指函数的极限运算 证明: 0 极限存在准则 0 两个重要极限 第七节 极限存在准则、 两个重要极限 数列极限的夹挤准则 1、极限存在准则 可以推广到函数的。</p><p>2、Xupeisen110 高中数学函数极限的运算法则教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二 、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两。</p><p>3、1-2 函数极限的运算法则 单调有界原理 一、 函数极限的四则运算规则和性质 定理（P51) 例 解 推论 注：和.差.积的法则均可推广到有限个函数的情形. 小结: 例题 解 例 (消去零因子法) 例 例 解：原式 例求 解: 原式 例 : 求 例（a00，b00，m,n0). 解： 1）m=n, 原式 2）mn, 原式 3）m 0 , 证: 已知即当 时, 有 则存在 ( A 0,使一切|x|X,|f(x)|M成立. 注：1）函数局部有界是极限存在的必要但不充分条件。 y=sin(1/x) , x0 2）函数局部无界是函数极限不存在的充分条件。 y=2x ,x 在满足定理的条件下，极限符号和函数符号可以交换次序。 例如。</p><p>4、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、 极限的四则运算法则 一 、无穷小运算法则 第六节 极限运算法则 目录 上页 下页 返回 结束 一、 无穷小运算法则 定理1. 两个无穷小的和还是无穷小 . 推广: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 无限个无穷小之和是否仍为无穷小? 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是的水平渐近线 . 目录 上页 下页 返回 结束 二、极限运算法则 定理 3 推论 1 .(。</p><p>5、上页下页铃结束返回首页 主要内容： 一、极限的运算法则 二、极限的性质 第一章 函数与极限 第三节 极限的运算法则与性质 1 上页下页铃结束返回首页 一、极限运算法则 定理 2 上页下页铃结束返回首页 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 3 上页下页铃结束返回首页 二、求极限方法举例 例1 解 4 上页下页铃结束返回首页 小结: 5 上页下页铃结束返回首页 解 例2 (消去零因子法) 6 上页下页铃结束返回首页 例3 解 7 上页下页铃结束返回首页 小结: 8 上页下页铃结束返回首页 例4 解 先变形再求极限. 9 上页下页铃结束返回首页 例5 解 。</p><p>6、第四节 极限运算法则,一、极限运算法则 二、求极限方法举例 三、小结 思考题,一、极限运算法则,定理1,证,由无穷小运算法则,得,1. 四则运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,求复合函数的极限时, 常可用 “ 换元法” 简化运算.,2.复合运算法则,例,解: 直观地看.,当x1时, lnx0, 而当lnx0时, cos(lnx)cos0=1.,或者, 令u=lnx,当x1时, u0,代入,这种方法称为换元法. 使用时, 将原式中所有x换写成u的表达式. 极限过程xx0换成相应的u的极限过程.,定理2. 设y =f (x)由y =f (u), u=(x)复合而成.,且在x0的某去心邻域 (x0)内, (。</p><p>7、第二章 极限与连续,数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性,2.5 极限的运算法则,一、极限运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,例7,解,左右极限存在且相等,意义：,例8,解,三、。</p><p>8、函数极限的性质,2.局部有界性,1.极限唯一性,3.保序性,4.保号性,5.夹逼定理,6.子列收敛性,1.3 极限的运算法则,一、极限运算法则,定理,定理,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,例2,(消去零因子法),练习：,解,加减运算法则不能直接用,例3,先合并变形再求极限,例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除, 以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,（先合并变形再求极限）,意义：,例6：函数f(u)=cos(u)，定义域R。,求复合函数f (j (x)在x趋于0时的极限。,解：,函数j(x)。</p><p>9、2019/4/19,高等数学,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限运算法则,2019/4/19,高等数学,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/4/19,高等数学,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,( P56 , 题 4 (2) ),解答见课件第二节 例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证: 有限个。</p><p>10、1,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,2,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,3,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,( P56 题 4 (2) ),解答见课件第二节 例5,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,4,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数。</p><p>11、2.3 函数极限的性质及运算法则,定义2.3,性质2.5,性质2.6,（类似可定义其他过程下的有界性）,性质2.8,且,则,性质2.7,例,证明,性质2.9,说明: 性质可推广到有限个函数的情形 .,例.求极限,(直接代入法),解,(1)参加求极限的函数应为有限个;,(2)每个函数的极限都必须存在;,(3)考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。,例.,(约去零因子法),解,例,解,(先化简再约去零因子法),例.,(根式有理化法),所以，,解,例. 求,时,分子,分母,分子分母同除以,则,“ 抓大头”,原式,解,为非负常数 ),用变量的最高次幂去除分子,分母.,一般有如下结果：,性质2.10。</p><p>12、1,2-3 无穷小量与无穷大量,2,恒有,定理：,复习,3,定理：,(1) 该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题,f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.,(即考察左右极限是否存在且相等).,4,一、无穷小量与无穷大量,极限为零的变量称为无穷小,1.无穷小量定义：,记作,例如：,(或,所以函数,所以,第三节 无穷小量与无穷大量,5,注意,(1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;,(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.,(3)说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.,如：,是当,时的,时呢？,就不是无穷小.,无穷小.,6,二、无穷小与函数。</p><p>13、1,无穷小的性质,极限的四则运算法则,极限运算法则,复合函数的极限运算法则,2,证明,设及是当xx0时的两个无穷小,则 0,10,当0|xx0|1 时 有| ,20,当0|xx0|2 时 有| ,取 min1 2,则当0|xx0|时 有,这说明 也是当xx0时的无穷小,|2 ,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,无穷小的性质,仅就两个xx0时的无穷小情形证明,举例:,当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小,3,设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M,又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有| 取min1 2 则当0|xx0| 时 有 |u|u|M 这。</p><p>14、1,第五节 极限运算法则,二、极限四则运算法则,四、小结 思考题,一、无穷小的性质,三、复合函数的极限,2,一、无穷小的运算性质,【教材上证明的是xx0时的情形】,【定理1】 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,【证】,考虑两个无穷小之和，且仅证 的情形,1）和的性质,3,【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,n个,【例如】,非无穷小,4,【证】,【定理2】有界函数 与无穷小 的乘积是无穷小.,【分析】,（仅证 时）,（注：M为定值）,2）乘积的性质,设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,【证完】,故,即,是,时的无穷小 .,5,【推论1】 有极。</p><p>15、2.4 极限的运算法则,2.4.1 极限的四则运算法则,2.4.2 复合函数的极限,目 录,定理1,.,推论1,2.4.1 极限的四则运算法则,推论2,解,例1,例2,解,解,例3,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,www.hzdiyan.com www.sysmk120.com www.qcxgqt.com www.tcsac.com http:/sj.39.net/dx http:/sj.39.net/dx/150818/4681415.html http:/sj.39.net/dx/150818/4681425.html http:/sj.39.net/dx/150819/4682165.html http:/sj.39.net/dx/150820/4682734.html http:/sj.39.net/dx/150820/4682742.html http:/sj.39.net/dx/150821/4683384.html http:/sj.39.n。</p><p>16、2.3 函数极限的性质及运算法则,第二章,定义2.3,性质2.5,性质2.6,性质2.8,且,则,性质2.7,例,证明,性质2.9,说明: 性质可推广到有限个函数的情形 .,例.求极限,(直接代入法),解,(1)参加求极限的函数应为有限个;,(2)每个函数的极限都必须存在;,(3)考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。,例.,(约去零因子法),解,例.,(根式有理化法),所以，,解,例,解,(先化简再约去零因子法),例. 求,时,分子,分母,分子分母同除以,则,“ 抓大头”,原式,解,为非负常数 ),用变量的最高次幂去除分子,分母.,一般有如下结果：,性质2.10,这一性质是用变量替换求极。</p><p>17、例3. 写出下列函数由哪些函数复合而成的？,解：,分析：拆分复合函数的关键是引入中间变量,是由,复合而成的；,是由,复合而成的.,注:引入中间变量不唯一，故复合函数的分解也不唯一.,思考：,且仅用一个式子表示的函数 ,由基本初等函数,否则称为非初等函数 .,经过有限次四则运算或有限次函数,复合而成 ,称为初等函数 .,为初等函数.,3. 初等函数,也为初等函数.,如果是, 请将其分解为几个基本初等函数的结构.,例4 判断下列函数是否为初等函数,解：,它是由函数,复合而成；,| x |,它是由函数,复合而成；,* 尽可能少地引进中间变量。,* 每一个分解。</p>