现代控制理论第4章李雅普诺夫稳定性分析

现代控制理论现代控制理论 v 4.1 概述 v 4.2 李亚普诺夫第二法的概述 v 4.3 李亚普诺夫稳定性判据 v 4.4 线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 v 小结 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义 的内部稳定性，即 状态稳定状态稳定 。内部稳定性不但适用于线性 系统，而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定 义才具有等价性。 稳定性是系统本身的一种特性， 只和系统 本身的结构和参数有关，与输入 -输出无关。 4.1 引言 稳定性稳定性 是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系 统的稳定性通常有两种定义方式： 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 外部稳定性外部稳定性 是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统 的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即 有界输入有界输入 有界输出稳定有界输出稳定 。外部稳定性只适用于线性系统。 内部稳定性内部稳定性 研究系统稳定性的方法： 李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 经典控制理论： 劳斯 -胡尔维茨稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 现代控制理论：李亚普诺夫稳定性 第一法第二法 李亚普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过 系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系 统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断；对于非 线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近 似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳 定性。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定 性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 线性定常系统 平衡状态 渐进稳定的充要条件是系统矩阵 A的所有特 征值均具有负实部。 线性系统状态稳定性判据线性系统状态稳定性判据 1、线性系统的稳定判据 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传 递函数 的极点全部位于 s的左半平面。 线性系统输出稳定性判据线性系统输出稳定性判据 如果系统对于有界输入 u所引起的输出 y是有界的，则 称系统为输出稳定。 例题 4.1 系统的状态空间描述为 试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 解 ： (1)由 A阵的特征方程 可得特征值 ， 。故系统的状态不是渐近稳定的。 (2)由系统的传递函数 可见传递函数的极点 位于 s的左半平面，故系统 输出稳定。这是因为具有正实部的特征值 被系统的零 点 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出 来。由此可见，只有当系统的传递函数 W(s) 不出现零、极 点对消现象，并且矩阵 A的特征值与系统传递函数 W(s) 的 极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致 。 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是 通过求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函 数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，它是从能量 观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存 的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量 将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之， 如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这 个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也 不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定 。 4.2 李亚普诺夫第二法的概述 1892年俄国学者李亚普诺夫发表了 运动稳定性一般 问题 ，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法 不必求解常微分方程组， 而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法， 它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 稳定性是指系统受外界干扰后，平衡状态被破坏，但 当干扰去掉后，系统仍能自动地回到平衡状态下继续工作 。具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统 称为不稳定系统。 1、稳定性 一、物理基础 稳定性是系统本身固有的属性。稳定性是系统本身固有的属性。 线性自动控制系统稳定的充要条件：系统特征方程的线性自动控制系统稳定的充要条件：系统特征方程的 全部根是负实部或实部为负的复数，即全部根在复平全部根是负实部或实部为负的复数，即全部根在复平 面的左半平面。面的左半平面。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 2、系统的平衡状态 设系统为 ，其中 ，则 ， 对于该系统，如果存在对所有时间 t都满足 的状态 ， 即 ，则把 叫做系统的平衡状态。 对于线性定常系统 而言，其平衡状态满足 ，若 A是非奇异矩阵，则只有 ，即对线性 系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无 限多个平衡状态。 对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。 李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上 ：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 ，那么随着系统的运动，其储存的能量将时间 的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 3、李亚普诺夫第二法 对于系统 建立一个能量函数 ，即 对于任意 时， ，而 ，且仅当 时， 才有 ，则系统 是稳定的。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 由此，李亚普诺夫第二法可归结为：在不直接求解的 前提下，通过李亚普诺夫函数 及其对时间的一次导 数 的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信 息。 因此，应用李亚普诺夫第二法的关键在于能否找到一 个合适的李亚普诺夫函数 (即 能量函数能量函数 )。 4、能量函数 广义能量函数 称为李亚普诺夫函数，如果其不 显含时间 t，就记成 。 设 为任一标量函数，其中 X为系统的状态变量， 如果 具有以下性质： (1) 是连续的； (2) 是正定的； (3)当 时， 。 那么函数 称为李亚普诺夫函数。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 能量函数的定义能量函数的定义 反映能量的变化趋势 反映能量的大小 反映能量的分布 李亚普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二 次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 1、二次型函数的定义及其表达式 二、二次型及其定号性 (1) 二次型函数的定义 在代数式中我们常见一种多项式函数如下 其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为二次齐次 多项式或二次型。以上只是对含有 2个变量 x、 y的二次函 数来说的，如果将变量个数扩展到 n，仍具有相同的含义 。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 n个变量 的二次其次多项式为 称为二次型函数，即二次型。式中 为二次型系数。 二次型的定义二次型的定义 由二次型函数的定义可写成 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 (2) 二次型函数的矩阵表达式 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 其中 ， P称为二次型的矩阵。 即 P为对称矩阵。 显然二次型 完全由矩阵 P确定且 P的秩称 为二次型的秩。 例题 4.2 V(X)是向量 X的标量函数。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 2、标量函数 V(X)的定号性 如果对任意非零向量 ，恒有 ， 且仅当 时 ，则称 为正定的。即 (1) 正定性 例题 4.3 当 时， ； 当 时， 。所以， V(X)是正定的。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 如果对任意非零向量 ，恒有 0， 且仅当 时 ，则称 为正半定的。即 0 (2) 正半定性 (准正定 ) 例题 4.4 当 时， ； 当 但 时， 。 所以， V(X)是正半定的。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 (3) 负定性 例题 4.5 当 时， ； 当 时， 0。 所以， V(X)是负定的。 如果对任意非零向量 ，恒有 0， 且仅当 时 ，则称 为正定的。即 0 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 如果对任意非零向量 ，恒有 0， 且仅当 时 ，则称 为负半定的。即 0 (4) 负半定性 (准负定 ) 例题 4.6 当 时， ； 当 但 时， 。 所以， V(X)是负半定的。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 如果在某个邻域内， 即可为正值也可为负值， 则称 为不定的。 (5) 不定性 例题 4.7 若 ，则 ； 如果 a b， V(X) 0； b a， V(X) 0。 所以， V(X)是不定的。 对于 P为实对称矩阵的二次型函数 V(X)的定号性，可 用关于矩阵定号性的赛尔维斯特定理来判定。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 3、二次型标量函数定号性判别准则 (1) 实对称矩阵 P为正定的充要条件是 P的各阶主子行列式 均大于 0。即 赛尔维斯特定理：赛尔维斯特定理： 这个定理称为 赛尔维斯特 定理 定理 4.2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 正定矩阵具有以下一些简单性质 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 例 4.10 判别二次型 的正定性 . 解 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 4.1 李亚普诺夫关于 稳定性的定义 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 v 例 4.6 系统方程为 v v 试确定系统平衡状态的稳定性。 v 解： 原点为平衡状态，选取李氏函数 v v 在任意 x 值上均可保持为零，则系统在原点处 是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 讨论讨论 ： 选择二次型函数 为李氏函数。 v 目的 ： 将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性 负定 正定 由上一节讨论的判据知道系统渐近稳定，故有以下判据： 一、线性定常连续系统的稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 且标量函数 就是系统的一个李氏函数。 判据判据 ： 线性连续定常系统： 在平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：给定 一个正定对称矩阵 Q，存在一个正定实对称矩阵 P， 使满足： 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 1）因为 正定对称矩阵 Q的形式可任意给定，且最终判断 结果和 Q的不同形式选择无关，所以通常取 。 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。 说明说明 : 3）如果 除了在 时有 外 ， 不恒等于零 , 则 由上一节判据 可知， Q可 取 做 半正定 。为计算简单，此时 Q可取作如下矩阵： 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 应用定理判稳步骤： 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 例例 用李氏第二法，求使下列系统稳定的 K值。 解解 ： 1、写出状态空间表达式 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 状态空间 描述为： 2、用李氏第二法判稳（ 令 u=0） 1） Q能不能取做半正定？ 2）计算使实对称矩阵 P为正定的 k值范围 由判据 4 得： 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 注意 ： P为正定实对称矩阵。 解得： 根据赛尔维斯特法则：如果 P正定，则 12-2k0，且 k0 所以系统稳定的 k值范围为 0k6 现代控制理论 第 4章 李亚普诺夫稳定性分析 二、线性定常离散系统的稳定性